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1、第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,1,教学重点 1、掌握概念：系统误差，偶然误差，中误差，相对误差，容许误差； 2、掌握数据计算与合理取位的方法。 教学难点 1、中误差的含义和计算； 2、数值计算中的合理取位。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,2,本章内容 3.1误差理论的概述 3.2误差传播定律 3.3平差值的计算 3.4精度平定,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,3,3.1误差理论的概述 3.1.1测量误差 1、什么是误差？ 讨论 观测一个平面三角形的三个内角，其观测值之和是1795930，问：该测量的角度误差是多少？ 对一个书桌长度连着测三次的结果为60.4cm

2、、58.6cm、61.0cm，问：该测量的长度误差是多少？,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,4,结论 当观测对象存在真值（理论值）时，误差=观测值真值，即=L-X ； 当观测对象不存在真值时，误差=观测值最或是值，即=L-x 。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,5,3.1.2 测量误差产生的原因 （1）仪器误差 如尺长误差； （2）观测误差 如读数误差； （3）外界条件影响 如温度、风力等。 将观测者、测量设备和外界条件统称为观测条件,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,6,3.1.3 测量误差的分类 讨论 用钢尺测量距离，发现该尺的刻度值总是比标准尺，每1m少了0.

3、01m。用该尺5次测量的结果分别为30.04m，29.95m，29.97m，30.06m，29.98m 问： 5次丈量的结果不一样，这说明什么问题？ 该尺比标准尺每1m少0.01m又说明什么问题？ 按标准尺计,该段距离应为多少？,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,7,结论 误差有随机性，可用平均的办法减少影响； 误差有规律性，可用公式改正； 按标准尺计，该段距离应取： (1+0.01)(30.04+29.95+29.97+30.06+29.98)5 = 30.3m,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,8,（1）系统误差 在相同的测量条件下，对某一量进行系列观测，若误差出现的大小、

4、符号均相同或按一定的规律发生变化，这种性质的误差称为系统误差。主要是测量仪器带来的误差。 误差特性：有规律性和积累性，可用校正仪器或计算改正的方法予以消除。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,9,（2）偶然误差 在相同的测量条件下，对某一量进行系列观测，若误差出现的大小可大可小、符号可正可负，具有随机性变化，这种性质的误差称为偶然误差。 误差特性： 随机性：误差无规律，无积累性； 有界性：误差的绝对值被限定在某一范围；,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,10, 集中性：绝对值较小的误差出现的概率比绝对值较大的误差出现的概率大； 对称性：在多次观测中，绝对值相等的正负误差出现的概

5、率相等； 抵偿性：随观测次数的增加，偶然误差的算术平均值趋于零。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,11,例证 在相同的观测条件下，对某一个三角形的内角值进行了358次观测。其观测误差： i = (ai+bi+ci)-180 取误差区间间隔为0.20，将358个误差按其符号和大小排列，并绘制误差分布直方图。见误差分布表和误差分布直方图。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,12,投影 误差分布表和误差分布直方图,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,13,3.1.4衡量观测值精度的标准 1、精度的概念 在一定的观测条件下，对某一个量进行多次观测，对应着一个确定的误差分布。若观

6、测值非常集中，小误差出现的次数多，则精度高；反之，则精度低。因此，把误差分布的密集或离散程度称为精度。 精度可以用误差分布曲线来反映其高低。曲线陡，则精度高；曲线平缓，则精度低。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,14,2、衡量精度的指标 （1）中误差 中误差用m表示，设在等精度观测条件下，对某未知量进行了n次观测，测得观测值为l1，l2，ln ,相应的真误差为1，2，n ,则该组观测值的中误差定义为,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,15,练习 设某段距离的真值为49.982m 。现用钢尺丈量6次，其观测值分别为49.987m，49.975m，49.981m，49.978m，

