DS06数据结构树-二叉排序树.ppt

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1、回顾：二分查找, 当线性表中数据元素是按大小顺序排列存放时，可以采用二分法 (折半查找)。,二分查找是每次在要查找的数据集合中取出中间元素关键字Kmid与要查找的关键字K进行比较，根据比较结果确定是否要进一步查找。 当 Kmid=K ，查找成功； 当 K Kmid，将在Kmid右半部分继续下一步查找 以此类推，每步的查找范围都将是上一次的一半。,优点：查找效率高 缺点：要求线性表有序，如果是进行动态查找，即需要对线性表进行插入、删除或排序操作，就必须移动大量的记录，当记录数很多时，这种移动的代价很大。,第4章 树,4.4二叉搜索树,第4章 树,判定树的特点： 左子树的值都比根结点小 右子树的值

2、都比根结点大 中序遍历判定树得到的是一组有序的序列, 11个元素的二分查找判定树,4.4二叉搜索树,能否根据以上特点，利用树型结构来动态创建查找表呢？,第4章 树,4.4二叉搜索树,【定义】一个二叉搜索树是一棵二叉树，它可以为空。如果不为空，它将满足以下性质： 非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。 非空右子树的所有键值大于其根结点的键值。 左、右子树都是二叉搜索树。,二叉搜索树,“二叉搜索树（BST，Binary Search Tree）”也称二叉排序树或二叉查找树，它是一种对排序和查找都很有用的特殊二叉树。, 二叉搜索树的动态查找, 二叉搜索树作为抽象数据结构的定义与普通二叉树相同，但操

3、作集中多了下列几个特别的函数：, Position Find( ElementType X, BinTree BST )：从二叉搜索树BST中查找元素X，返回其所在结点的地址； Position FindMin( BinTree BST )：从二叉搜索树BST中查找并返回最小元素所在结点的地址； Position FindMax( BinTree BST ) ：从二叉搜索树BST中查找并返回最大元素所在结点的地址。,第4章 树,4.4二叉搜索树, BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST ) BinTree Delete( ElementType X

4、, BinTree BST ),typedef Position BinTree, 二叉搜索树的查找操作Find,第4章 树,4.4二叉搜索树,查找从根结点开始，如果树为空，返回NULL，表示未找到关键字为X的结点。 若搜索树非空，则根结点关键字和X进行比较，依据比较结果，需要进行不同的处理： 若根结点键值小于X，满足条件的结点将不会出现在它的左子树，接下来的搜索只需在右子树中进行； 如果根结点的键值大于X，接下来的搜索将在左子树中进行； 若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针。, 二叉搜索树的查找操作Find,第4章 树,4.4二叉搜索树,Position Find( Elem

5、entType X, BinTree BST ) if( !BST ) return NULL; /查找失败 if( X BST-Data ) return Find( X, BST-Right ); /在右子树中继续查找 else if( X Data ) return Find( X, BST-Left ); /在左子树中继续查找 else /X = BST-Data return BST; /查找成功，返回找到结点的地址 ,Position IterFind( ElementType X, BinTree BST ) while( BST ) if( X BST-Data ) BST =

6、 BST-Right; /向右子树中移动，继续查找 else if( X Data ) BST = BST-Left; /向左子树中移动，继续查找 else / X = BST-Data return BST; /查找成功，返回结点的找到结点的地址 return NULL; /查找失败 , 由于非递归函数的执行效率高，一般采用非递归的迭代来实现查找。 很容易将“尾递归”函数改为迭代函数,第4章 树,4.4二叉搜索树, 查找最大和最小元素,第4章 树, 最大元素一定是在树的最右分枝的端结点上 最小元素一定是在树的最左分枝的端结点上,4.4二叉搜索树,第4章 树,4.4二叉搜索树,Position

7、 FindMax( BinTree BST ) if( !BST ) while( BST-Right ) BST = BST-Right; /沿右分支继续查找，直到最右叶结点 return BST; ,Position FindMin( BinTree BST ) if( !BST ) return NULL; /空的二叉搜索树，返回NULL else if( !BST-Left ) return BST; /找到最左叶结点并返回 else return FindMin( BST-Left ); /沿左分支继续查找 ,代码4.16 查找最小元素的递归函数,代码4.17 查找最大元素的迭代函数

8、, 二叉搜索树的插入,第4章 树,4.4二叉搜索树,分析将元素X插入二叉搜索树BST中关键是要找到元素应该插入的位置。位置的确定可以利用与查找函数Find类似的方法，如果在树BST中找到X，说明要插入的元素已存在，可放弃插入操作。如果没找到X，查找终止的位置就是X应插入的位置。,BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST ) if( !BST ) /若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树 BST = malloc(sizeof(struct TreeNode); BST-Data = X; BST-Left = BST-Right = NULL;

9、else /开始找要插入元素的位置 if( X Data ) BST-Left = Insert( X, BST-Left); /递归插入左子树 else if( X BST-Data ) BST-Right = Insert( X, BST-Right); /递归插入右子树 / else X已经存在，什么都不做 return BST; ,第4章 树,4.4二叉搜索树,代码4.18 二叉搜索树的插入算法,【例4.8】以一年十二个月的英文缩写为键值，按从一月到十二月顺序输入它们，即输入序列为（Jan, Feb, Mar, Apr, May, Jun, July, Aug, Sep, Oct, N

