三余弦定理(4页).doc

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1、-三余弦定理-第 3 页三余弦定理内容：若平面的一条斜线与这个平面所成角为，平面内的一条直线与这条斜线及其射影所成的锐角（或直角）分别为，则有。定理概述设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么OAC,BAC,OAB三角的余弦关系为：cosOAC=cosBACcosOAB (BAC和OAB只能是锐角）通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角2定理证明如上图，自点O作OBAB于点B，过B作BCAC于C，连O

2、C，则由线线垂直，线面垂直，面面垂直易知ABC、AOC、ABO均为直角三角形cos1=ABOA，cos2=ACAB，cos=ACOA，不难验证：cos=cos1cos2三正弦定理该定理从老版高中教材人教版数学必修第二册（下A），P35的例1：“河堤斜面与水平面所成的二面角为60，堤面上有一条直道CD，它与堤脚水平线AB的夹角为30，沿这条直道从堤脚向上行走10m时人升高了多少？”抽象出来的一般结论1定理概述设二面角MABN的度数为，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为，和平面N所成的角为，则sin=sinsin（如图）三正弦定理示意图2定理证明如上图，过C作CO平面N于点O，过O作直线

3、OB二面角的棱于点B，连OA，CB，则易知CAO，CBO，ABC均为直角三角形于是，sin=COAC，sin=sinCBO=COBC，sin=sinBAC=BCAC由此容易推得sin=sinsin3定理应用编辑如果将三正弦定理和三余弦定理联合起来，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！例1如图，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数.(1994年全国高考理科数学23题)三正弦定理应用之例1题图三正弦定理应用之例1解答例2已知RtABC的两直角边AC=2，BC=3P为斜边AB上一点，现沿

4、CP将此直角三角形折成直二面角ACPB（如下图），当AB=7时，求二面角PACB大小(上海市1986年高考试题，难度系数0.28)三正弦定理应用之例2题图三正弦定理应用之例2解答三余弦定理3定理应用如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！例1如图，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数.(1994年全国高考理科数学23题)三余弦定理应用例题1三余弦定理应用例题1解答例2已知RtABC的两直角边AC=2，BC=3P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角ACPB（如下图），当AB=7时，求二面角PACB大小(上海市1986年高考试题，难度系数0.28)三余弦定理应用例题2三余弦定理应用例题2解答例3已知菱形ABCD的边长为1，BAD=60，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角 A-BD-C(如图6)( 1)求异面直线AC与BD所成的角；( 2)求二面角A-CD-B的大小三余弦定理应用例题3