专题02 空间点、直线、平面之间的位置关系-万变不离其宗高中数学课本典型试题改编系列（必修2）（解析版）(26页).doc

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1、-专题02 空间点、直线、平面之间的位置关系-万变不离其宗高中数学课本典型试题改编系列（必修2）（解析版）-第 25 页专题二：点、直线、平面之间的位置关系2017版高中数学课本典型试题改编系列之必修2（原卷版） 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1.【原题】（必修2第47页例题3）如右图，已知正方体ABCDABCD.(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA垂直？【解析】(1) 由 异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线(2) 由BBCC可知，BBA为异面直线BA与CC的

2、夹角，BBA45，来源:学。科。网Z。X。X。K所以直线BA和CC的夹角为45.(3) 直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直【原题解读】（1）知识上；需要明确异面直线所成角的定义。（2）思路方法上；异面直线所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过对空间几何环境的观察发现异面直线所成的角（对应的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。（3）考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。【变式网络】变式1. 【2014安徽高考】从正方体六个面的对角线中任取两条覼作为一对，其中所成的角为的共有（ ）A24对 B30对

3、C48对 D60对【答案】C【解析】在正方体中，与上平面中一条对角成的直线有，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对故选C变式2. 【2012全国大纲卷】已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_【答案】变式3. 【2014新课标2】直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出图形，找出BM与AN所

4、成角的平面角，利用解三角形求出BM与 AN所成角的余弦值解：直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1 的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，且，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是ANO，BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，CO=1，AO=，AN=，MB=在ANO中，由余弦定理可得：cosANO=故选：C变式4. 【2015高考四川】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系；设

5、， 则，设，则； 由于异面直线所成的角范围为；，所以令，当时取等号，所以 当时，取得最大值.【变式题组反思】1. 考查知识点：异面直线的判定、异面直线所成角；2考查的方式：高考中主要为选择和填空题。3命题的思路：通过常见几何体模型，考查空间中的异面直线所成的角，空间想象能力，推理和运算能力4题目变化方向：以常见几何体为背景，向综合性和体现能力的方向变化。如将异面直线所成角问题与函数不等式等融合，凸显了数学学科内知识间的内在即时联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力. 2.【原题】（必修2第49页例题4）下列命题中正确的个数是()若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与

6、平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A0 B1 C2 D3【解析】如右图借助长方体模型来看命题是否正确命题不正确，相交时也符合；命题不正确，如右图中，AB与平面DCCD平行，但它与CD不平行；命题不正确，另一条直线有可能在平面内，如ABCD，AB与平面DCCD平行，但直线CD在平面DCCD内；命题正确，l与平面平行，则l与平面无公共点，l与平面内所有直线都没有公共点【原题解读】（1）知识上：线与面平行的判定定理； （2）思路方法上；通过对判定定理中关键条件的辨析，（如“无数”与

7、“任意”）加深对判定定理的理解。在命题真假判定中注意运用几何模型，假的可举出反例。 （3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和建模思想。【变式网络】变式1. 【2012四川高考】下列命题正确的是 ()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C变式2.【2014高考广东】若空间中四条直线两两不同的直线.，满足，则下列结论一定正确的是( )A. B. C. .既不平行也不垂直 D.的位置关系不确定【答案】D来

8、源:学科网【解析】如下图所示，在正方体中，取为，为，取为，为，；取为，为，则；取为，为，则与异面，因此.的位置关系不确定，故选D.变式3. 【2016高考浙江】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）Am l Bm n Cn l Dm n【答案】C【解析】由题意知，故选C变式4. 【2016高考新课标2】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么. （2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】【变式题组反思】1. 考查知识点：空间中点、直线与平面之间的位置关系；2考查的方式：

9、高考中主要为选择和填空题。3命题的思路：考查认识空间点、线、面的位置关系的能力，考查准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的能力4题目变化方向：以空间中线与线，线与面、面与面平行和垂直的判定和性质为主要内容。 通过不同的命题语言表达方式，考察逻辑推理能力、建模思想。2.2 直线、平面平行的判断及其性质1.【原题】（必修2第59页例题3）如图所示的一块木料中，棱BC平行于面AC.(1)要经过面AC内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？【解析】(1)如图，在平面AC内，过点P作直线EF，使EFBC，并分别交棱AB，CD于点E，

