中考数学二次函数——抛物线与直线形试题(18页).doc

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1、-中考数学二次函数抛物线与直线形试题-第 19 页抛物线与直线形（1） 由动点生成的特殊三角形问题知识点归纳抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：（1） 抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2） 抛物线上的点能否构成直角三角形；（3） 抛物线上的点能否构成相似三角形；解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。经典例题【例1】如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且 （1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，

2、是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由（龙岩市中考题）思路点拨 对于（3）只需求出点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。【例2】已知抛物线，交轴于两点（在的左边），交轴于点，且有最大值（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由（包头市中考题）思路点拨 对于（2），设点坐标为，寻找相似三角形，建立的另一关系式，解联立而得到的方程组，可求出的值。【例3】抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点（1）如图求点的坐标及线段OC的长；（2）点在抛物线上，直线交轴于点，连接若

3、含角的直角三角板如图所示放置其中，一个顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点E在上求直线的函数解析式；若含角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在直线上，另一个顶点在上，求点的坐标（2011年绍兴市中考题）思路点拨 对于（2），解题的关键是求出的长。由条件出发，构造全等三角形或相似三角形，而能发现四点共圆，可使问题获得简解。【例4】如图，抛物线的顶点为，交轴于两点，交轴于点，其中点的坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）如图，过点的直线与抛物线交于点，交轴于点，其中点的横坐标为2，若直线为抛物线的对称轴，点为直线上的一动点，则轴上是否存在一点，使四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小

4、值及点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交线段于点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（2011深圳市中考题）思路点拨 对于（2），因是一个定值，故需使最小即可，从轴对称入手；对于（3）由题意知，要使，只要使，即；或从角入手得到隐含的相似三角形。同步训练1. 如图，已知抛物线的顶点为，且经过原点O，与轴的另一个交点为（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）连接，如图，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；

5、若不存在，说明理由（临沂市中考题）2. 如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点是抛物线上一点，以为顶点的四边形是直角梯形，试求出点的坐标（临沂市中考题）3. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点如图所示，点在抛物线图象上，过点作轴，垂足为，且点横坐标为（1）求证：；（2）求所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在

6、，请说明理由（2011年西宁市中考题）4. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于两点，与轴交于点，其中（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线上运动（点异于点）如图1当面积与面积相等时求点的坐标；如图2当时，求直线的解析式 （2011年莆田市中考题）5. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，过顶点作轴于点 （1）直接填写： ， ，顶点的坐标为 ；（2）在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点为轴上方的抛物线上一动点（点与顶点不重合），于点，当与相似时，求点的坐标抛物线与直线形（2） 由动点生成的特殊四边形问题知识点归纳抛物

7、线与直线形的结合另一表现形式是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式：（1）抛物线上的点能否构成平行四边形；（2）抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形；（3）抛物线上的点能否构成梯形；特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的关键。经典例题【例1】如图，抛物线与轴交两点（点在点左侧），直线与抛物线交于两点，其中点的横坐标为（1）求两点的坐标及直线的函数表达式；（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；（3）点抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使这样的四个点为顶点的四边形

8、是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由（义乌市中考题）思路点拨 对于（3），可能为平行四边形的边或对角线，故四个点能组成四边形的情况由多种，需全面讨论。【例2】如图，对称轴为直线的抛物线经过点和（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；当平行四边形的面积为时，请判断平行四边形是否为菱形？是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（河南省中考题）思路点拨 对于（2），若，则平行四边形为菱形；若且，则平行

9、四边形为正方形。先求出点坐标，再看点是否在抛物线上。【例3】如图：二次函数的图象与轴交于两点，且与轴交于点（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在轴上方的抛物线上有一点，且四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（临江市中考题）思路点拨 问题（1）中已经确定了的形状，只需再构造直角就可解决问题（3）。点是直线与抛物线的交点，但梯形的另一直角顶点不确定。【例4】如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在轴上，顶点在轴的负半轴上已知，的面积，抛物线经过三点。 (1)求此抛物

