2016年度全国研究生数学建模大赛优秀专业论文D题1.pdf

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1、参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写） “华为杯华为杯”第十三届全国研究生第十三届全国研究生 数学建模竞赛数学建模竞赛 学学 校校 上海交通大学上海交通大学 参赛队号参赛队号 10248021 队员姓名队员姓名 1.刘剑青刘剑青 2.施金晓施金晓 3.钮敏哲钮敏哲 参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写） “华为杯华为杯”第十三届全国研究生第十三届全国研究生 数学建模竞赛数学建模竞赛 题题 目目 军事行动避空侦察的时机和路径选择军事行动避空侦察的时机和路径选择 摘 要： 本文围绕军事行动的避空侦察与路径选择问题，基于地球自转运行状态参数、 侦察卫星轨道运行状态参数， 结合观测站对侦察卫星

2、的观测数据以及新疆地区城 市交通路线及延伸数据，分别对卫星过顶情况、观测站监测卫星情况进行预测， 并对根数未知情况下的卫星运行情况进行深入分析，在此基础上，结合新疆城市 交通数据建立军队最优路径模型， 最后对单卫星与组合卫星条件下的军队在特定 区域的规避策略进行了探索与分析。 针对军事行动避空侦察的实际和路径选择问题，本文围绕三个问题建立了合 适的优化数学模型，并进行了合理性分析、编程、计算与检验，最后得到了卫星 星下点运行轨迹经纬度模型、 地面观测站观测范围模型、 运行卫星侦查范围模型、 根数未知的卫星状态预测模型、军事行动最优路径规划模型（目标函数与约束条 件） 、单个卫星侦察规避模型以及

3、组合卫星侦察规避模型。 模型：模型：卫星星下点运行轨迹经纬度模型卫星星下点运行轨迹经纬度模型 以经纬度为坐标参量建立空间坐标系，利用根数-卫星轨道变换分析卫星运 行轨迹与时间的关系，判断卫星与地球的相对运动方式，列出卫星星下点轨迹- 时间函数，以此建立卫星星下点运行轨迹经纬度模型。 模型：模型：地面观测站观测范围模型地面观测站观测范围模型与与运行卫星侦查范围模型运行卫星侦查范围模型 根据卫星侦察目标的区域范围，结合卫星侦察幅宽、与时间状态对应的星下 点坐标与运行方向， 建立运行卫星侦查范围模型， 并判断相应时刻卫星是否过顶； 根据地面观测站的仰角区间，结合观测站的位置坐标、与时间状态对应的卫星

4、星 下点坐标，建立地面观测站观测范围模型，并判断相应时刻地面观测站是否可以 观测到卫星。 模型模型：根数未知的卫星状态预测模型根数未知的卫星状态预测模型 通过地面观测站的观测结果预测卫星的根数， 进而利用星下点轨迹模型与观 测范围与侦查范围对未来观测情况进行预测， 建立根数未知的卫星状态预测模型， 并对观察次数对预报精度的影响进行分析。 模型模型：军事行动最优路径规划模型军事行动最优路径规划模型 将实际条件下的城市与公路转化为图论中的节点与边， 将城市间实际距离转 化为边的有效长度。 找出所在目标之间有效路径， 根据公路限速、 最大行驶时间、 最少休息时间的相关约束，列出城市节点-星下点轨迹位

5、置关系约束，并以目标 城市间的最短时间为目标，建立军事行动最优路径规划模型，列出最终的目标函 数与约束条件，同时选择相关最短路径算法进行求解与分析。 模型模型 V V：单卫星与组合卫星侦察规避模型单卫星与组合卫星侦察规避模型 基于移动发射装置在指定区域的运动方式，结合卫星侦察、目标区域大小与 形状、路网状况对军队规避结果产生的效果与影响，建立单卫星（组合卫星）侦 察规避模型，结合概率论，列出所有目标影响因素并对其进行量化与归一，以影 响因子为参数列出军队规避卫星的概率函数模型， 并通过 Dijkstra 的改进 A*算法 进行模型的求解与结果分析。 最后，本文对相关模型的优缺点进行了评价与改进

