2010数学建模A题目解析专业论文储油罐的变位识别与罐容表标定.pdf

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1、 - 1 - 储油罐的变位识别与罐容表标定 摘 要 储油罐作为加油站常用的贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的 计量变得尤为重要，本文讨论了，加油站卧式储油罐的变位识别与罐容表标定问题。其 主要方法是参考卧式储油罐罐内油品体积标定测量技术，结合几何关系及积分计算，建 立储油罐内储油量，油位高度及变位参数（纵向倾斜角与横向倾斜角）之间的关系 模型。然后分析模型，在油位高度一定时，由储油量确定变位参数与的值，即为对 储油罐进行变位识别；在变位参数与一定时，根据油位高度可确定储油量，即为对 罐容表（罐内油位高度与储油量之间对应的函数关系表达式）进行标定。 针对问题一: 首先，在罐体无变

2、位情形下从椭圆罐几何关系入手，建立储油量与油位高度之间的 关系。避过过程较繁琐的积分求法，采用比较简单的投影原理来求椭圆上石油截面的面 积，利用柱体体积公式即可求得储油量与油位高度关系。然后，用 matlab 编程实现实 验测量数据与理论计算数值的拟合对比，结合汽油热膨胀系数，对模型进行修正，修正 热膨胀所带来的计算误差，代入附表实际测量数据验证模型并重新拟合对比，进行误差 分析。 误差为0.0655%， 所以模型正确， 具有高精度等特点。 在罐体发生纵向倾斜角 0 4.1 的位变时，根据储油罐几何形状，采用双重积分，结合几何关系及积分计算，确定储油 量与油位高度函数表达式，同样，通过拟合对比

3、，进行误差分析。并得到误差大约为 0.88%，其误差也在允许的范围内。最后，设定初始测得油面高度，给出罐体变位后油 位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 针对问题二: 此问关键在于寻找储油量与油位高度及变位参数之间的关系。当储油罐分别发生横 向或纵向变化时，罐内所储油品容积可分解为装载石油的圆柱体罐身和球冠体封头两部 分的体积之和。利用问题一同样的方法可以求得圆柱体内油量；再利用几何关系和积分 计算可求得罐球冠体内油的体积。因此，可得出储油量与油位高度及变位参数之间的关 系即罐体发生变位后罐容表标定模型。在利用数据求解、 时，我们利用 matlab 采 用蒙特卡罗法，搜索附件 2 提供的任意

4、数据组合进行求解和检验。并找到最适合的、 数值（本模型求解为：= 0 3.61、= 0 2.41） ，最后，根据模型所算数据重新标定罐容 值，构建新的罐容表。 关键词 拟合对比 变位参数 热膨胀系数 投影法 重积分 蒙特卡洛算法 搜 索 - 2 - 一、问题重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先 标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位 高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾 斜和

5、横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需 要定期对罐容表进行重新标定。图 1 是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为 圆柱体，两端为球冠体。图 2 是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 3 是罐体横向偏转变 位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 4 的小椭圆型储油罐（两端平 头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验， 实验数据如附件 1 所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体 变位后油位高度间隔为 1cm

6、的罐容表标定值。 （2）对于图 1 所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐 内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关 系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件 2），根据你们所建立的 数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。进 一步利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件附件 1：小椭圆储油罐的实验数据 附件附件 2：实际储油罐的检测数据 油 油浮子 出油管 油位探测装置 注 油 口 检 查 口 地平线 2m 6m 1m 1m 3 m 油位 高度

7、图图 1 储油罐正面示意图储油罐正面示意图 油位探针 - 3 - 油位探针 地平线 图图 2 储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图 油 油浮子 出油管 油位探测装置 注 油 口 检 查 口 水平线 (b) 小椭圆油罐截面示意图 油 油浮子 出油 油 位 探 注油口 水平线 2.05m0.4m 1.2m 1.2m 1.78m (a) 小椭圆油罐正面示意图 图图 4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图 图图 3 储油罐截面示意图储油罐截面示意图 （b）横向偏转倾斜后正截面 地平线 地平线垂直线 油位探针 （a） 无偏转倾斜的正截面图 油位探针 油位探测装置 地

