2015年度大学物理竞赛辅导(力学).ppt

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1、竞赛内容,质点运动学,1、描述质点运动的基本量：,1)位置矢量,2)位移,3)速度,4)加速度,在自然坐标系的表述:,(1) 位置,P点起轨迹的弧长S 弧坐标,(3) 加速度,二、相对运动,2.质点运动的几种典型形式,1) 匀变速直线运动,2) 抛体运动,运动方程,3) 匀变速圆周运动,4) 线量和角量关系,3、运动学中的两类问题(按求解时所用数学方法的不同）：,1）,已知：质点的运动学方程,求： 以及 轨迹方程 等。,解法：求导,若已知,若已知,则,2） 已知： 及初值条件,求:,解法：积分,分离变量,一维直线运动,(直线运动中可用标量代替矢量）,例：一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为

2、a0，以后加速度均匀增加，每经过秒增加a0，求经过 t 秒后质点的速度和运动的距离。,解：据题意知，加速度和时间的关系为：,例，一足球运动员在正对球门前25m处，以20m/s的初速度罚任意球。已知门高3.44m，若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）,质点(系)动力学,1、牛顿三定律,2、力的瞬时效应,适用于低速宏观惯性系,1）质点的角动量（固定点）,合外力对固定点的力矩,2）质点（系）的角动量定理（固定点）,质点（系）角动量守恒定律,若 ，则,同一问题中的力矩和角动量都是对于惯性系中的同一固定点。,质点（系）动力学,3、力

3、的时间积累效应,1）冲量：,2）质点的动量定理,动量：,质点系的动量定理,3）质点系的动量守恒定律（惯性系）,平均冲力概念,注意： 1、动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。 2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）近似守恒条件。 4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向为零。）部分守恒条件 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿定律更普遍的最基本的定律,若 ，但若某一方向的合外力零，或该方向 F外F内 则该方向上动量守恒；,

4、(3)系统内各量必须是同一时刻，对同一惯性系的物理量 ；,(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，而运用动量守恒。,4）质心,几种系统的质心, 两质点系统,m1 r1 = m2 r2, 连续体, “小线度”物体的质心和重心是重合的。, 质心运动定理,有,球往哪边移动？,该质点集中了整个质点系的质量和所受,质心的运动如同一个在质心位置处的质点的,运动，,的外力。,实际上是物体质心的运动。,在质点力学中所谓“物体”的运动，,思考,质心 质心运动定理,一 质心,有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定,上式可写为,此式对时间求导为：,上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于

5、系统=质心的速度乘以系统的质量。,上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度。,此即质心运动定律。利用此定律求解多粒子体系的物理问题时，会带来许多方便。,系统内力不会影响质心的运动，, 在光滑水平面上滑动,的扳手，, 做跳马落地动作的运,动员尽管在翻转，但, 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，,但其质心仍在做抛物线运动,其质心仍做抛物线运动,例如：,其质心做匀,速直线运动,若合外力为零，,二 ）动量守恒与质心的运动,质点系动量守恒,若合外力分量为0，,质点系分动量守恒,质点系动量守恒和质心匀速运动等价！,相应的质心分速度不变,质点（系）动力学,4、力的空间积累效应,1）功：,2

6、）质点的动能定理,动能和势能：,质点组动能定理,3）保守力的功和势能,若取坐标原点为重力势能零点，则,若取坐标原点为弹性势能零点，则 c=0,若取无穷远处为引力势能零点，则,质点（系）动力学,4）功能原理,5）系统的机械能守恒定律（惯性系）,若 和 ，则系统的机械能保持不变。,解题方法：确定对象、分析受力、选取坐标、列解方程,基本思路：先功能，再动量，牛顿定律看情况； 先守恒，后定理，分析受力要紧。,解：（一维运动可以用标量）,非惯性系 惯性力,我们知道牛顿定律只在惯性系中成立，可是，在实际问题中，有时我们又必须在非惯性系中去观察和处理问题。那么物理上如何解决这个问题的呢？,通过本节的讨论，我