6、，并进行了推广。 关键词：关键词：军用卫星，运行轨道，侦查范围，过顶预测，行军最优路径，避空侦察 目录 1 前言 . - 1 - 1.1 问题重述问题重述 . - 1 - 1.2 知识储备知识储备 . - 2 - 1.3 问题分析问题分析 . - 2 - 1.4 模型假设模型假设 . - 3 - 1.5 模型符号与说明模型符号与说明 . - 3 - 1.6 本文的架构设计本文的架构设计 . - 4 - 2 问题一的解答问题一的解答. - 5 - 2.1 问题一的分析问题一的分析 . - 5 - 2.2 模型的建立模型的建立 . - 6 - 2.2.1 星下点轨迹经纬度模型 . - 6 - 2.

7、2.2 地面观察站观测范围模型 . - 9 - 2.2.3 卫星坐标系转换模型 . - 10 - 2.2.4 卫星过顶模型 . - 11 - 2.2.5 卫星轨道根数预测模型 . - 12 - 2.3 模型分析模型分析 . - 13 - 2.3.1 第一小问求解分析 . - 13 - 2.3.2 第二小问求解分析 . - 15 - 2.3.3 第三小问求解分析 . - 17 - 3 问题二的解答问题二的解答. - 18 - 3.1 问题二的分析问题二的分析 . - 18 - 3.2 模型的建立模型的建立 . - 20 - 3.2.1 军事行动最优路径规划模型 . - 21 - 3.2.2 问题

8、二最优路径规划模型算法与求解 . - 21 - 3.3 模型分析模型分析 . - 22 - 4 问题三的解答问题三的解答. - 23 - 4.1 问题三的分析问题三的分析 . - 23 - 4.2 模型的建立模型的建立 . - 23 - 4.2.1 卫星侦察规避模型 . - 23 - 4.2.2 组合卫星侦察规避模型 . - 25 - 4.2.3 问题三卫星侦察规避模型算法与求解 . - 25 - 5 模型评价与推广模型评价与推广 . - 27 - 6 参考文献参考文献 . - 27 - 7 附录附录 . - 28 - 7.1 卫星运行轨道空间模型图卫星运行轨道空间模型图 . - 28 - 7

9、.2 新疆地区城市交通图新疆地区城市交通图 . - 28 - 7.3 程序代码程序代码 . - 29 - - 1 - 1 前言前言 1.1 问题重述问题重述 大型国防工程施工、 武器装备实验或部队大规模移动的隐蔽性关系到国家安 全以及战争胜败，通常采用“避、变、骗、反”四种手段对付卫星侦察。“避”，就 是掌握卫星运行规律，避开卫星过顶的时间段组织行动；“变”，就是针对侦察卫 星的特点，相应地改变地面部队的活动规律，减弱卫星侦察的效果；“骗”，就是 将军事目标伪装成非军事目标；“反”，就是利用各种武器摧毁卫星上的设备或卫 星载体。 无论哪种方式， 都必须准确掌握卫星的运行规律。 请你们通过数学建

10、模， 解决以下问题。 问题一：问题一： 某地域（地图坐标：北纬 31.9032.25 度；东经 118.02118.91 度）内拟建 设一大型国防工程， 计划利用境外卫星过顶的间隙组织施工。 该地域长期受Q型、 L 型卫星（有关数据见附件 1）监视。附件 2-1、附件 2-2、附件 2-3 是 Q 型、L 型、 K 型卫星被配置在该区域内某观察站 （北纬： 32.0209 度； 东经: 118.7681 度） 观测到的情况，请你们据此完成以下任务（注：附件中数据不是附件 4 中定义的 “过顶时间”，而是观察站本次最早观察到卫星的时刻、卫星与观察站距离最近的 时刻和本次观察结束的时刻，但它们之间