8、平线 油 3m 油 - 4 - 二、问题分析 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统” ，通过对加油站地下储油罐的实地考察以及对地下储油罐相关资料的搜索 整理，对埋卧式储油罐的构造和工作情况有了较全面的了解。就一般地埋卧式储油罐而 言，出油管由于有阀门和电机的压力造成一定的气阻，基本都是单向流动，故一直为油 满状态。配带油浮子的管子与注油管均为空心，故进油与油罐液面相一致。对于体积不 大的储油罐，进油管、出油管的半径一般为 3-8cm，油浮子的半径为 0.5-1.5cm，但边 缘厚度均薄，因此，本模型建立中，不予以考虑其体积对储油量的影响。由于汽油

9、存在 热膨胀的情况，所以，温度对罐内油的体积有较大的影响。 首先，结合上述因素及汽油热膨胀系数，建立模型并对模型进行修正，修正热膨胀 所带来的计算误差。代入附表实际测量数据验证模型。 然后，根据模型对储油罐进行变位识别即为对地下储油罐的横向或是纵向变位进行 识别认证。可利用模型，得出横向变位，纵向变位。 最后，根据模型所算数据重新标定罐容值，构建新的罐容表（罐内油位高度与储油 量之间对应的函数关系表达式） 。 针对问题一，关键在于寻找储油量与油位高度之间的一般关系。根据实验要求，在 小椭圆型储油罐罐体无变位时，通过圆在以一定角度下射影可转化成椭圆的原理。可得 出储油量与油位高度之间的函数关系式

10、，易知，此关系式即为预先标定的罐容表标定表 达式。在小椭圆罐发生纵向倾斜角为 0 4.1时，根据储油罐几何形状，结合汽油热膨胀， 采用双重积分，确定储油量与油位高度函数表达式，继而求出变位后的罐容表标定表达 式；并对变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。然后，根据油面高度用 matlab 编程实现实验测量数据与理论计算数值的对比，进行误差分析。 针对问题二，关键在于寻找储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。对图 1 所示的实际储油罐，我们将储油罐分成三部分（圆柱体中油的体积V身，两个球冠所含 油的体积V头1、V头2） ， 储油量为灌身容积与罐头容积之和。首先，假设储油罐只发生 倾斜

11、角为的横向变位时，利用积分计算找出储油量与油位高度及之间的关系表达 式。同上，假设储油罐只发生倾斜角为的纵向变位时，找出储油量与油位高度及之 间的关系表达式。然后，结合二式，可写出储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角 与横向倾斜角） 之间的关系表达式。 根据附件 2 所提供的数据， 在利用数据求解、 时， 我们利用 matlab 采用蒙特卡罗法， 搜索附件 2 提供的任意数据组合求解和检验。 并找到最适合的、数值。根据所求值即可对储油罐的变位进行识别。 三、模型假设 1、假设石油在储油罐里挥发程度极小，可忽略不计； 2、油位高度是指油面到底的距离并不考虑油浮子厚度，油浮子直径贴紧油面； 3、

12、假设进油管，出油管的体积对储油罐内油的体积的影响均不予以考虑。 4、假设收集数据当天温度及地埋储油罐温度稳定，且保持不变。 5、假设石油在收集数据当天温度下的热膨胀系数为 0.035。 - 5 - 6、假设卧式储油罐的钢板壁较薄，壁厚对储油罐体积影响极小，可以忽略不计。 四、符号说明 S 油罐垂直截面中油所占的截面面积 V 油罐中油的体积 h 截面中液面到底部的距离 l 油罐垂直截面到右端罐底的截面积 纵向偏离角度 横向偏离角度 R 圆柱体的半径 a 椭圆长轴长 b 椭圆短轴长 K 油的膨胀系数 c h 由探针测量出的高度 L 柱体长度 五、模型的建立 问题一 （1）当小椭圆型储油罐无变位时，

