三角函数两角和与差,以及万能公式的推导(3页).doc

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1、-三角函数两角和与差,以及万能公式的推导-第 3 页向量法：取直角坐标系，作单位圆取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A取一点B，连接OB，与X轴的夹角为BOA与OB的夹角即为A-BA（cosA,sinA),B(cosB,sinB)OA=(cosA,sinA)OB=(cosB,sinB)OA*OB=|OA|OB|cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB|OA|=|OB|=1cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角，-，使角的始边为Ox交O于P1，终边交O于P2；角的始边为OP2，终边交O于P3；角-的始边为OP1，终边交O于P4.依

2、三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cos,sin）、P3（cos(+),sin(+),P4(cos(-),sin(-).连接P1P3，P2P4. 则P1P3=P2P4.依两点间距离公式，得P1P3|2=cos(+)-12+sin(+)-02,P2P4|2=cos(-)-cos2+sin(-)-sin2cos(+)-12+sin2(+)=cos(-)-cos2+sin(-)-sin2展开整理，得2-2cos(+)=2-2(coscos-sinsin)cos(+)=coscos-sinsin C+.该公式对任意角，均成立在公式C+中，用-替代.cos(-)=

3、cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)=coscos+sinsin.cos(-)=coscos+sinsin C-.该公式对任意角，均成立. 普高教材(必修)125_126页有 两角差的余弦公式推导 . 照抄给你. 如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,则 向量OA=(cos,sin),向量OB=(cos,sin), 由向量数量积的坐标表示,有 向量OA*向量OB=(cos,sin)*(cos,sin) =coscos+sinsin (1)如果-0,那公向量OA与向量OB的夹角就是-,由向量数量积的定义,有 向量OA

4、*向量OB=向量OA*向量OBcos(-)=cos(-) 于是cos(-)=coscos+sinsin (2)当-不0,设向量OA与向量OB的夹角为,则 向量OA*向量OB=向量OA*向量OBcos=cos= coscos+sinsin 另一方面.由图可知=2k+,kZ,所以 cos(-)=cos 也有cos(-)=coscos+sinsin 所以,对于任意角,有 cos(-)=coscos+sinsin 两角差的余弦公式cos(-)=coscos+sinsin 由两角差的余弦公式cos(-)=coscos+sinsin,得 两角和的余弦cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sin

5、sin(-) =coscos-sinsin,得 两角和的余弦公式 cos(+)=coscos-sinsin, 两角差的正弦公式推导,则可由余弦公式及诱导公式很快得出; sin(-)=cos/2-(-)= cos(/2-)+)=cos(/2-)cos-sin(/2-)sin =sincos-cossin 两角和的正弦公式推导 sin(+)=sin-(-)=sincos(-)-cossin(-) sincos+cossin 作单位圆，做向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),俩向量夹角 cos(a-b)=(cosacosb+sibasinb)/|a|*|b|=cosacosb+sibasinb. 由梯形面积，得1/2 *1*1*sin(a+b)+1/2 *sina*cosa+1/2 sinbcosb=1/2 *(sina+sinb)*(cosa+cosb),sin(a+b)=sinacosb+cosasinb, 将b换成-b,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb万能公式的推导：