11、可以换算） ： 1.根据 D0、D1、D2 日 Q 型卫星被该观察站观测到的情况，请预测此后一天 （D3） 、此后三天（D5）的卫星被观测到的情况及过顶情况，并结合 Q 型卫星的 侦察范围给出 D3、D5 两天内确保安全施工的时段。 2. L 型卫星是双星（L-1、L-2）协作工作。根据 L-1、L-2 卫星在 8 月 16 日 -21 日被该观察站观测到的情况，请你们研究两星之间的相对位置的变化情况， 由于 L 型卫星是雷达成像照相侦察卫星，能全天候、全天时进行侦察，并有一定 的穿透能力，因而威胁比较大，请给出 8 月 23 日 L-1、L-2 卫星被观测到的情况 及过顶情况和确保安全施工的

12、时段（不考虑 Q 型卫星） ，并进一步寻找它们在侦 察方面的薄弱环节。 3. 根据某卫星（记为 K 型）十次被该观察站观测到的情况，除此对其一无 所知。请你们预测其未来三次的被观测到的情况，并说明该卫星已经被连续观察 最少 n 次才能够确定下次被观测到的情况所需要的 n，以及观察次数对预报精度 的影响。 问题二：问题二： 某部需要从新疆的阿勒泰隐蔽地经喀什运动到和田并在和田执行某任务， 24 小时后再隐蔽地返回阿勒泰 （不必经喀什） ， 部队可以按需要选择在高速公路 （最 大速度 100 公里/小时） 或普速公路 （除高速之外的其他公路， 最大速度 50 公里） 上行进，假设部队出发时（201

13、6 年 11 月 1 日凌晨 5 时整）Q 型卫星、L-1 卫星 （它们的轨道要素见附件1， 其他L型卫星都不考虑） 均位于各自轨道的近地点。 行车时车队最大长度 2 千米， 部队每开进 1012 小时可选择途经的县级以上 （含 县级） 城市休息 10 小时以上 （即连续开进时间不少于 10 小时， 不多于 12 小时） ， 请你们根据附件 3 给出的地图（必要时可借助因特网获取有关地理信息） ，设计 合理的行军时机、路线和宿营地，避开 L-1 卫星侦察，并预测 Q 型卫星的过顶时 刻，以便及时做好隐蔽工作，尽可能快地安全到达目的地。 - 2 - 问题三：问题三： 研究导弹发射装置的战时隐蔽问

14、题。有专家提出，运动方式可能是移动发射 装置规避卫星侦察的有效方案。请你们研究以下问题：假设某移动发射装置可在 某一指定区域内自由运动，分别研究针对 Q 型、L 型（包括 L-1、L-2） 、K 型卫 星的侦察能够规避的可行性、条件（区域大小、形状、路网状况及其他你们认为 需要的条件）和方式。欢迎进一步针对两种或三种卫星的组合侦察能够规避的可 行性、条件和方式。并考虑卫星参数变化对方案的影响。 1.2 知识储备知识储备 卫星侦察是通过卫星安装的相关传感器设备， 在卫星运行轨道上对地面目标 惊醒监测，以此得到目标区域的相关信息，进而获取军事情况的一种监测方式。 卫星环绕地球运行的轨迹称为卫星轨道

15、，呈现封闭曲线形状，其封闭曲线形成的 轨道平面经过地心，根据开普勒定律，卫星轨道是一个椭圆，地心是该椭圆的一 个焦点。 本题所涉及的卫星轨道中， L型卫星为顺行轨道， Q型卫星为太阳同步轨道， 由于它在轨道平面的进动方向与地球公转方向大致相同， 进动角速度大小等于地 球公转平均角速度大小的人造地球卫星轨道， 短时段内卫星轨道面在太空中的变 化极小，一天只随太阳转动 0.986 度，相比于地球的自转，可不必考虑地球公转 和卫星轨道变化对本题模型分析结果带来的影响。 卫星轨道的长轴、短轴、交点角、近地点幅角、轨道倾角以及近地点时刻统 称为卫星的根数（卫星运行空间轨道图参见附录 7.1） ，已知根数