13、油罐中液面高度与体积的关系求解： ）当小椭圆型储油罐无变位时，油罐中液面高度与体积的关系求解： 先求液面截面积与液面高度的关系。由于截面是椭圆的一部分，在计算液面截面面 积时，可采用积分法，建立坐标系，对椭圆上被油侵过的椭圆部分积分，再与圆柱体的 母线相乘（椭圆柱立体示意图，如图 5 所示。 ）既可得到油的体积。但积分过程比较繁 琐。在这里，我们采用比较简单投影法来求椭圆上截面的面积，其方法是利用圆的投影 为椭圆，将一个半径为a圆以一定角度放置在水平面上，光线由上向下投下垂直投下， 在水平面上将得到一个长轴长为2a短轴长为2 cosa的椭圆，如下图 6 所示。 图 6 中 c 图是沿光线方向看

14、去，圆所形成的投影。再在椭圆上的截面积则可在圆上 找到其形成投影的部分，在圆上计算出这部分面积 o S ，再乘以cos，cos o S即为所求 的椭圆截面积。如图 7 所示。 - 6 - 0 1 2 3 -1 0 1 0 0.5 1 1.5 2 xy z 图 5 椭圆柱立体示意图 图 5 椭圆柱立体示意图 图 6 圆成图 6 圆成角投影成椭圆过程图 角投影成椭圆过程图 图 7 椭圆部分面积转换成圆部分面积计算示意图 图 7 椭圆部分面积转换成圆部分面积计算示意图 由以上知识，可计算得到椭圆油罐在无变位时的液面与油体积的关系： VSl 公式（1） 液面高度h反投影到圆上的长度为 /coshh，圆

15、上截面面积所占的扇形角度为 ， /2arccos()/ )aha，则在圆上形成投影部分的面积 S为： - 7 - 2 /2() sin( /2)Saah a 公式 （2） 从而求得所求截面面积： 2 (/2() sin( /2)cosSaah a 公式 （3） 将式（3）带入式（1）求得： 2 (/2() sin( /2) cosVaah al 公式 （4） 对问题 A 附件 1 数据进行处理，将出油数据表倒序排列，转化成注入油的数据表， 并求得无变位时的高度与油罐内油的体积的对应关系得到附表 1，将附表 1 中的高度代 入公式（4）计算得到油罐中油的体积，算出每次实际加入油量与每次计算加入油

16、量。 发现计算值每次比实际值大，并求得其差值和差值与实际值的比例，将差值和差值与实 际值的比例列入到附表 1 中。 由附表1我们可知道偏差是由油罐内存在一些其他部件如出油管、 油位探测装置等， 以及油罐内外温度差异引起。我们知道储油罐中的管子其厚度一般较小，油位探测装置 也是空心的，其厚度也比较薄。因此影响偏差的主要因素是温差的原因，储油罐内的温 度一般比外界高， 且基本保持不变。 注入的油到储油罐里后， 会由于温度的升高而膨胀， 体积变大，而输出的油由于温度降低，而使体积减小，即在油罐中每次抽出的油应比测 量值大。 由附表 1 我们也可看出， 若每次注入油罐内的油量不变， 其偏差基本保持不变

17、， 且差值与实际值的比例基本保持不变，即相当于在温差相同的情况下，油的膨胀系数保 持不变，由此我们可得到不同温度下油的膨胀系数。 因此需要对公式（4）进行修改，加入油的体膨胀系数K 1（其值求解见附表 1 数 据）后得： 2 (/ 2() sin( / 2) cos 1 aah al V K 公式（7） （2）当小椭圆型储油罐纵向变位（）当小椭圆型储油罐纵向变位（ 0 =4.1）时，油罐中液面高度与体积的关系： ）时，油罐中液面高度与体积的关系： 液面高度h反投影到圆上的长度为 /coshh，油截面高度()tan cc hhdl， 圆上截面面积所占的扇形角度为， /2arccos()/ )ah