10、F.连接BE，CF. 则EF、BE、CF就是应画的线(2) 因为棱BC平行于平面AC，平面BC与平面AC交于BC，所以BCBC. 由(1)知，EFBC，所以EFBC，因此；.BE、CF显然都与平面AC相交【原题解读】（1）知识上：线与面平行的判定定理； （2）思路方法上；通过题目中的条件和几何环境，利用线面平行的判定定理（平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行）。 （3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想。【变式网络】变式1. 【2015江苏高考】如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，.求证：（1）； （2）.【答案】（1）详见解析（2）略【解析

11、】（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此又因为平面，平面， 所以平面变式2.【2015高考山东】如图，在三棱台中, 分别为的中点.（）求证：平面；（）若平面， ， ,求平面与平面 所成的角（锐角）的大小.【答案】（I）详见解析；（II）略 【解析】证明；连接，设，连接在三棱台中，为的中点，可得； 所以四边形为平行四边形，则为的中点，又为的中点，所以；,又，所以平面； 变式3.【2015新课标2】 如图,长方体中 AB=16,BC=10,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的

12、两部分体积的比值.【答案】（I）见解析（II） 或【解析】（I）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；交线 围成的正方形EFGH如图所示；（）作EMAB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是,AH=10，HB=6因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为变式4.【2016年高考四川】如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90. （）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与

13、平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.略【解析】（1）证明；在梯形ABCD中，AB与CD不平行，延长AB,CD，相交与点M ()，点M即为所求的一个点，理由如下；由已知; 所以四边形BCED是平行四边形，所以；从而，又，,所以（说明：延长AP至 点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）【变式题组反思】1. 考查知识点：直线与平面平行的判断；2考查的方式：高考中主要为解答题第1问。3命题的思路：基本思路为利用线面平行的判定定理来完成证明，即由线线平行（中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行）来证明线面平行。考察空间想象力，逻辑推

14、理能力和转化思想。4题目变化方向：题目相对稳定，但出现了新的变化如；体现应用性的问题（如画图题），及已知线与面平行，提供合适的点的条件，完成证明有一定的开放性。2.3 直线、平面垂直的判定和性质1.【原题】（必修2第66页例题2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.【解析】连接B1C 交于O， 连结A1O， 因为 ,A1O为A1B 在平面A1B1CD上的射影，是A1B 与平面A1B1CD平面所成的角。在中，由，知 即A1B 与平面A1B1CD平面所成的角为【原题解读】（1）知识上；需要明确直线与平面所成角的定义。（2）思路方法上；解决直线与平面所成角问

15、题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过定义找垂线，看射影（转化为斜线与射影所成的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。（3）考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。【变式网络】变式1.【2014浙江高考】如图，在四棱锥中，平面平面；，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）连结，在直角梯形中，由，得；，由得，即，又平面平面，从而平面.变式2.【2016高考浙江】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证

16、：BF平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）见解析；（II）.【解析】（I）延长相交于一点，如图所示，因为平面平面，且，所以平面，因此，又因为，所以为等边三角形，且为的中点，则， 所以平面.（II）因为平面，所以是直线与平面所成的角，在中，得，所以直线与平面所成的角的余弦值为.DD1C1A1EFABCB1变式3. 【2015高考新课标2】如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）见解析 （）【解析】（）由线面平行和面面平行的性

17、质画平面与长方体的面的交线；交线围成的正方形如图：（）作，垂足为，则，因为为正方形，所以于是，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则即所以可取又，故所以直线与平面所成角的正弦值为来源:学科网变式4.【2015高考湖南】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。（I）证明：平面平面；（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。【答案】（I）略；(II) .【变式题组反思】1. 考查知识点：线与面垂直的判定、直线与平面所成的角；2考查的方式：高考中主要为解答题。3命题的思路：通过常见几何体模型，考查空间中

18、直线与平面所成的角，空间想象能力，推理和运算能力4题目变化方向：以常见几何体为背景，向综合性和体现能力的方向变化。如将直线与平面所成角问题与方程等融合，凸显了数学学科内知识间的内在即时联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力. 2.【原题】（必修2第69页例题3）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC. 【解析】证明设O所在平面为，由已知条件，PA，BC在内，所以PABC. 因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是O的直径，所以BCA是直角，即BCAC.又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线所以BC平面PAC.