16、便可以确定卫星 的运行轨道。不同的运行轨道会产生不同的星下点轨迹；由于地球自转，卫星沿 自身轨道运行时，后一圈的星下点轨迹不再重复前一圈的星下点轨迹。 当地球地面观察站的天线对准卫星时，就会接收到卫星观测信号，据此可以 判断出卫星的位置，进而实现对卫星的追踪。在本题中，规定卫星星下点进、出 给定区域的时间区间表示为卫星的过顶时间。对于军用卫星来说，由于其根数无 法获得，因此无法使用根数求取卫星轨道的方法而获取卫星过顶时刻，因此需要 通过观测卫星的位置、角度数据，以对未来卫星的过顶时刻进行相关预测。 1.3 问题分析问题分析 针对问题一的前两小问，由于附件提供了 Q 型卫星与 L 型卫星的根数，

17、因 此理论上可以求出任何时刻卫星在空间的位置， 即可以求出卫星的运行轨迹与时 间的关系，在此基础上便能够得出卫星的星下点轨迹与时间的关系。由于卫星的 侦察目标为近长方形区域，结合卫星幅宽、某一时刻的星下点坐标与运行方向， 可以判断该时刻卫星是否过顶；根据题目附件可得到地面观测站的仰角区间，结 合观测站的位置坐标、某一时刻卫星的星下点坐标，可以判断该时刻地面观测站 是否可以观测到卫星。 针对问题一的第三小问， 由于 K 型卫星的根数位置， 故须 通过地面观测站的观测结果求出 K 型卫星的根数，进而利用前两小问的相关模 型对未来观测情况进行预测，并对观察次数对预报精度的影响进行分析。 针对问题二，

18、通过附件三以及网络搜索到的相关信息，首先整理出从阿勒泰 至喀什、喀什至和田、和田至阿勒泰的所有高速公路与普速公路。根据问题一的 前两问可以确定 Q 型卫星与 L-1 型卫星的轨道，以此来计算两颗卫星在整个部 队转移期间在新疆地区的过顶情况。对于 L-1 型卫星，主要计算其在沿途城市的 过顶情况， 避免部队在城市驻扎休息时被侦察到； 对于 Q 型卫星， 主要计算其在 - 3 - 公路上的过顶情况，保证部队在行进过程中可以提前做好隐蔽反侦察工作。 针对问题三，问题研究的是军队规避卫星侦察的可行性与方式。鉴于移动发 射装置可在指定区域任意运动的题目条件，结合卫星侦察、区域大小与形状、路 网状况对军队

19、规避结果产生的效果与影响，采用概率统计的方式，列出所有可能 出现的影响因素并将影响因素进行量化与归一后， 以影响因子为参数列出军队规 避卫星的概率函数模型，并通过 Dijkstra 的相关改进算法进行模型的求解与结果 分析。 1.4 模型假设模型假设 本文围绕军事行动的避空侦察与路径选择问题， 基于地球自转运行状态参数、 侦察卫星轨道运行状态参数， 结合观测站对侦察卫星的观测数据以及新疆地区城 市交通路线及延伸数据，构建相应的数学模型，针对本题题设与相关要求，提出 假设前提如下（关于每一问的具体简化与假设详见后文） ： 假设 1：附件给出的卫星数据与收集到的卫星数据真实可靠； 假设 2：不考虑

20、卫星的大小与体积，将 Q 型、L 型与 K 型卫星等效为质点； 假设 3：本文的模型均不考虑卫星侦察方式对侦察效果的影响； 假设 4：本文的模型均不考虑卫星成像能力、采集能力、数据传输速度对分 析结果的影响； 1.5 模型符号与说明模型符号与说明 表表 1.1 本文本文出现出现的符号及文字说明的符号及文字说明 模型符号模型符号 符号说明符号说明 e 地球平均自转角速度 升交点赤经变化率 a 卫星轨道半长轴 e 卫星轨道扁心率 i 卫星轨道倾角 ae 地球赤道半径 地心引力常数 J2 二阶引力位系数 e 卫星升交点西退速率 n 卫星平均运动角速度 卫星星下点地心纬度 卫星星下点地心经度 f 地球