7、们将会看到，如果引入一个惯性力的概念，那么我们在非惯性系中将仍可沿用牛顿定律的形式而使问题得到简化。,1、惯性力的提出,设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？,(1)地面上的观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律；,(2)车上的观察者：小球以as相对于小车作加速运动；,注意：此时小车是非惯性系，那么小车上的观察者如何解释呢？,我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，

8、于是车上的人说：小球之所以对小车有 -as 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为 - mas；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用,因此，物理上把这个力命名为惯性力。（虚拟）,1）惯性力是参考系加速运动引起的附加力，本质上是物体惯性 的体现，它不是物体间的相互作用，没有反作用力，但有真实的 效果。,2、惯性力的特点,2)惯性力的大小等于研究对象的质量m与非惯性系的加速度as的乘积，而方向与 as 相反，即,注意式中 m 是研究对象的质量，即在同一非惯性系中若选取的研究对象不同，其质量不同，则 f 不同；,另外 f 与 as 有关，

9、非惯性系相对于惯性系的加速度的形式不同，则 f 也不同。,后面将从三个方面加以说明。,3、 非惯性系中的运动定律的形式,设有惯性系O和非惯性系O，O系以加速度as相对于O系运动，现在O系中有一质点，其质量为m，且相对于O系以相对加速度 a/ 运动，于是质点m相对惯性系的加速度 a=as+a/ 现在惯性系O中运用牛顿定律得,因为我们已引入惯性力，所以上式为,这就是在非惯性系中运动定律的形式.,即：在非惯性系中运用牛顿定律时，对研究对象除了分析其受到的真实力以外，还必须加上其受到的惯性力；而等式右边则只考虑研究对象相对于非惯性系的相对加速度a/。,例2-6 加速度计,小车上系有一物，当小车以恒加速

10、度运动时，重物与竖直方向成角，求小车之加速度。,解：以小车为参照系（非惯性系），,而处平衡态，故有,联立，得,因为a/=0,这时动力学可简化为静力学,重物受3个力:,重力mg，,惯性力f，,张力T，,匀角速转动的非惯性系中的惯性离心力,*惯性离心力的引入：,如图所示，在光滑水平圆盘上，用一轻弹簧栓一小球，圆盘以角速匀速转动，这时弹簧被拉伸后而静止。,地面观察者：小球受到弹性力，且指向圆心，作圆周运动；,圆盘上观察者：小球受到弹簧拉力，指向圆心，但小球仍处于静止状态，为解释这一现象引入,此时,即称为惯性离心力。,3-7、 碰撞,碰撞：如果两个或两个以上的物体相互作用，且作用 力较大时间极为短暂。

11、,碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量守恒。,正碰：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。 那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也 都在这一连线上。（对心碰撞） 斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。,碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没损失 碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分（转化为热能）。 两球碰后合为一体，以共同的速度运动。,碰撞过程极为短暂，位置变化也不大，势能没有改变。,弹性碰撞：,非弹性碰撞:,完全非弹性碰撞：,有些情况比较复杂，即要考虑是否动量守恒，又 要考虑是否机械能守恒，以后还要学习角动量守恒。,那么，动能呢？,例：质量 M 的沙箱，悬挂

12、在线的下端；质量 m，速 率 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆 至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出子弹的 速率 ，并说明在此过程中机械能损失。,解：从子弹以初速击中沙箱到获得共同速度可看作 在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向 受外力为0，由动量守恒有,子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱 地球组成的系统机械能守恒。,碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为：,一自动卸货矿车，满载时质量为m ，从与水平成倾角= 30o斜面上的A 由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的025倍。矿车下滑距离l 时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助

13、弹簧的弹力作用，使之返回原位置A 再装货。试问要完成这一过程空载时与满载时车的质量比应为多大？,分析：矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、阻力和支持力作用。若取矿车、地球和弹簧为系统，支持力不作功，重力弹力为保守力，而阻力为非保守力。全过程中，存在非保守力作功，系统不满足机械能守恒的条件，因此，可用功能原理去求解。在确定势能零点时，常选取弹簧原长时的位置为重力势能、弹性势能共同的零点这样解题比较方便。,解 ：取沿斜面向上为X轴正方向。弹簧被压缩到最大 =形变时弹簧上端为坐标原点O。矿车在下滑和上行的全过程中，按题意摩擦力所作的功为： Wf = （025mg+025mg）（l+x）-（1）