19、又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC平面PBC.学科网【原题解读】（1）知识上：线与面平行的判定定理； （2）思路方法上；通过题目中的条件和几何环境，利用线面平行的判定定理（平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行）。 （3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想。【变式网络】变式1.【2012浙江高考】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.【答案】（I）见解析；(II) 略【解

20、析】 (1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1. 又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.变式2. 【2014江苏高考】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，求证（1）直线平面；（2）平面平面.【答案】（I）略；(II)见解析【解析】（1）由于分别是的中点，则有，又，所以（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面变式3【2015高考新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E

21、，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面AEC平面AFC；（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【答案】（）见解析（）【解析】在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，EGFG， ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. （）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，） 故.，所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 变式4【2016高考

22、天津】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G为BC的中点.()求证：平面BED；()求证：平面BED平面AED；()求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）详见解析（）【解析】（）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（）证明：在中，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.【变式题组反思】1. 考查知识点：直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质；2

23、考查的方式：高考中主要为解答题第1问。3命题的思路：题型主要以解答题的形式考查，规范解答至关重要证明线面和面与面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面与面面垂直的基本思想。考察空间想象力，逻辑推理能力和转化思想。4题目变化方向：题目相对稳定，但出现了新的变化如；所给的几何体为不规则的多面体，需要学生能迅速适应新的几何环境，从而完成证明，同时注意几何证明书写的规范。来源:学_科_网3.【原题】（必修2第79页复习参考题B组1题）如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，DF折起，使

24、A，C两点重合与，求证：.(2) 当时，求三棱锥体积.来源:学:Z。xx。k.Com【解析】（1）证明：由正方形ABCD 知，DCF= DAE=,则 ， ，且，所以D平面EF.又EF平面EF，所以DEF（2）解：由F=E=，EF=及勾股定理，得EF,所以,所以.【原题解读】（1）知识上：线与面垂直的判定定理、体积运算及折叠问题； （2）思路方法上；通过平面图形的折叠，构造几何体，再提出问题。需注意图形折叠中几何性质的变与不变（隐含条件的挖掘），然后利用线面垂直的判定定理（平面外的一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直与此平面。即由线与线垂直推出线与面垂直）。体积计算关键是底面和高的认定

25、。 （3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想及运算能力。【变式网络】变式1.【2014高考广东】如图2,四边形为矩形,平面,作如图3折叠,折痕.其中点.分别在线段.上,沿折叠后点在线段上的点记为,并且.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析；(2). 【解析】（1）证明：，,，而,又 ,且,(2)平面,又易知,从而,即,变式2.【2014上海高考】底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积.【答案】边长为4，体积为【解析】由题意中，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4即，三棱锥是边长为2的正四面体如右图所示作图，设顶点在底

26、面内的投影为，连接，并延长交于，为中点，为的重心，底面，变式3.【2015高考陕西】如图1，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.(I)证明：平面；(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.来源:学,科,网【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) .【解析】(I)在图1中，因为，是的中点，所以，即在图2中， 从而平面又，所以平面.(II)由已知，平面平面，且平面平面 又由(I)知，所以平面，即是四棱锥的高，由图1可知，平行四边形面积，从而四棱锥的为；，由，得.学科网变式4.【2014福建高考】在平行四边形中，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：

27、；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析; (2) 【解析】：(1)因为平面,平面平面平面所以平面又平面所以.即直线与平面所成角的正弦值为.【变式题组反思】1. 考查知识点：几何图形折叠中的变与不变；线与面、面与面平行与垂直的判定和性质定理、空间角的计算、几何体的体积与表面积2考查的方式：高考中主要为解答题。3命题的思路：基本思路为以几何图形折叠问题为载体，来解决线与面、面与面平行和垂直的证明问题，空间角的计算及体积和表面积的计算。考察空间想象力，逻辑推理能力和转化思想。4题目变化方向：题目相对稳定，但出现了新的变化如；所给的折叠图形不常规，需要学生能迅书写应新的几何