21、扁率 卫星星下点地表纬度 T 卫星轨道周期 W 卫星幅宽 n v 车队停留的城市节点 n i t 星下点到达城市 i v的时间 - 4 - i T 车队停留在城市 i 的初始时刻 ij S 从 i v到 j v的最优等效路径 P 军队被卫星侦察到的概率 i E 第 i 个路况影响因素量化值 pt 卫星分辨能力系数 pw 导弹发射装置被识别概率 目标观测能力系数 b 气象因子系数 目标形状的修正参数 L 目标几何尺寸 f() 估价函数 g() 目标移动总耗费函数 h() 目标预算运动耗费函数 e 运动能力影响因子 qi 影响因素 i 的占有权值 1.6 本文的架构设计本文的架构设计 本文的各个问

22、题前后关联性强，循序渐进，逐步将问题引向深入。军事行 动避空侦察的时机和路线选择的模型分析流程图如图 1.1 所示。 - 5 - 开始 问题一 星下点轨迹经纬 度模型 地面观察站观 测范围模型 运行卫星侦查 范围模型 根数未知的卫星 状态预测模型 问题二 军事行动最优路 径规划模型 目标函数约束条件 问题三 卫星侦察规避模型 卫星组合侦察规避模型 结束 图图 1.1 侦察时机与路线选择模型侦察时机与路线选择模型分析流程图分析流程图 2 问题一的解答问题一的解答 2.1 问题一的分析问题一的分析 大型国防工程施工、 武器装备实验或部队大规模移动的隐蔽性关系到国家安 全以及战争胜败，为对付卫星侦察

23、，需要准确掌握卫星的运行规律。问题一便是 在这一背景下，要求通过数学建模方法，根据卫星轨道根数及地面观察站观测到 的情况，对未来几天的卫星被观测情况、过顶情况和安全施工时段进行预测。 首先明确问题中所提供的数据之间的关系。第一组数据为卫星的轨道根数， 第二组数据为卫星被观测到的情况，包括观测时间、天线的方位角度和仰角。此 外还得知地面观察站的经纬度位置、 目标区域的经纬度位置。 综合考虑上述数据， 可以发现其中的联系纽带，即卫星各个时刻星下点的经纬度位置，因此，预测卫 星的星下点轨迹便成为问题的关键，同时需要对题目数据进行相应转化。 问题一共分为 3 问，其中第一问提供 Q 型卫星轨道根数和被

24、观测情况，要 求对此后一天和此后三天 Q 型卫星的被观测情况和过顶情况，进行相关预测； 第二问增加为 L 型卫星的双星（L-1、L-2）协作工作；第三问只提供 K 型卫星的 被观测情况，而没有相应的卫星轨道参数。问题深度呈现继承关系，而第三问则 没有卫星轨道根数，故需要添加根据观测点预测卫星轨道的算法。综上所述，本 - 6 - 问题的解决需包含以下算法： 1. 根据卫星轨道根数，分析得出卫星星下点经纬度的变化趋势及其与时间 的关系，从而形成包含时间信息的星下点轨迹。 2. 根据当前被观测到的数据，利用天线方位角和仰角等参数，转换为该时 刻卫星对应的星下点经度和纬度，以此作为星下点轨迹预测的起点

25、及验 证的依据。 3. 根据地面观察站位置和天线仰角限制，建立地面观察站观测范围，对应 的卫星星下点经纬度范围。 4. 根据卫星条带宽度和辐照宽度，结合目标区域的位置，建立卫星过顶情 况和安全施工阶段时，对应的星下点经纬度范围。 5. 根据地面观察站的多点观测数据，建立算法，得出卫星轨道根数。 通过以上需求分析，可以确定问题一需要建立的数学模型包括：1）星下点 轨迹预测模型；2）卫星坐标系转换模型；3）地面观察站观测范围模型；4）卫 星过顶模型；5）卫星轨道根数预测模型。 2.2 模型的建立模型的建立 本文以实际问题为背景，建立上文所述五个数学模型。在构建模型时，在之 前假设的前提下再对模型进