18、a，类似于公式（2） 、 （3）求 得： 2 (/2() sin( /2)cosSaah a 公式 （8） 对公式（8）在l上进行积分如下： 0 (1/(1) L VKSdl 公式 （9） 其中，椭圆长半轴为a，短半轴长为b；油罐母线为l，油面高度为h。 依据建立的模型，用 matlab 编程求得 V 的表达式，其结果见附表 2。从而得到油罐 中液面高度与体积的关系。 并利用此关系模型， 给出油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定 值。 问题二 在实际中，储油罐不仅存在纵向变位，还存在横向变位，在问题一中我们已算得椭 圆柱体储油罐中测量高度与体积的对应关系。因而在求解此问时，我们可借助问题一所

19、- 8 - 使用的方法，来求储油罐中圆柱体中油的容量。因此，在求解的时候，我们可以将储油 罐分成三部分（圆柱体中油的体积V身，两个球冠所含油的体积V头1、V头2） ，分别计算 其体积。最后其储油罐中储油量为： V +V+VV 头1头2身 公式（10） 式中，V头1表油罐较低一端凸头部分的容油量，V头2表油罐较高一端凸头部分的容 油量。 （1）储油罐圆柱体（1）储油罐圆柱体V身的计算： 的计算： 首先，处理将横向变位。由图 3 中 b 图，油浮子高度在铅垂线上投影高度 o h 与 测量油位高度 c h 的关系为： cos oc hh 公式 （11） 任意截面的油面高度为 cos()tan cc

20、hhdl 公式 （12） 设油截面所占的夹角为，则 /2cos()/)arcRhR 公式 （13） 油截面积 2 /2()sin( /2)SRRh R 公式 （14） L 0 =(1/(1+K)SVdl 身 公式 （15） （2）球缺型罐封头容积（2）球缺型罐封头容积V头（其中（其中V =V+V 头头1头2）的计算： ）的计算： 已知截面半径为R,冠顶高为 o d ,可求得球冠的半径为： 22 ()/(2) ooo RRdd 公式（16） 0=arccos( )/) oo RxR 公式（17） 式中 o R 、 0 在图中位置关系如图 8 所示： 图 8 球缺型罐封头右视图 图 8 球缺型罐封

21、头右视图 - 9 - 0 sin xo rR arccos()/)RxR sin x dR sin(/) xxx arcdr 式中、 x r 、 x d 、 x 在图中的位置如图 9 所示： a 正面图 b 左视图 c 俯视图 图 9 球缺型罐封头各角度视觉图 a 正面图 b 左视图 c 俯视图 图 9 球缺型罐封头各角度视觉图 2 px xx x Srd r 对 p S在液面高度上积分得到罐头中油量体积如下： H p 0 =(1/(1+K)SVdx t 通过 matlab 求积分得到： 2 2131 11111 2 33322222 11 6 22 22 2 2 11 22 24222221

22、 112sin11 333 42 V10 8264 221 11 3 HHHHHWW WVV tg DDDDVD HH DDuu DD HH V DD 头1 6 2 1 11 22 10 421HH tg WDD 2 2131 22222 2 33322222 22 6 22 22 2 2 22 22 24222221 11 2sin11 333 42 V10 8264 221 11 3 HHHHHWW WVV tg DDDDVD HH DDuu DD HH V DD 头2 6 2 1 22 22 10 421HH tg WDD 式中： 2 3 2 21 ; 2 Lu uVWVu Du ； 1