28、环境，同时与方程问题相连系，从而增强了问题的综合性，同时注意几何证明书写的规范。【数学文化3】欧几里得原本与公理化方法欧几里德(,Euclid of Alexandria)，生活在亚历山大城的欧几里得（约前330约前275）是古希腊最享有盛名的数学家。以其所着的几何原本(简称原本）闻名于世。几何原本是我国历史上最早翻译的西方名着。欧几里得生前活跃于亚历山大图书馆，而且很有可能曾在柏拉图学院学习。直到现在，我们都无法得知欧几里得的生卒日期、地点和细节。我们还没有找到任何欧几里得在世时期所画的画像，所以现存的欧几里得画像都是出于画家的想像。关于欧几里得的一生的细节，由于资料缺乏，我们知道得很少。有

29、一个故事说的是欧几里得和妻子吵架，妻子很为恼火。妻子说：“收起你的乱七八糟的儿何图形，它难道为你带来了面包和牛肉。”欧几里得天生是个憨脾气，只是笑了笑，说道：“妇人之见，你知道吗？我现在所写的，到后世将价值连城！”妻子嘲笑道：“难道让我们来世再结合在一起吗？你这书呆子。”欧几里得刚要分辩，只见妻子拿起他写的几何原本的一部分投入火炉中。欧几里得连忙来抢，可是已经来不及了。据说妻子烧掉的是几何原本中最后最精彩的一章。但这个遗憾是无法弥补的，她烧的不仅仅是一些有用的书，她烧的是欧几里得血汗和智慧的结晶。如果上面这个故事是真的，那么他妻子的那场震怒可能并不是欧几里得引起来的。因为古代的作家们告诉我们，

30、他是一个“温和慈祥的老头。”欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，更反对狭隘的实用观念。他的学生们简直把他当作偶像来崇拜。欧几里得在教授学生时，像一个真正的父亲那样引导他们，关心他们。然而有时，他也用辛辣的讽刺来鞭挞学生中比较傲慢的，使他们驯服。有一个学生在学习了第一定理之后，便问道：“学习几何，究竟会有什么好处？”于是，欧几里得转身吩咐佣人说：“格鲁米阿，拿三个钱币给这位先生，因为他想在学习中获得实利。像古希腊的大多数学者一样，欧几里德对于他的科学研究的“实际”价值是不大在乎的。他喜爱为研究而研究。他羞怯谦恭，与世无争，平静地生活在自己的家里。在那个到处充满勾心斗角的

31、世界里，对于人们吵吵闹闹所作出的俗不可耐的表演，则听之任之。他说：“这些浮光掠影的东西终究会过去，但是，星罗棋布的天体图案，却是永恒地岿然不动。”欧几里德写过一本书，书名为几何原本(Elements)共有13卷。这一着作对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。几何原本的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。欧几里德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本命题，一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中，每个证明必须以公理为前提，或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多2000年间，

32、被奉为必须遵守的严密思维的范例。几何原本是古希腊数学发展的顶峰。他的工作重大意义在于把前人的数学成果加以系统的整理和总结，以严密的演绎逻辑，把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系。欧几里得建立起来的几何学体系之严谨和完整，就连20世纪最杰出的大科学家爱因斯坦也不能对他不另眼相看。爱因斯坦说：“一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。” 欧几里德是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，几何原本中的数学内容也许没有多少为他所创，但是关于公理的选择，定理的排列以及一些严密的证明无疑是他的功劳，在这方面，他的工作出色无比

33、。欧几里得的几何原本共有13篇，首先给出的是定义和公理。比如他首先定义了点、线、面的概念。他整理的5条公理其中包括：1.从一点到另一任意点作直线是可能的；2.所有的直角都相等；3.a=b，b=c，则a=c；4.若a=b则a+c=b+c等等。这里面还有一条公理是欧几里得自己提出的，即：整体大于部分。虽然这条公理不像别的公理那么一望便知，不那么容易为人接受，但这是欧氏几何中必须的，必不可少的。他能提出来，这恰恰显示了他的天才。几何原本的出现说明人类在几何学方面已经达到了科学状态，在经验和直觉的基础上建立了科学的、逻辑的理论。欧几里得这位亚历山大大学的数学教授，已经把大地和苍天转化为一幅由错综复杂的