26、行具体假设： 卫星轨道偏心率几乎为 0，远地点与近地点相差较小，认为卫星轨道为 近圆形。 忽略了卫星运动速率的非均匀性和轨道近动率的非线形； 地球地面目标区域在经纬度约束下近似为平面，本题近似为长方形； 卫星侦察实时区域近似为平面正方形，边长为幅宽长度，卫星运动方向 与正方形边的延伸方向一致； 为方便位置的表述， 对地球的经度和纬度作如下设定： 北半球纬度为正， 南半球纬度为负； 以东经为基准， 取 0180 度； 而西经则为 180360 度。 2.2.1 星下点轨迹经纬度星下点轨迹经纬度模型模型 卫星轨道可分为顺行轨道和逆行轨道。一般情况下，顺行轨道的倾斜角为锐 角，对于星下点轨迹而言，经

27、度逐渐增加，至 360 度后转至 0 度。下面以顺行轨下面以顺行轨 道卫星为例，进行分析。道卫星为例，进行分析。 先计算问题一所需的基本参数。由本文 1.5 节的符号模型符号与说明，相关 常数取值如下： 6378137 e am， 1432 3.986005 10/ms 3 2 1.083 10J ， 5 7.292115 10 (rad/s) e 查阅相关文献可知，地球的平均自转角速度率大小是 2 2 7/222 cos3 -(rad/s) 2(1 e ) e ai J a （2.1） 根据式（2.1） ，卫星升交点关于经度零点的相对速率e可表示为 e e （2.2） 查阅相关文献，卫星平均

28、运行角速度 n 的表达式为（问题一中也可以使用附 - 7 - 件一的卫星轨道运行周期进行计算） 3/2 n a （2.3） 图 2.1 为卫星在以地球球心为坐标原点的空间直角坐标系中的轨迹图，图中 X 轴指向国际时间机构给出的经度零点。设卫星通过升交点 0 的时间点是 t0， 星下点经度用 0 表示。从图中可以看出，在 0 ttt 时段后升交点以反方向运 行至，卫星运动到 S，使得 0 et ，易得弧度S的取值为n t，弧度DS 的取值为，那么表示 t 时间卫星星下点的地心纬度。此外，卫星相对于 0 的 经度差为 0D 。 图图 2.1 卫星在卫星在空间直角空间直角坐标系中的坐标系中的轨迹图轨

29、迹图 对于球面直角三角形SD，SDi ，i 表示卫星轨道的倾角，因此有 sinsinsinSDSi （2.4） 即 sinsinsinn ti （2.5） 因此 arcsin(sinsin )n ti （2.6） 将地心纬度变换为大地纬度，可以得到 2 1 tantan (1)f （2.7） 式（2.7）中，1/ 298.257f 表示地球扁率。设 0S l （2.8） 0 SD （2.9） 对于球面三角形 0 S ，通过余弦定理以及五元素相关公式，可以得出 coscoscossinsincossincos sincoscossincos ee ee ltn ttn til tn ttn ti

30、 （2.10） 对于球面直角三角形 0SD ，可以得到 - 8 - coscoscos l （2.11） sincossincos l （2.12） 所以 sincos sincoscossincos ee tn ttn ti （2.13） coscos coscossinsincos ee tn ttn ti （2.14） 进而 sincoscossincos tan coscossinsincos ee ee tn ttn ti tn ttn ti （2.15） 根据反三角函数相关性质，可知 sincoscossincos arctan coscossinsincos ee ee tn t

31、tn ti tn ttn ti （2.16） 由于地心经度与大地经度大小相等， 那么时间点 t 的卫星星下点经度可用 式（2.17）表示 0 = （2.17） 而对于逆行轨道对于逆行轨道而言， 一般情况下其倾斜角为钝角， 星下点的经度逐渐减少， 至 0 度时转换为 360 度，与顺行轨道相反。但是同样可以用上述原理进行分析， 此时需要将轨迹对称到南半球，则公式所用倾角 ii （2.18） 卫星相对于 0 的经度变化 0 22 e t （2.19） 卫星的星下点经度 0 = （2.20） 根据模型假设，上述模型忽略了 Q 型卫星运动速率的非均匀性以及轨道近 动率的非线形，所以为了保证计算精度，在