10、线的函数表达式； (2)设是轴右侧抛物线上异于点的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作垂直于轴于点，再过点作垂直于轴于点，得到矩形则在点的运动过程中，当矩形为正方形时，求出该正方形的边长； (3)在抛物线上是否存在异于的点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（2011年成都市中考题）分析 对于（2），设出点的坐标，由，建立方程；对于（3），假设存在点，使中边上的高为，则点应在与直线平行且与直线相距的两条平行线上。同步训练1. 如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点（1）求直线的函数关系式；（2）动点在线段上，从原点出发以每

11、秒一个单位的速度向移动，过点作轴的垂线，交直线于点，抛物线于点，设点移动的时间为秒，线段的长为个单位，求与的函数关系式；（3）在（2）的条件下（不考虑点与点、点重合的情况），连接，四边形能否为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由（2011年广州市中考题）2. 已知平面直角坐标系（如图），一次函数的图象与轴交于点，点在正比例函数的图象上，且二次函数的图象经过点（1）求线段的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点在轴上，且位于点下方，点在上述二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，且四边形是菱形，求点的坐标（2011年上海市中考题）3. 如图，已知抛物线过点，与轴交于另一点

12、（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由（烟台市中考题）4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点，点在轴上，点的横坐标为（1）求该抛物线的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点设的周长为，点的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；连接，以为边作图示一侧的正方形随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点或恰好落在轴上时，直接写

13、出对应的点的坐标（2011年河南省中考题）抛物线与直线型（3） 由动点生成面积问题知识点归纳面积是平面几何中一个重要的概念，关联这平面图形中的重要元素与角。由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式。解这类问题常用到以下与面积相关的知识：（1） 图形的割补；（2） 等积变形；（3） 等比变化。经典例题【例1】 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明

14、理由（昆明市中考题）思路点拨 对于（3），抛物线的对称轴是直线，当点C位于的对称轴与线段的交点时，的周长为最小，为此需求出直线AB的解析式；对于（4）过点作轴的平行线交解析式；对于（4），过点作轴的平行线交于，则，代入展开整理得关于的二次函数。【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数的图象记为抛物线（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线，如图，求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为C，K为轴上一点若，求点k的坐标； （威海市中考题） 思路点拨 （1）设点坐标为，通过图形的分割计算，建立的方程；（2）点必在平行于的直线

15、上，从等积变形入手。【例3】 如图，已知点A（m,6)、B(m,1)为两动点，其中0m3，连接OA、OB，OAOB。（1）求证：mn=6；（2）当时，抛物线经过A，B两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式； (3) 在（2）的条件下，设直线AB交轴于点F，过点F作直线交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线，使 ？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。 （潍坊中考题）【例4】如图，已知抛物线经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当APCP时，求点P的坐标；（3）设直线B

16、C与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？ （2011年包头市中考题）分析 由点的个数的探讨联想到“根的判别式”，解题的关键是寻找n、S的关系，并建立关于t的一元二次方程。同步训练1如图，抛物线与双曲线相交于点A，B已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且=4过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存

17、在，请你说明理由2 如图，已知直线与抛物线交于A、B两点， （1）求A，B两点的坐标； （2）求线段AB的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由第二题 （长沙市中考题）3. 如图，抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，对称轴与抛物线相较于点P、与直线BC相较于M，连接PB。（1） 求该抛物线的解析式；（2） 抛物线上是

18、否存在一点Q，使与的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使与的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由。 （大连市中考题）第3题4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点C，顶点为E，顶点为E。（1）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE=SABC，求此时直线BC的解析式；（3）将（1）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足，且顶点E恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式二