7、49.987m，49.984m 。试求该观测值的中误差？,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,16, 设，甲、乙两组分别对某一三角形进行了10次观测，求得三角形内角之和的真误差 甲：+3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3-1 乙：0，-1，-7，+2，+1，+1，+8，0，-3-1 试求甲、乙两组观测值的中误差，并比较其精度高低。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,17,（2）相对误差 在距离测量中，观测值中误差的绝对值与测量成果（多次观测的距离平均值）之比，并化成1/N形式表示的，称为相对误差。,练习 分别丈量100m和200m的两段距离，其中误差m均为0.04m。

8、问：该两段距离的相对误差为多少？那一段距离的测量精度相对高一些？,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,18,（3）容许误差 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。在大量等精度观测的一组误差中，绝对值大于2倍中误差的偶然误差出现的概率为5%；绝对值大于3倍中误差出现的概率仅为0.3% 。 结论 容许误差：通常规定以2倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即：容 = 2m； 规定以3倍中误差作为极限误差极 = 3m。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,19,3.2 误差传播定律 1、定义 在测量中，有些量是利用其它观测值间接求得的，例如长方形面积Sab，式中a

9、、b是直接观测值， S是间接观测值。测量误差势必通过函数关系影响这些间接观测值，即间接观测值的中误差与直接观测值的中误差有一定的函数关系。各观测值中误差与其函数中误差的关系，称为误差传播律。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,20,2、误差传播定律的数学表达式 设是z独立观测值x1 ，x2 ， ，xn 的函数，即： 如果函数z的中误差mz为，观测值x1 ，x2 ， ，xn对应的中误差分别为m1 ，m2 ， ，mn ，则有：,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,21,（1）对于倍函数：,例，测量一正方形边长为10.5m,其测量中误差为md=0.05m，求该正方形的周长L及其中误差m

10、L。 解：L=4d=410.5=42m mL=40.05=0.2m 周长测量结果表示成： L= 42m0.2m,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,22,（2）对于和差函数：,例，对一个三角形观测了其中、两个角，测角中误差分别为m =3.5,m =6.2。另外一个角180 ，求角的中误差。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,23,(3)对于线性函数： (4)对于非线性函数：,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,24,3.3 平差值的计算 3.3.1 等精度观测平差值计算,改正数：平差值与观测值之差被称为改正数。表达式如下：,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,25,3

11、.3.2 不等精度观测平差值计算,权的概念：设n个不等精度观测值的中误差分别为m1，m2， ，mn ，则权可以定义如下： 式中m0是单位权中误差，即权为1的观测值所对应的中误差。假定m01，则：,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,26,加权平均值：如果对某一未知量进行了n次不等精度观测，观测值为 ，其相应的权为 ， 则加权平均值为： 改正数：将加权平均值作为不等精度观测时的平差值。平差值与观测值之差被称为改正数。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,27,3.4 精度评定 3.4.1 等精度观测的精度评定,观测值中误差：计算观测值中误差，对观测值进行精度评定： 平差值中误差：对平

12、差值进行精度评定。公式如下：,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,28,3.4 精度评定 3.4.2 不等精度观测的精度评定,单位权中误差： 平差值中误差：,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,29,3.5 测量计算中数字的凑整规则 1、按照“四舍六入五凑偶”的原则进行。 当数值中被舍去部分的数值，大于所保留末位的0.5时，则末位加1； 当数值中被舍去部分的数值，小于所保留末位的0.5时，则其末位不变； 当数值中被舍去部分的数值，等于所保留末位的0.5时，则将末位凑整为偶数。,第三章 测量误差理论的基础知识,工程测量,30,2、观测值的平均值一般取位至观测值保留位的下一位。 如，观

13、测值0.456m和0.459m的平均值是0.4575m,而不是0.458m。,作业与预习,工程测量,31,一、课堂作业 1、举例说明引起测量误差的主要原因。 2、阐述概念：系统误差，偶然误差，测量精度，中误差。 3、对某段距离丈量了6次，丈量结果为250.535m，250.548m，250.520m，250.529m，250.550m，250.537m。若距离真值为250.536m，试计算观测值的中误差及相对误差。,作业与预习,工程测量,32,4、用J6经纬仪观测某一水平角，其观测值为903018，903024，903030，903036。计算其算术平均值和观测值的中误差。 二、预习 1、水准测量的原理； 2、高程怎样传递？,