32、算法计算时星下点轨迹以赤道为起点 进行外推须小于 1/4 圈，t须满足 /4/4TtT （2.21） 式（2.21）中，T 表示轨道平周期，可计算出 2 /Tn （2.22） 式（2.22）中，n 表示卫星的平均运行角速率。因此计算时需从升交点为起 点向北、向南各自外推 1/ 4 圈，接着转到以降交点为起点向南、向北各自外推 1/ 4 圈，接着再针对接下来一圈的升交点为起点向北、向南各自外推 1/ 4 圈，。 以此类推，计算出每圈的星下点轨迹。 根据升交点的经度 0 ，当以升交点为起点沿卫星运动方向朝北外推时，令 1,2,.,T/ 4t ；当以升交点为起点逆着卫星运动方向朝南外推时，令 1,

33、2,., T/ 4t ， 符号“”代表取整操作， 它的代数符号保持不变。 此外， 星下点的地心纬度和地心经度可以通过上述公式计算得到。 根据降交点的经度 0 ，当以降交点为起点沿卫星运行方向朝南外推时，令 - 9 - 1,2,.,T/ 4t ，当以降交点为起点逆着卫星运动方向朝北外推时，令 1, 2,., T/ 4t 。此时，星下点的地心纬度公式表示为 arcsin( sinsin )n ti （2.23） 由于地心经度的计算表达式不变，计算地心纬度变换成大地纬度。以此能够 得到卫星每经一时间段星下点的大地经、纬度。由此可知，降交点和升交点或者 升交点和前一圈降交点的经度差值 0 可通过下式求

34、出： 0 1 2 e T （2.24） 易知，t的时间步长取值越小，则星下点的轨迹越平滑，缺点是计算速度会明 显降低。 通过上述分析，如果已知卫星经过的一个升交点，便可以此为起点，预测星 下点的轨迹。同样地，如果通过地面站的观测数据，已知某时刻卫星对于星下点 的经纬度位置，可以反推出其相邻升交点或降交点的位置和时间。 基于以上原理，我们可以建立星下点轨迹预测模型。主要分为三个部分： 参数输入 确定邻近 升交点 确定相邻 降交点 预测一个周期 的星下点轨迹 完整 星下点轨迹 算法I算法II算法III 图图 2.2 星下点轨迹预测模型星下点轨迹预测模型 模型算法如下： 1. 输入参数： 地球参数值

35、、 卫星轨道倾斜角和周期、 观测点经纬度和时刻。 2. 根据观测点数据，确定相邻升交点的经度和时刻。以顺行轨道中，已知 北半球远离赤道方向的观测点为例： （1）大地纬度转换为地心纬度： 2 tan(1) tanf （2）升交点与观测点时间差： sin arcsin()/ sin tn i （3）升交点与观测点经度差： 3. 根据升交点赤经，确定相邻的降交点赤经。以顺行轨道为例： 降交点赤经： 10 1 2 eT 4. 根据升交点和降交点赤经，预测一个周期的星下点轨迹。从升交点和降 交点各向前后推测 T/4 的轨迹。 5. 以一个周期的轨迹为基础，向后预测星下点轨迹。其周期性变化累积如 下：其中

36、时间累积：ttT ；经度累积： eT （注意 0 和2处的 转折） ；纬度不变。 2.2.2 地面观察站观测范围地面观察站观测范围模型模型 - 10 - M K O N X 图图 2.3 地面站观测范围剖面图地面站观测范围剖面图 如图2.3所示为地面站观测范围剖面图， 蓝色实线近圆表示地球表面剖面图， 红色虚线近圆为卫星轨道平面图。K 点表示地面观察站，M 点表示观测站 K 最 早发现卫星时刻的卫星位置， N 为线段 OM 与蓝色实线近圆的交点， X 点表示某 时刻运行卫星的星下点。 根据附件 2-1 给出的 Q 型卫星连续三天的过顶情况可知，地面观测站最先 观测与最后观察时刻的 Elv 为 10，即观测仰角最小值为 10，所以地表观测站的 仰角区间为 10 90，使用