2012《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件（湖南专用）第6单元第35讲简单递推数列.ppt

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1、121.了解递推公式也是给出数列的一种方法，并能根据递推公式求出满足条件的项.2.掌握简单递推数列的通项公式的求法.3.熟悉递推公式模型，灵活应用求解通项及前n项和.3 1,2,2,3,3,3, 1 .(20104,4,4,4,50)10平数列， 的第顶山模拟项是( )A.14 B.12 C.13 D.15A解析1 1313123137 1391.210014. 因为故第项必为4 2 2. (2010) 1nnanSn若数列的福建厦门高三月前考项和为，则( )CA21B21CnnnananaD2nan561163.数列an中,a1=1，对所有的n2都有a1a2a3an=n2,则a3+a5= .

2、 因为a1a2a3=32,a1a2=22,所以a3= .因为a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,所以a5= ,所以a3+a5= + = .942516251636166116解析6134.(2010长郡中学)已知对任意正整数n，a1+a2+a3+an=2n-1,则a12+a22+a32+an2等于( )CA.(2n-1)2 B. (2n-1)C. (4n-1) D.4n-113 易知a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1，a1也适合，故an是以2为公比的等比数列，则an2是以1为首项，以4为公比的等比数列，故S= = (4n-1).131(1 4 )1 4n解析75

3、.已知a1=3,f(x)=x2,且an+1=f(an),则an= .由a1=3,a2=a12=32,a3=a22=34,知an= .解析123n123n81nnaa常见递推数列的通项公式的求法(1)若an-an-1=f(n),求an可用 法.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2).(2)若 =f(n),求an可用 法.an= a1(n2).(3)已知a1a2an=f(n),求an,用 法 f(1) (n=1) (n2).迭加累乘1nnaa12nnaa21aaan=作商( )(1)f nf n9(4)若an+1=f(an),求an可用 法.(5)若an+1

4、=kan+b,则可化成(an+1+x)=k(an+x),从而an+x是 数列，其中x可以由 求出.(6)若an=kan-1+bn(k,b为常数)，可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列，再求an.(7)若数列an满足a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan,则可化为(an+2-xan+1)=y(an+1-xan),其中x,y可用待定系数法求得,从而an+1-xan构成 数列.迭代等比待定系数法等比101npa(8)若an+1an+pan+qan+1=0,可化成 1+ + =0,令 =bn，从而上式变成bn+1=kbn+b型.(9)已知Sn的递推关系，先求出Sn，再求an，用作差法：

5、S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n2).npa1naan=11题型一 根据递推公式求通项公式例1 11 (201 111(1).02)nnnnnnnaaaanabbnn在数列中，设，求数列的通芜湖模拟项公式分析 111,112nnnnnnnnabnaaaannnnb 因为是计算，所以首先由递推公式，得到与的关系式；再借助于累加的方法求出的通项公式12321121nnnaaaaaaaa 求通项公式时除了运用累加法之外，还可根据题目的特点，利用这种累乘法求解解析1111121121*111111212111 12221 12 22(2)21.nnnnnnnnnnnnnaabannbbbbbbb

6、bbnnb N由已知得，且，即，从而有，又，故所求通项公式评析13 *11*11 021 () 1(2) (2011 1)12nnnnaaannnaaannnNN分别求出满足下列条件的数列的通项公式：，；，素材1淮北月考解析 12132122 0132523 11.1 nnnnaaaaaaannaann 所以该数列的通项公式为14 *32112112 2321 112321 1.2 .nnnnnnaaaaaaaanannnnnnna N，时， 又也符合上式，所以该数列的通项公式为1534 已知数列an,bn满足a1=2,b1=1,且an= an-1+ bn-1+1 bn= an-1+ bn-1

7、+1(n2).(1)令cn=an+bn,求数列cn的通项公式；(2)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn.141434题型二 直接转化为等差、等比数列型例216 (1)由题设得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n2),即cn=cn-1+2(n2).易知cn是首项为a1+b1=3,公差为2的等差数列,所以通项公式为cn=2n+1(nN*).解析17(2)由题设得,an-bn= (an-1-bn-1)(n2).令dn=an-bn,则dn= dn-1(n2).易知dn是首项为a1-b1=1,公比为 的等比数列，通项公式为dn= . an+bn=2n+1 an-bn= ,解得an= +n+ .

8、求和得Sn=- + +n+1.121212112n由112n12n1212n22n18 评析 本题考查等差、等比数列的基础知识考查基本运算能力，解答关键是将原问题转化为熟知的等差、等比数列问题求解 19 1122*1 1122.2 2nnnnnnnnnaaaaaanbaabaN 已知数列满足，令，证明：是等比数列；求的通素材项公式解析 12111111112 2221 11 2nnnnnnnnnnbaaaanbaaaaabb 证明：，当时，所以是以 为首项，为公比的等比数列20 111213212111 1111()2211 1 1()()22111212 111()13212521 ()33

9、25211()1521(.332)3322nnnnnnnnnnnnbaanaaaaaaaannaa 由知， 当时， ， 当时，所以*1()nN 2111565nnaa (1)已知数列an，其中a1=10，且当n2时，an= ，求数列an的通项公式an；(2)在正项数列an中，a1=10，an+12=an3，求数列an的通项公式及前5项之和.题型三 变形、构造转化为等差、等比数列例32211565nnaa (1)将an= 两边取倒数得 - = (n2)， 即 是以 = 为首项，以 为公差的等差数列，所以 = +(n-1) = ,即an= .n=1也适合上式.1na11na651na11a1106

