一天征服傅里叶变换.pdf

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1、一天征服傅里叶变换一天征服傅里叶变换一天征服傅里叶变换一天征服傅里叶变换 如果你对信号处理感兴趣如果你对信号处理感兴趣如果你对信号处理感兴趣如果你对信号处理感兴趣，无疑会说这个标题是太夸张了无疑会说这个标题是太夸张了无疑会说这个标题是太夸张了无疑会说这个标题是太夸张了。我赞同这点我赞同这点我赞同这点我赞同这点。当然当然当然当然，没有反覆实践和钻研数学没有反覆实践和钻研数学没有反覆实践和钻研数学没有反覆实践和钻研数学， 您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面。无论如何无论如何无论如何

2、无论如何, 这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运 算的基本知识算的基本知识算的基本知识算的基本知识。能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近。重要的是你将学习重要的是你将学习重要的是你将学习重要的是你将学习 傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算傅立叶变换

3、的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算! 我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信 号处理中傅立叶变换的实际应用号处理中傅立叶变换的实际应用号处理中傅立叶变换的实际应用号处理中傅立叶变换的实际应用。 步骤步骤步骤步骤 1: 一些简单的前提一些简单的前提一些简单的前提一些简单的前提 在下面在下面在下面在下面，您需要理解以下四件最基本的事情您需要理解以下四件最基本的事情您需要理解

4、以下四件最基本的事情您需要理解以下四件最基本的事情: 加法加法加法加法，乘乘乘乘、除除除除法法法法。什么是正弦什么是正弦什么是正弦什么是正弦，余弦和正弦信号余弦和正弦信号余弦和正弦信号余弦和正弦信号。明显明显明显明显 地地地地，我将跳第一二件事和将解释位最后一个我将跳第一二件事和将解释位最后一个我将跳第一二件事和将解释位最后一个我将跳第一二件事和将解释位最后一个。您大概还记得您在学校学过的您大概还记得您在学校学过的您大概还记得您在学校学过的您大概还记得您在学校学过的“三角函数三角函数三角函数三角函数”1，它神秘地用于它神秘地用于它神秘地用于它神秘地用于 与角度一起从它们的内角计算它们的边长与角

5、度一起从它们的内角计算它们的边长与角度一起从它们的内角计算它们的边长与角度一起从它们的内角计算它们的边长，反之亦然反之亦然反之亦然反之亦然。我们这里不需要所有这些事我们这里不需要所有这些事我们这里不需要所有这些事我们这里不需要所有这些事，我们只需要知道二个我们只需要知道二个我们只需要知道二个我们只需要知道二个 最重要的三角函数最重要的三角函数最重要的三角函数最重要的三角函数，正弦正弦正弦正弦 和和和和余弦余弦余弦余弦 的外表特征的外表特征的外表特征的外表特征。这相当简单这相当简单这相当简单这相当简单: 他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观他们看起来象是以峰顶和谷

6、组成的从观他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观 察点向左右无限伸展的非常简单的波浪察点向左右无限伸展的非常简单的波浪察点向左右无限伸展的非常简单的波浪察点向左右无限伸展的非常简单的波浪。 （附图一附图一附图一附图一） The sine wave The cosine wave 如同你所知道的如同你所知道的如同你所知道的如同你所知道的，这两种波形是周期性的这两种波形是周期性的这两种波形是周期性的这两种波形是周期性的，这意味着在一定的时间这意味着在一定的时间这意味着在一定的时间这意味着在一定的时间、周期之后周期之后周期之后周期之后，它们看起来再次一样它们看起来再次一样它们看起来再次一样它们看起来再次

7、一样。 两种波形看起来也很象两种波形看起来也很象两种波形看起来也很象两种波形看起来也很象，但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大值值值值。在实践中在实践中在实践中在实践中，我们如何判定我我们如何判定我我们如何判定我我们如何判定我 们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零? 问的好问的好问的好问

8、的好: 我们不能我们不能我们不能我们不能。实践上没有办法区分实践上没有办法区分实践上没有办法区分实践上没有办法区分 正弦波和余弦波正弦波和余弦波正弦波和余弦波正弦波和余弦波，因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波，在希腊语中译作在希腊语中译作在希腊语中译作在希腊语中译作正弦类正弦类正弦类正弦类。正弦波的正弦波的正弦波的正弦波的 一个重要性质是一个重要性质是一个重要性质是一个重要性质是频率频率频率频率。 它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷它告诉我们在一个给

9、定的时间内有多少个波峰和波谷它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷。 高频意味许多波峰和波谷高频意味许多波峰和波谷高频意味许多波峰和波谷高频意味许多波峰和波谷， 低频率意味少量波峰和波谷低频率意味少量波峰和波谷低频率意味少量波峰和波谷低频率意味少量波峰和波谷: （附图二附图二附图二附图二） Low frequency sinusoid Middle frequency sinusoid High frequency sinusoid 步骤步骤步骤步骤 2: 了解傅立叶定理了解傅立叶定理了解傅立叶定理了解傅立叶定理 Jean-Baptiste