10、ov, Dec），将产生什么样的二叉搜索树？,第4章 树,4.4二叉搜索树,对于一个无序序列可以通过构造一棵BST树而变成一个有序序列。 由算法知，每次插入的新结点都是BST树的叶子结点，即在插入时不必移动其它结点，仅需修改某个结点的指针。 利用BST树的插入操作，可以从空树开始逐个插入每个结点，从而建立一棵BST树.,第4章 树,4.4二叉搜索树,思考：用上述方法构造的含有n个结点BST树，其深度是多少？,深度：2n +1n,第4章 树,4.5 平衡二叉树,例不同的插入次序，将导致不同的深度。 (a) 按一月到十二月的自然月份序列输入所生成的； (b) 输入序列为（July, Feb, Ma

11、y, Mar, Aug, Jan, Apr, Jun, Oct, Sept, Nov, Dec） (c) 输入序列则是按月份字符串从小到大的顺序排列的。,深度：2n +1n, 二叉搜索树的删除,第4章 树,4.4二叉搜索树, 二叉搜索树的删除操作比其它操作更为复杂，有三种情况需要考虑：, 要删除的是叶结点可以直接删除，然后再修改其父结点的指针。,图4.28 二叉搜索树叶结点的删除,要删除结点,例：删除 35,第4章 树,4.4二叉搜索树,图4.29 具有一个子树的结点删除, 要删除的结点只有一个孩子结点删除之前需要改变其父结点的指针，指向要删除结点的孩子结点。,要删除结点 （只有一个孩子）,3

12、5,例：删除 33,第4章 树,4.4二叉搜索树,图4.30 具有两个子树的结点删除, 要删除的结点有左、右两棵子树为了保持二叉搜索树的有序性，替代被删除的元素的位置可以有两种选择：一种是取其右子树中的最小元素；另一个是取其左子树中的最大元素。,41,例：删除 41,1、取右子树中的最小元素替代,2、取左子树中的最大元素替代,第4章 树,4.5 平衡二叉树,二叉树排序树性能,例不同的插入次序，将导致不同的深度和平均查找长度ASL。 (a) 按一月到十二月的自然月份序列输入所生成的； (b) 输入序列为（July, Feb, May, Mar, Aug, Jan, Apr, Jun, Oct,

13、Sept, Nov, Dec） (c) 输入序列则是按月份字符串从小到大的顺序排列的。,查找二叉搜索树（BST）的时间复杂度（最坏情况下）用查找过程中的比较次数来衡量，它取决于树的深度。,第4章 树,4.5 平衡二叉树, 按ASL的定义，可以分别计算出三棵二叉搜索树的平均查找长度： ASL(a)=(1+22+33+43+52+61)/12 = 3.5； ASL(b)=(1+22+34+45)/12 = 3.0； ASL(c)=(1+21+31+41+51+61+71+81+91+101+111+121)/12 = 6.5；,对于一棵具有n个结点的树来说，其二叉排序树的形态对于查找效率至关重要，

14、或者说，一棵二叉排序树不一定就能提高查找的速度，而是要看这棵树的形态。,思考：如何构造形态“好”的二叉树？,第4章 树,4.5 平衡二叉树, 平衡二叉树的定义,第4章 树,4.5 平衡二叉树,【定义】对于二叉树中任一结点T，其“平衡因子（Balance Factor，简称BF）”定义为BF(T) = hL-hR，其中hL和hR分别为T的左、右子树的高度。,“平衡二叉树（Balanced Binary Tree）”又称为“AVL树” 。 AVL树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的非空二叉搜索树： “任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1。”即|BF(T) | 1。,Mar,1,May,Nov

15、,1,2,首个不平衡的“发现者”是Mar（未必是根结点），它是调整起点位置。而“麻烦结点”Nov 在发现者右子树的右边，因而叫 RR 插入，需要RR 旋转（右单旋）；一般情况（设A是首个发现者）的调整方式如下:,0, 平衡二叉树的调整,第4章 树,4.5 AVL树,Aug,Apr,1,2,2, 首个“发现者”是Mar； “麻烦结点”Apr 在发现者左子树的左边，因而叫 LL 插入；一般情况（设A是首个发现者）的调整方式如下:,0,第4章 树,4.5 AVL树,Jan,1,1,2,首个“发现者”是May； “麻烦结点”Jan在左子树的右边，因而叫 LR 插入；一般情况（设A是首个发现者）的调整如

16、下:,左-右双旋,第4章 树,4.5 AVL树,Dec,July,Feb,1,1,2,2,一般情况调整如下:,第4章 树,4.5 AVL树,右-左双旋,June,Oct,Sept,1,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,1,注意：有时候插入元素即便 不需要调整结构，也可能需要重新计算 一些平衡因子。,第4章 树,4.5 AVL树,LL、RR、LR、RL四种不平衡情况及其它们的旋转调整算法程序，见教材p.131代码4.20-代码4.22,最后一个问题: 查找和插入的时间复杂性 Tp = O( h ) 其中 h 是二叉树的高度， 但是， h = ?,第4章 树,4.5 AVL树,设 nh 高度为h的平衡二叉树的最小结点数. 二叉树看起来应该是如下结构形式：,斐波那契序列: F0 = 1, F1 = 1, Fi = Fi1 + Fi2 for i 1, nh = Fh+2 1, for h 0,斐波那契序列的理论值是：,第4章 树,4.5 AVL树, nh = nh1 + nh2 + 1, nh = nh1 + nh2 + 1,第4章 树,4.5 AVL树,设 nh 是高度为h的平衡二叉树的最小结点数.,h nh Fh, nh = Fh+2 1, （对 h 0）, 给定结点数为 n的AVL树的 最大高度为O(log2n)！, 从而保证了AVL树的 查找时间性能为O(log2n)！,