23、 H 表示左端头的液面高度； 2 H 表示左端头的液面高 - 10 - 度； 2 D 表示球冠的直径。因此，总体积V可求得。求解过程，采用 matlab 程序实 现。 六、 模型的求解及结果分析 对问题一的求解 当罐体无变位时： 当罐体无变位时： Step 1 对附表 1 中无变位进油中累加进油量（加上罐内油量初值）一栏及油位高 度数据利用 matlab3编程进行拟合得到实际测量罐容量值，如图 7a 所示。 Step 2 利用所建模型（见模型建立） ，并结合附表 1 中油位高度利用 matlab3编程， 得到理论计算罐容量值如图 7b 所示。 Step 3 把实际测量罐容量值及理论计算罐容量值

24、利用 matlab 化入同一个图形中， 进行对比描述，如图 7c 所示。 Step 4 进行误差表示，令误差=|实际测量罐容量值-理论计算罐容量值|，同样由程 序得到误差表示图形，如图 7d 所示。 对附表 1 中无变位出油先进行将出油数据表倒序排列，转化成注入油的数据表，根 据 Step1、Step2、Step3、Step4，同理，由 matlab 程序4，可得无变位出油实际测量 罐容量、理论计算罐容量值曲线及其对比曲线和误差罐容量，如图 8a、b、c、d 所示。 00.511.5 0 1 2 3 4 实际测量罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 0 1 2 3 4 理论

25、计算罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 0 1 2 3 4 实际与理论结合罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 -5 0 5 10 x 10 -5 误差罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 图 7 无变位进油实际测量、理论计算及其对比曲线和误差罐容量 图 7 无变位进油实际测量、理论计算及其对比曲线和误差罐容量 - 11 - 00.511.5 0 1 2 3 4 实际测量罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 0 1 2 3 4 理论计算罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 0 1 2 3 4 实际与理论结合罐容

26、量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 -5 0 5 10 x 10 -5 误差罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 图 8 无变位出油实际测量、理论计算及其对比曲线和误差罐容量 图 8 无变位出油实际测量、理论计算及其对比曲线和误差罐容量 从图 7、图 8 的 d 图可知在无变位时，令偏差=|实际测量罐容量值-理论计算罐容 量值|/实际测量罐容量值，先累加所有差值，无变位进油和出油的累加结果分别为： 2.6L，2.4L。 所以偏差为： 2.4L 0.0613% 3916.19L ； 2.6L 0.0655% 3968.91L ；所以模型正确，并且精 度高。 当罐体成纵向当罐体

27、成纵向 0 =4.1变位时： 变位时： 由 matlab 程序5求得纵向变位的罐容表见附表 2。并用求得的理论计算罐容量与 实际测量罐容量进行对比处理。分别求得当罐体成纵向 0 =4.1变位时出油实际测量、理 论计算及其对比曲线和误差罐容量，结果如图 9 所示。 算法实现步骤： Step 1 根据罐体倾斜的角度，利用几何关系，建立了体积关于高度h的积分，得到 体积V关于高度h的函数表达式； Step 2 利用所建模型（见模型建立） ，并结合附件 1 中油位高度利用 matlab5编程， 得到理论计算罐容量值。 - 12 - 00.511.5 0 1 2 3 4 实际测量罐容量（L/m） 油高值

28、 罐内油量体积 00.511.5 0 1 2 3 4 理论计算罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 0 1 2 3 4 实际与理论结合罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 误差罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 图 9 纵向图 9 纵向 0 =4.1变位时进油实际测量、理论计算及其对比曲线和误差罐容量 变位时进油实际测量、理论计算及其对比曲线和误差罐容量 00.511.5 0 1 2 3 4 实际测量罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 0 1 2 3 4 理论计算罐容量（L/m） 油高