14、,由功能原理，在全过程中，摩擦力所作的功应等于系统机械能的增量。故有 Wf =E =EP+EK,由于矿车返回原位置时速度为零，故EK=0 ，而=EP=（m-m）g（l+x）sin =Wf -（2）,由式（1）、（2）可解得 m/m=1/3 。,四、关于“宇宙速度”,1、人造地球卫星 第一宇宙速度,2、人造行星 第二宇宙速度,3、飞出太阳系 第三宇宙速度,要先脱离地球引力，再脱离太阳的引力,设抛体脱离地球引力后，相对地球的速度为v,按机械能守恒有,借助地球相对太阳的速度vE,若v 与vE方向相同,则抛体相对太阳的速度最大，有,故抛体要脱离太阳引力，其机械能至少是：,由牛二律,于是,此即第三宇宙速

15、度,A,A,A,A,A,B,A,A,A,A,通过地球自转周期推出太阳相对地球转动的角速度，再由几何关系得到 杆的影长和时间的关系。,2,如图所示，将一条长为r 的系链条静止的放在光滑的水平方 形台面上，链条的一半从台面上下垂，另一半平直放在台 面上。求链条刚滑离台面的速度。,O,A,B,x,T,GOA,解:对链条下垂部分和台面上部分分别出受力 分析，隐含整个链条的速率相同条件,以对链条为研究对象，单位长度 质量为m,建立坐标,列方程.,对台面上的链条,对下垂的链条,初始条件x0=d/2,v0=0,如图所示，将一条长为r的系链条静止的放在光滑的水平方 形台面上，链条的一半从台面上下垂，另一半平直

16、放在台 面上。求链条刚滑离台面的速度。,O,A,B,x,T,GOA,解:对链条下垂部分和台面上部分分别出受力分析，隐含整个链条的速率相同条件,整个过程只有重力做功，机械能守恒，选全部离开时坐标原点为重力势能零点。,以对链条为研究对象，单位长度 质量为,建立坐标,列方程.,B,A,A,A,A,变质量问题时，牛顿运动定律写成原始形式,A,A,A,B,A,A,B,B,A,B,B,B,B,A,A,B,B,B,B,A,A,非惯性系,例：一轻质光滑圆环，半径为R,用细线悬挂在支点上，环上串有两个质量都为m的小球，让两球从环顶同时由静止向两边下滑，问： （1）滑到何处时大环将上升（用角度表示）， （2）如大

17、环质量为M,结果如何？,例：有两个质量分别为m和m+M的人，他们分别拉住挂在定滑轮两边的绳子往上爬，开始时两人离滑轮的距离都是h.求如果质量较轻的人在t秒钟爬到滑轮处，则质量较重的人离滑轮的距离为多少？,1、转动惯量,2、力矩的瞬时效应 刚体定轴转动的转动定理,3、力矩的时间积累效应 对轴的角动量定理,若 Mz外0,4、刚体的转动动能,6、力矩的空间累积效应 刚体定轴转动的动能定理：,7、机械能守恒定律,解题方法：确定对象、分析受力、选取坐标、列解方程,基本思路：先功能，再角动量，转动定律看情况； 先守恒，后定理，分析受力要紧。,8.平行轴定理,9.对薄平板刚体的正交轴定理,即,如图,例求对薄

18、圆盘的一条直径的转动惯量，,已知圆盘,解：,转动定律应用举例,已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0，,h =1.5m，,滑动，,下落时间 t =3s。,求：轮对 O 轴 J =？,解：,动力学关系：,对轮：,对m：,运动学关系：,(3),(4),(1),(2),绳轮间无相对,(1)(4)联立解得：,分析结果：, 量纲对；, h、m 一定，J t，, 若J = 0，得,代入数据：,正确。,合理；,此为一种用实验测转动惯量的方法。,A,B,A,A,A,A,B,A,A,A,A,A,B,A,B,学以致用,1、为什么夜间行车的安全速度取决于车头灯光的照明距离？（匀加速直线运动）,2、帆船是怎