34、图形所构成的庞大图案。他又运用他的惊人才智，指挥灵巧的手指将这个图案拆开，分成为简单的组成部分：点、线、角、平面、立体把一幅无边无垠的图，译成初等数学的有限语言。尽管欧几里得简化了他的几何学，但他坚持对几何学的原则进行透彻的研究，以便他的学生们能充分理解它。据说，亚历山大国王多禄米曾师从欧几里得学习几何，有一次对于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表示不耐烦。国王问道：“有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的途径？”欧几里得答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的难走的小路，一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里，大家只能走同一条路。走向学问，是没有什么皇家大道的，请陛下明白。”欧几里得的

35、这番话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言。几何原本作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。几何原本是用希腊文成的，后来被翻译成多种文字。它首版于1482年，即谷登堡发明活字印刷术3O多年之后 。自那时以来，几何原本已经出版了上千种不同版本。在训练人的逻辑推理思维方面，几何原本比亚里土多德的任何一本有关逻辑的着作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。公正地说，欧几里得的这本着作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大

36、成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。我们不清楚为什么科学产生在欧洲而木是在中国或日本。但可以肯定地说，这并非偶然 。毫无疑问，像牛顿、枷利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。 对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范（总的来讲，欧洲人不把欧几里得的 几何学仅仅看作是抽象的体

37、系；他们认为欧几里得的公设，以及由此而来的定理都是建 立在客观现实之上的）。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识 理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到1600年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学工作。 在日本，情况也是如此。直到18世纪，日本人才知道欧几里得的着作，并且用了很多年才理解了该书的主要思想。尽管今天日本有许多著名的科

38、学家，但在欧几里得之前却没 有一个。人们不禁会问，如果没欧几里得的奠基性工作，科学会在欧洲产产吗？ 如今，数学家们已经记识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在 统一的几何体系。在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱 因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得 的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情 况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削

39、弱欧向里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学成长必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。【变式训练2】1. 【2015高考北京】设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B2.【2014辽宁】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则 B若，则C若，则 D若，则【答案】B【解析】若A若则与可能平行、相交、异面，故A错误； B若，则，显然成立；C若，则或故C错误；D若，则或或与相交.3. 【2016高考新课标1】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB

40、1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,选A.4.【2014四川高考】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B5.【2015高考浙江】如图，三棱锥中,，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 【答案】.【解析】如下图，连结，取中点，连结，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得

41、， ，即异面直线，所成角的余弦值为.6.【2015高考北京】如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为，的中点（I）求证：平面；（II）求证：平面平面；（III）求三棱锥的体积【答案】（I）证明详见解析；（II）证明详见解析；（III）.【解析】：（）因为分别为，的中点，所以.又因为平面，所以平面.（）因为，为的中点，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面. 所以平面平面.7.【2016高考北京】如图，在四棱锥中，平面，（I）求证：；（II）求证：；（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.【答案】（）见解析；（）见解析；（III）存在.理由见解析.【

42、解析】（I）因为平面，所以又因为，所以平面（II）因为，所以因为平面，所以所以平面所以平面平面（III）棱上存在点，使得平面证明如下：取中点，连结，又因为为的中点，所以又因为平面，所以平面 8. 【2016新课标2】 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置.()证明：；()若,求五棱锥的体积.【答案】（）详见解析；（）.【解析】（I）由已知得，又由得，故由此得，所以.（II）由得由得 所以于是故由（I）知，又，所以平面于是又由，所以，平面又由得 五边形的面积所以五棱锥体积9. 【2017衡水金卷】如图1，在矩形

43、中，是的中点，以为折痕将 向上折起，使为，且平面平面（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）；【解析】（）在中，在中，平面平面，且交线为，平面平面，直线与平面所成的角的正弦值为10.【2014天津高考】如图，四棱锥的底面是平行四边形，,分别是棱的中点.（1）证明平面；（2）若二面角P-AD-B为， 证明：平面PBC平面ABCD 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析， (2)详见解析，【解析】证明(1)如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF/BC且MF=BC.由已知有BC/AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF/AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF/AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF/平面PAB. (2)连接PE,BE.因为PA=PD,BA