【数学】151曲边梯形的面积课件（苏教版选修2-2）.pptx

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1、 第1章 导数及其应用1.5.1 曲边梯形的面积这些图形的面积该怎样计算？ 我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算。情景设计：情景设计：面积 但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？ 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。如何求曲线下方如何求曲线下方“曲线梯形曲线梯形”的面积。的面积。xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方如何求曲线下方“曲线梯形曲线梯形”的面积。的面积。

2、xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线曲线曲边梯形的面积曲边梯形的面积直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形所围成的图形（曲边三角形）面积（曲边三角形）面积S是多少？是多少？思考？曲边梯形与我们熟悉的思考？曲边梯形与我们熟悉的“直边图形直边图形”的主要的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问的问题转化为求题转化为求“直边图形直边图形”面积的问题？面积的问题？曲边梯形的面积曲边梯形的面积直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形所围成的图形（曲边三角形）面积（曲边三角形）面积S

3、是多少？是多少？x yO1方案方案1方案方案2方案方案3为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲，将它分割成许多小曲边梯形边梯形对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲边”（即（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代以直代曲曲” 。 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A近似为近似为A1

4、AiAn分割越细，面积的近似值就越精确。当分分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积S。下面用第一种方案下面用第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程（1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 （2） 以直代

5、曲以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3）作和）作和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 （4）逼近）逼近。面积为，即所求曲边三角形的所以时，亦即当分割无限变细，即3131S31)n12)(n11 (61) 12n(n) 1n(61n1) 1n(210n1)n(0 x322223 分割分割以曲代直以曲代直作和作和逼近逼近 当分点非常多（当分点非常多（n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点而可以取

6、小区间内任意一点xi对应的函数值对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示来近似表示小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积x)f(xx)f(xx)x(fn21 表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值例例1：火箭发射后：火箭发射后ts的速度为的速度为v(t)(单位单位:m/s),假定假定0t10,对函数对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实按上式所作的和具有怎样的实际意义？际意义？解析: 讲区间0t100t10等分成等分成n n个小区间，每个小区间的个小区间，每个小区间的长度为长度为t t，在每个小区间上分别取点，在每个小区间上分别取

7、点. .虽然火箭的速度不虽然火箭的速度不是常数，但是在一个小区间内变化很小是常数，但是在一个小区间内变化很小. .所以，可以用所以，可以用v(tv(t1 1) ) 来代替火箭在第一个小区间上的速度，这样，火箭在第一个小区间上的速度，这样，v(tv(t1 1) ) tt火箭在第一个时间段内运行的路程，同理火箭在第一个时间段内运行的路程，同理v(tv(t2 2) ) tt火箭在第二个时间段内运行的路程，火箭在第二个时间段内运行的路程，从而从而Sn= Sn= v(tv(t1 1) ) t+ t+ v(tv(t2 2) ) t+ t+ v(tv(ti i) ) t+ t+ v(tv(tn n) ) t

8、 t火箭在火箭在10s10s内运行的路程内运行的路程这就是函数这就是函数v(t)v(t)按上式所作和的实际背景按上式所作和的实际背景. .1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC1,iixx练 习求曲边梯形面积的求曲边梯形面积的“四步曲四步曲”：1 1分割分割化整为零化整为零2 2近似代替近似代替以直代曲以直代曲3 3求和求和积零为整积零为整4 4取极限取极限刨光磨平刨光磨平