29、值 罐内油量体积 00.511.5 0 1 2 3 4 实际与理论结合罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 00.511.5 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 误差罐容量（L/m） 油高值 罐内油量体积 图 10 纵向图 10 纵向 0 =4.1变位时出油实际测量、理论计算及其对比曲线和误差罐容量 变位时出油实际测量、理论计算及其对比曲线和误差罐容量 - 13 - 从图 9、 图 10 的 d 图可知， 在纵向 0 =4.1变位时： ， 进油和出油的累加结果为： 31.1L。 所以，偏差为：31.1L/3514.74L0.88%；偏差在误差允许的范围内。并且图 9、图 10 的 d

30、 图图形为一种“U”状，体现了加油站实际的“U”型误差（当某一个物体进行实验 测定时， 它得出的实验数据到达一个最低点 （临界点） 时， 会进行一个相反方向的回升） 。 模型符合实际。 罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定 罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定 设初始测得油面高度为 411mm,以每次增加高度 10mm，代入模型，计算出其对应的 油容量，计算到高度为 1031mm 为止。带入模型计算得到罐容表见下表 1： 表 1 变位后间隔 1cm 标定罐容表 表 1 变位后间隔 1cm 标定罐容表 序 号 油 面 高 度 /mm 储 油 容 量 /L 序 号 油 面 高

31、度 /mm 储 油 容 量 /L 序 号 油 面 高 度 /mm 储 油 容 量 /L 1 411 976.1 26 661 1996.1 51 911 3014.6 2 421 1014.5 27 671 2038.1 52 921 3052.6 3 431 1053.2 28 681 2080.2 53 931 3090.1 4 441 1092.1 29 691 2122.2 54 941 3127.4 5 451 1131.4 30 701 2164.1 55 951 3164.2 6 461 1170.9 31 711 2206 56 961 3200.6 7 471 1210.7

32、32 721 2247.9 57 971 3236.6 8 481 1250.7 33 731 2289.7 58 981 3272.2 9 491 1290.9 34 741 2331.3 59 991 3307.3 10 501 1331.3 35 751 2372.9 60 1001 3342 11 511 1372 36 761 2414.4 61 1011 3376.1 12 521 1412.8 37 771 2455.8 62 1021 3409.8 13 531 1453.7 38 781 2497 63 1031 3442.8 14 541 1494.9 39 791 253

33、8.1 64 1041 3475.3 15 551 1536.2 40 801 2579 65 1051 3507.2 16 561 1577.6 41 811 2619.7 66 1061 3538.5 17 571 1619.1 42 821 2660.3 67 1071 3569.1 18 581 1660.7 43 831 2700.6 68 1081 3599 19 591 1702.4 44 841 2740.8 69 1091 3628.2 20 601 1744.2 45 851 2780.7 70 1101 3656.7 21 611 1786.1 46 861 2820.4

34、 71 1111 3684.3 22 621 1828 47 871 2859.8 72 1121 3711 23 631 1870 48 881 2899 73 1131 3736.9 24 641 1912 49 891 2937.8 25 651 1954.1 50 901 2976.4 对问题二的求解 1）罐内储油量与油位高度及变位参数的1）罐内储油量与油位高度及变位参数的、关系求解 关系求解 我们采用类似于第一问的方法，对体积进行积分。通过 matlab 编程6求得储油罐中储 - 14 - 油体积V与油面测量高度 c h 、纵向倾斜角、横向倾斜角的关系式。 2）变位参数2）变位参数、

35、的确定 的确定 我们预先能确定、的取值范围，在其取值范围内取一定步长，、都以该步 长变化，求得在不同高度下体积的变化情况，直到找到体积改变与附件 2 中出油量数据 基本相同时，确定此时、的值。之后，将、带入( , ,)Vf h 中，得到只有体 积与液面高度的函数关系式( )Vf h。于是对附件 2 上给出的油面高度，我们可求得此 时油罐内储油量。再通过储油量计算出每一次从油罐内抽出油的体积，并将此体积与实 际值进行比较，来对位变参数、进行验证。 我们从附录 2 中随机取 5 组数据，如表 2 所示。 表 2 求取表 2 求取、随机选取的 5 组数据 随机选取的 5 组数据 组 别 第 1 组