19、样逆风前进的？（相对速度）,3、在杂技表演中，在仰卧于地面的演员身上放一块大而重的石板，另外一个人用大锤猛击石板，石板碎了，下面的演员却未受伤，这是为什么？如果将重石板换成轻木板，其下的演员会安全吗？（动量的传递）,考虑地球匀速转动。现在假设在赤道挖一个直坑，指向地心，不考虑地球密度不均匀、地心很热、地心可能是液态等因素。现在在坑的正上方无初速地释放一个铁球，那么运动一段时间后，球将会： A撞到坑的东面的壁 B撞到坑的南面的壁 C撞到坑的西面的壁 D撞到坑的北面的壁 E不会撞到坑的壁 解答：选A。由于引力始终为径向，铁球在切向上的速度大小不会变。而随着铁球接近地心，坑道处的切向速度将会减小。因

20、此铁球会撞到坑道的冬面的壁。,众所周知，人从楼上掉下摔不死也会摔成重伤，可是蚂蚁从高处落下却会安然无恙，你知道其中的密秘吗？ 解答：物体在空气中运动时会受到空气的阻力，其阻力的大小与物体和空气接触的表面积大小有关。越小的物体其表面积大小和重力大小的比值越大，即阻力越容易和重力相平衡，从而不致于下降的速度越来越大，也就是说微小的物体可以在空气中以很小的速度下落，所以蚂蚁落地时速度很小，不致于摔死。,我们的地球一直在绕太阳作轨道运动，周期约为365天。假设有一天这种轨道运动突然完全停止了，则地球会沿直线冲向太阳。请估计需要多长时间地球能够撞到太阳。(不考虑地球被太阳熔化等因素，也不考虑其它天体的影

21、响)。,；,解：根据开普勒定律，对于绕太阳作轨道运动的天体，其运动周期的平方与椭圆轨道长半轴的长度的三次方的比值为一定值，即 ，而长半轴长可认为是天体离太阳最近距离与最远距离的平均值。原先地球的轨道为一个近似为圆的椭圆，设其长半轴长为轨道运动停止后，地球径直冲向太阳，我们可以把这种直线运动近似视为长半轴长为的一个很狭长的椭圆轨道。因此根据开普勒定律， ， 约为两个月,挂在壁墙上的石英钟，当电池的电能耗尽而停止走动时，其秒针往往停在刻度盘上几点钟的位置上？为什么？ 解答：答案是九点附近（七点至九点）。因为在九点处指针所受到的逆时针方向力矩最大（即阻力矩最大）。 有许多人认为答案是六点，因为六点处

22、指针势能最低。的确，在某些情况下，物体能量的不断减少会导致物体在势能最低点附近徘徊，最终停止于势能最低点，就像单摆最终会停止摆动于最低点，篮球落地、反弹、再落地、再反弹最终会停在地面上。这就是保守力场的运动规律。 然而，在某些情况下物体是不符合上述规律的。例如，物体在粗糙的水平面上自由运动，我们就无法从势能的角度来说明物体会停在什么地方。时钟也是如此。 从时钟的机械构造来看，即使在逆时针方向力矩最大的九点处，指针不会因为电力不足而逆时针转。所以，指针一旦经过六点，就不会倒转回来。秒针旋转一圈所耗用的电力是十分微弱的，所以可以近似认为秒针旋转一圈的过程中电力改变非常小。假设秒针在转第k圈时，电池的电力充足能使秒针通过阻力矩最大的九点处，则在下一圈秒针必能通过六点。秒针继续旋转。当秒针在转第i-1圈时，电池的电力不足但刚好能使秒针通过阻力矩最大的九点处，则在下一圈(即第i圈)秒针也能通过六点，但再也不能通过九点了。所以秒针最终所停的位置在六点超过的地方。,足球运动员在距球门正前方 处的罚球点，准确地从球门正中央横梁下边缘踢进一球横梁下边缘离地面的高度为 ，足球质量为 ，空气阻力忽略不计运动员至少要对足球做的功为 下面给出功 的四个表达式中只有一个是合理的，你可能不会求解 ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断根据你的判断， 的合理表达式应为（A）,