10、51na11065121110n101211n 解析231lglgnnaa(2)因为an+12=an3，即2lgan+1=3lgan,所以 = ,即lgan是以lga1=1为首项，以 为公比的等比数列.所以lgan=1( )n-1,即an=10( )n-1,所以a1a2a3a4a5=10( )010( )110( )210( )310( )4=10( )0+( )1+( )2+( )3+( )4= .32323232323232323232323232211161024nnmanka 形如an+1= ，去分母后变为an+1an+pan+qan+1=0, 再化为 + =0，令 =bn，从而上式可

11、变为bk+1=kbn+b型；形如an+1p=anq型，两边取对数，从而直接转换，但应注意大前提“为正”.1npanqa1na评析25 11*122 (2)2 1 2nnnnnnnaaaannaaN已知数列满足，且，且求证：数列是等差素材3数列；求数列的通 项公式26解析 *111*1111 22 (2)11221(2)2211.2221111121(222.)22nnnnnnnnnnnnnnnnnaannaaaannaadannan NN证明：因为且， 所以， 即且， 所以数列是等差数列，且公差，首项由得， 所以2783 已知数列an中，其中a1= ，且an+1=-2an+5，求an的前n项和

12、Sn. 由题意，原递推式可变形为an+1+=-2(an+)，即an+1=-2an-3,与原递推式比较得=- ,53题型四 待定系数构造法 例4解析2853所以有an+1- =-2(an- ),故数列an- 是以a1- =1为首项，-2为公比的等比数列.则an- =1(-2)n-1，即an= +(-2)n-1,所以Sn=a1+a2+an= +(-2)0+ +(-2)1+ +(-2)n-1= n+= n- (-2)n+ .5353535353535353531 1 ( 2) 1 ( 2)n 53131329 待定系数法是从数列递推式特征规范、构造一个新数列，变换形式如下：(1)an+1=Aan+B

13、(A、B为常数)型，可化为an + 1+=A(an+)的形式；( 2 ) an + 1= A an+ B cn型 ， 可 化 为an+1+cn+1=A(an+cn)的形式；(3)an + 2=Aan + 1+Ban型，可转化为an+2+an+1=A(an+1+an)的形式；(4)an + 1=Aan+Bn+C型，可化为an+1+1(n+1)+2=A(an+1n+2)的形式（其中A、B、C均为常数). 评析30解析1111112 3231132(3)11332213212322 .nnnnnnnnnnnnaaaaaaaanaaa由，得，则所以数列是首项为，公比为 的等比数列所以所以 *111()

14、23.nnnnnaaaanaa N已知数列，其中，求其通项 公式素材431 设数列an的前n项和为Sn.已知ban-2n=(b-1)Sn(nN*). (1)证明：当b=2时，数列an-n2n-1是等比数列； (2)求数列an的通项公式. 32 由题设，得a1=2.又ban-2n=(b-1)Sn,则ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,即an+1=ban+2n. (*) (1)证明：当b=2时，由(*)式得an+1=2an+2n, 于是有an+1-(n+1)2n=2(an-n2n-1), 且a1-20=10，所以an-n2n-1是以

15、1为首 项，2为公比的等比数列.解析33112nna(2)当b=2时，由(1)知,an=(n+1)2n-1.当b2时，由(*)式知, = + , 所以 + = ( + )(nN*)， 所以 + 是以 + =1+ = 为首项， 为公比的等比数列. 所以 + = ( )n-1, 即an= (2b-2)bn-1-2n(nN*).2b2nna12112nna12b2b2nna12b2nna12b12a12b12b12bb2b2nna12b12bb2b12b 341.一是要熟练掌握常见的递推数列的通项公式的求法.如迭加型，累乘型等.二是会将问题转化为等差、等比数列，而转化的方法在于合理构造，常用的手段有

16、：(1)构造an+x,x为常数；(2)构造an+1-xan，x为常数；351na(3)构造 ;(4)构造 ;(5)构造an+f(n).2.不等式与递推关系综合问题，方法与相等关系中类似，常有放缩法化归为等比数列求和或易求和型，从而证得不等式.nna36 112321 2.() 1 2nnnnnnaaaaaaba xxbnR 已知数列是等差数列，且，求数列的通项公式；令，求数列的前 项和错解 123111232313312.222122 .12246212nnnnnnnnnnadaaaadadannSbbbbba xSxxxnxnx设等差数列的公差为 ， 则又， 所以，所以令， 则由， 得，37

17、2341234111224621212()21 22 12 12.11nnnnnnnnnnnxSxxxnxnxx SxxxxxnxxxnxxxxnxSxx ， 由得，所以错解分析 2100010,1nxxSxxx 上述的解答，在式中使用等比数列的求和公式时，没有考虑公比的情形另外，当时，是显然的因此，正确解答要分、与三种情况38正解 123111232313312.22.246212. ( )00 ( )122 246212212122nnnnnnnnnnnnadaaaadadSbbbbba xSxxxnxnxxanSxnnSnnn 设等差数列的公差为 ， 则 又，所以，所以令， 则由， 得当时，；当时，22nn ；3923412341112()0,1246212. 12()21 22 12 12.11nnnnnnnnnnnxxSxxxnxnxx SxxxxxnxxxnxxxxnxSxx 当时，由得，得212(1)2 (1)2(1)1(1.)nnnnn xSxxnxxxx综上所述，