36、第 2 组 第 3 组 第 4 组 第 5 组 表中位置 （2,3） （17,18） （36,37） （78,79） （311,312） 液面测量高度 （2632.23, 2624.30） （2528.01, 2521.63） （2382.50, 2374.35） （2063.17, 2058.14） （2449.29, 2439.11） 输入到程序7中，算出3.612.41。求得、的值后，将其代入储油量与 油位高度及变位参数、的关系式7中， 再将附表 2 中的显示油高输入到程序8中求 得对应的储油量，其数据见附表 4，并求得每一时刻抽出或注入的油量。我们求得计算 值与理论值的误差随高度变化的

37、趋势如图 11 所示： 0123 0 0.1 0.2 0.3 0.4 实际出油量（L/m） 油高值 罐内油量体积 0123 0 0.1 0.2 0.3 0.4 理论计算出油量（L/m） 油高值 罐内油量体积 0123 0 0.1 0.2 0.3 0.4 实际与理论对比图（L/m） 油高值 罐内油量体积 0123 -15 -10 -5 0 5 x 10 -3 每次误差示意（L/m） 油高值 罐内油量体积 图 11 随高度变化时，出油实际测量、理论计算、及其对比曲线和误差曲线 图 11 随高度变化时，出油实际测量、理论计算、及其对比曲线和误差曲线 - 15 - 从图中我们不难看出计算值与实际值的的

38、误差最大不超过 0.015L， 且随油面高度的 减小而减小。因此精度较高。模型比较精准。 3）油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定 油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定 设初始测得油面高度为 470mm,以每次增加高度 10cm，代入模型，计算出其对应的 油容量，计算到高度为 2570mm 为止。带入模型计算得到罐容表见下表 3： 表 3 变位后间隔 10cm 标定罐容表 表 3 变位后间隔 10cm 标定罐容表 序 号 油面高度 /mm 储油容量 /L 序 号 油 面 高 度 /mm 储油容量 /L 序 号 油面高度 /mm 储油容量 /L 1 470 4187.1 9 1270 222

39、68 16 1970 41155 2 570 5917.9 10 1370 24943 17 2070 43746 3 670 7856.7 11 1470 27650 18 2170 46265 4 770 9968 12 1570 30375 19 2270 48697 5 870 12224 13 1670 33103 20 2370 51024 6 970 14602 14 1770 35818 21 2470 53227 7 1070 17081 15 1870 38507 22 2570 55288 8 1170 19642 七、模型的评价、改进及推广 模型的优点模型的优点： 1、

40、模型考虑现实实际中温度对石油的影响，采用热膨胀系数减少储油量受温度影 响所带来的误差，对罐内储油量与油位高度以及变位参数之间关系进行预测，拟合效果 好，偏差小。而且，设定参数后，可以对模型进行实时控制和实时预测，有利于模型的 建立与求解。 2、模型有效的模拟出储油量与油位高度以及变位参数之间关系的数学模型，具有 较强的现实意义，适用性广，实用性强。能对加油站地埋卧式储油罐进行变位识别及罐 容表标定。 模型的缺点模型的缺点： 1、由于型借助的所给数据的可行性和准确性，再加上模型假设中所忽略的部分管 器的体积，以及环境、气温、介质等综合方面对储油量的影响，使得模型求解中理论数 值与实际数值存在一定

41、偏差。 2、模型模拟实验不可能与实际情况完全一致，而且在模型建立时，忽略了多种并 未量化的影响因子，数据收集误差等因素。因此，不能完全准确的进行分析，模型仍需 要修正和完善。 3、模型运用积分计算储油量，形式复杂，计算繁琐，缺乏创新。并且模型中近似 的代换带来了误差。 模型的推广模型的推广： 1、此模型可用于对加油站内地埋卧式储油罐的变位识别及罐容表标定。 2、此模型可用于对圆柱体或是椭圆罐体容器进行容积计算或是偏于水平位置的横 向或纵向变位判定。 - 16 - 八、参考文献 1 姜启源、谢金星， 数学模型 ，北京，高等教育出版社，2003 年。 2 叶其孝， 大学生数学建模竞赛辅导,湖南教育