19、次函数复习一、自学导航：考点一：二次函数的定义：1. 下列函数中，哪些函数是y关于x的二次函数？ (1) (2) (3) （4） （5）2. 若是关于x的二次函数，则m的值为 .考点二：二次函数的图象和性质：关系式一般式y=ax2+bx+c(a0)顶点式y=a(x-h)2+k(a0)图像形状抛物线开口方向当a 0,开口向 ；当a 0在对称轴的左侧, y随着x的增大而 ；在对称轴的右侧, y随着x的增大而 a 0当x = 时,最小值为 .a 0当x = 时,最大值为 .练习：1.y2x2bx3的对称轴是直线x1，则b的值为_2.已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,顶点坐标为（2，3） ,那

20、么该抛物线有最 值 .考点三：二次函数平移问题：平移法则：遵循“左加右减，上加下减”原则，左右针对x，上下针对y.说明：平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既可先左右后上下，也可先上下后左右；抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时只要抓住顶点的位置变化；抛物线y=a(x-h)2+k经过反向平移也可得到抛物线y=ax2的图象.练习：1. 已知y=a(x-h)2+k是由抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线，求出的值.2 抛物线y=x2+bx+c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x2-2x-3，则b= 、c= .考点四：二次函数y=ax2+bx+

21、c的图象特征与a，b，c符号间的关系 a决定 b和a共同决定 c决定抛物线与 轴交点的位置练习：1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa0，b0，b24ac0; Ba0，b0，b24ac0; Ca0，c0; Da0，c0，b24ac02.二次函数y=ax2bxc与一次函数y=axc在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）1题 2题考点五：用待定系数法求二次函数的表达式（1）一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，且a0) 已知抛物线上三个点的坐标时；（2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，且a0)已知条件与抛物线顶点坐标有关时； 练习：

22、3.（1） 已知二次函数y=ax2+bx+c过（-1，0），（3，0），（0，），求此抛物线的表达式.（2） 已知抛物线的顶点坐标为（-1，-3），与y轴的交点坐标为（0，-5），求抛物线的表达式.（3） 已知抛物线y=x2+px+q与x轴只有一个公共点，坐标为（-2,0），求此抛物线的解析式.（4） 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(2，3)，且过(1，5)，求抛物线的解析式考点六：最值1、自变量x取全体实数时二次函数的最值方法：(1)配方法：当0，x=时，y取最 值 ；当0，x=时，y取最 值 .(2)公式法：直接把上面的结论作为顶点坐标公式来计算.例1求二次函数y=x2-2x+

23、3的最小值.2、自变量x在一定范围内取值时求二次函数的最值例2分别在写列范围内求函数y=x2-2x-3的最大值或最小值.（1）0x2 ； （2）2x3 .3、最值的应用练习：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?考点七：二次函数与一元二次方程例1：已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 不等式-x2+2x+m0的解集为 二次函数检测一、选择题1、下列函数中，是二次函数的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个2、抛物

24、线不具有的性质是( )A、开口向下B、对称轴是轴C、与轴不相交D、最高点是原点3、二次函数有( )A、最小值1 B、最小值2C、最大值1D、最大值24、已知点A、B、C在函数的图象上，则、的大小关系是( )A、 B、C、 D、5、二次函数图象如图所示，下面五个代数式：、中，值大于0的个数是( ) A、2B、3C、4D、5 5题 6题6、二次函数与一次函数在同一直角坐标系中图象大致是( )二、填空题 7、二次函数的对称轴是_8、当_时，函数为二次函数9、若点A在函数上，则A点的坐标为_10、函数中，当_时，随的增大而减小11、抛物线与轴的交点坐标是_12、抛物线向左平移4个单位，再向上平移3个单

25、位可以得到抛物线_的图像13、将化为的形式是_14、抛物线的顶点在第_ _象限15、试写出一个二次函数，它的对称轴是直线，且与轴交于点_16、抛物线绕它的顶点旋转180后得到的新抛物线的解析式为_17、已知抛物线的顶点在轴上，则c_三、解答题18、已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求该抛物线的解析式19、如果一条抛物线的开口方向，形状与抛物线相同且与轴交于A、B两点求这条抛物线的解析式；设此抛物线的顶点为P，求ABP的面积20、（2014济宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A的坐标，判定点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由