42、出版社，1993 年。 3 周 品， MATLAB 数值分析,机械工业出版社，2009 年。 4 陈纪修， 数学分析 ，北京，高等教育出版社，2002 年。 5 黄开枝， MATLAB 基础教程 ，北京，清华大学出版社，2007 年。 6 李志荣，椭圆柱体卧式油罐容积的计算。 数学的实践与认识 。1977,2-17-26。 7 管冀年，赵海，卧式储油罐罐内油品体积标定的实用方法，计测技术，2004,02-19。 8 田铁军，倾斜立式罐部分容积的计算，现代计量测试，1990 年第四期。 9 刘金旺，夏学文， 线性代数 ，复旦大学出版社，2008 年 6 月。 10 董波，王本善，卧式金属罐容积检

43、定规程，国家技术监督局，国家计量科学研究 院，1996-03-05。 11 九、附 录 附录 1： 附录 1： 常见的工作液体的膨胀系数表，表中膨胀系数（数量级 3 10）为 0 0100 C之间的 平均值 表 1 常用工作液体膨胀系数表 1 常用工作液体膨胀系数 苯 汽 油 酒 精 水 醚 水 银 二甲苯 甘 油 1.24 1 1.12 0.207 16.2 0.181 12 0.534 附录 2：附录 2： %椭圆柱图形程序% t=0:pi/20:2*pi; a=1.78; b=1.2; c=2.45; x=(sin(t)+1)*a; y=cos(t)*b; z=linspace(0,c,

44、length(t); X=meshgrid(x); Y=meshgrid(y); Z=meshgrid(z); surf(X,Y,Z) xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) axis equal - 17 - axis(0 2*a -b b) for k=1:4 view(-37.5,10*k) pause %按任意键 end 附录 3 附录 3 %无变位进油理论计算与实际测量对比程序% clear,clc x=0.001*159.02 176.14 192.59 208.50 223.93 238.97 253.66 268.04 282.16 296.03 309.6

45、9 323.15 336.44 349.57 362.56 375.42 388.16 400.79 413.32 425.76 438.12 450.40 462.62 474.78 486.89 498.95 510.97 522.95 534.90 546.82 558.72 570.61 582.48 594.35 606.22 618.09 629.96 641.85 653.75 665.67 677.63 678.54 690.53 690.82 702.85 714.91 727.03 739.19 751.42 763.70 764.16 776.53 788.99 801.

46、54 814.19 826.95 839.83 852.84 866.00 879.32 892.82 892.84 906.53 920.45 934.61 949.05 963.80 978.91 994.43 1010.43 1026.99 1044.25 1062.37 1081.59 1102.33 1125.32 1152.36 1193.49; v1=0.3120 0.3620 0.4120 0.4620 0.5120 0.5620 0.6120 0.6620 0.7120 0.7620 0.8120 0.8620 0.9120 0.9620 1.0120 1.0620 1.11

47、20 1.1620 1.2120 1.2620 1.3120 1.3620 1.4120 1.4620 1.5120 1.5620 1.6120 1.6620 1.7120 1.7620 1.8120 1.8620 1.9120 1.9620 2.0120 2.0620 2.1120 2.1620 2.2120 2.2620 2.3120 2.3158 2.3658 2.3671 2.4171 2.4671 2.5171 2.5671 2.6171 2.6670 2.6688 2.7188 2.7688 2.8188 2.8688 2.9188 2.9688 3.0188 3.0688 3.1188 3.1688 3.1689 3.2189 3.2689 3.3189 3.3689 3.4189 3.4689 3.5189 3.5689 3.6189 3.6689 3.7189 3.7689 3.8189