10、 Joseph Fourier 是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个， 因为他十四岁时就开始对他们因为他十四岁时就开始对他们因为他十四岁时就开始对他们因为他十四岁时就开始对他们 说非常复杂的数学用语说非常复杂的数学用语说非常复杂的数学用语说非常复杂的数学用语。他的一生中做了很多重要工作他的一生中做了很多重要工作他的一生中做了很多重要工作他的一生中做了很多重要工作，但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题但最重大的发现可能是解决了材料热传导问

11、题但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题。 他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式，即用三角函数的无穷级数来解决这个问题即用三角函数的无穷级数来解决这个问题即用三角函数的无穷级数来解决这个问题即用三角函数的无穷级数来解决这个问题（就是我们在就是我们在就是我们在就是我们在 上面讨论过的正弦上面讨论过的正弦上面讨论过的正弦上面讨论过的正弦、余弦函数余弦函数余弦函数余弦函数）。）。）。）。主要和我们话题有关的是主要和我们话题有关的是主要和我们话题有关的是主要和我们话题有

12、关的是：傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂 的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示。 这是一个例子这是一个例子这是一个例子这是一个例子： This is our original One sine Two sines Four sines Seven sines Fourteen sines （附图三附图三附图三附图三） 在这

13、里你看到的是一个原始的信号在这里你看到的是一个原始的信号在这里你看到的是一个原始的信号在这里你看到的是一个原始的信号，以及如何按某一确定的关系以及如何按某一确定的关系以及如何按某一确定的关系以及如何按某一确定的关系（“配方配方配方配方”）混合在一起的正弦函数混混合在一起的正弦函数混混合在一起的正弦函数混混合在一起的正弦函数混 合物合物合物合物（我们称它们我们称它们我们称它们我们称它们为分量为分量为分量为分量）所逼近所逼近所逼近所逼近。我们将简略地谈论一下那份配方我们将简略地谈论一下那份配方我们将简略地谈论一下那份配方我们将简略地谈论一下那份配方。如你所知如你所知如你所知如你所知，我们用的正弦函

14、数愈多我们用的正弦函数愈多我们用的正弦函数愈多我们用的正弦函数愈多 其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形。在在在在“现实现实现实现实”世界中世界中世界中世界中，在信号连续的地方在信号连续的地方在信号连续的地方在信号连续的地方，即你能以无穷小的间即你能以无穷小的间即你能以无穷小的间即你能以无穷小的间 隔来测量它们隔来测量它们隔来测量它们隔来测量它们，精度仅受你的测试设备限制精度仅受你的测试设备限制精度仅受你的测试设备限制精度仅受你的测试设备限制，你需要无限多的正弦函数才能完美地建立

15、任意一个给定的信你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信 号号号号。幸运地是幸运地是幸运地是幸运地是，和数字信号处理者们一样和数字信号处理者们一样和数字信号处理者们一样和数字信号处理者们一样，我们不是生活在那样的世界我们不是生活在那样的世界我们不是生活在那样的世界我们不是生活在那样的世界。相反相反相反相反，我们将处理仅以有限精度我们将处理仅以有限精度我们将处理仅以有限精度我们将处理仅以有限精度 每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号每隔一定间

16、隔被测量的现实世界的采样信号每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号。因而因而因而因而，我们不需要无限多地正弦函数我们不需要无限多地正弦函数我们不需要无限多地正弦函数我们不需要无限多地正弦函数，我们只需要非常多我们只需要非常多我们只需要非常多我们只需要非常多。 稍后我们也将讨论这个稍后我们也将讨论这个稍后我们也将讨论这个稍后我们也将讨论这个“非常多非常多非常多非常多”是多少是多少是多少是多少。目前重要的一点是你能够想象目前重要的一点是你能够想象目前重要的一点是你能够想象目前重要的一点是你能够想象，任意一个在你计算机上的信号任意一个在你计算机上的信号任意一个在你计算机上的信号任意一个在你计算机上的

17、信号， 都能用简单正弦波按配方组成都能用简单正弦波按配方组成都能用简单正弦波按配方组成都能用简单正弦波按配方组成。 步骤步骤步骤步骤 3: “非常多非常多非常多非常多”是多少是多少是多少是多少 正如我们所知道的正如我们所知道的正如我们所知道的正如我们所知道的，复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立。我们也许要问需要多少正弦波来我们也许要问需要多少正弦波来我们也许要问需要多少正弦波来我们也许要问需要多少正弦波来 构造任意一个在计算机上给定的信号构造任意一个在计算机上给

18、定的信号构造任意一个在计算机上给定的信号构造任意一个在计算机上给定的信号。当然当然当然当然，倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的，这可能至少是这可能至少是这可能至少是这可能至少是 一个单个正弦波一个单个正弦波一个单个正弦波一个单个正弦波。在许多情况下在许多情况下在许多情况下在许多情况下，我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构，以至于我们不能深以

19、至于我们不能深以至于我们不能深以至于我们不能深 入知道实际上有多少入知道实际上有多少入知道实际上有多少入知道实际上有多少“分量分量分量分量”波存在波存在波存在波存在。在这种情况下在这种情况下在这种情况下在这种情况下，即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构 成的成的成的成的，肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限。尽管如此尽管如此尽管如此尽

20、管如此，这这这这实际上没解决有多少的问题实际上没解决有多少的问题实际上没解决有多少的问题实际上没解决有多少的问题。让我们试让我们试让我们试让我们试 着来直观地逼近它着来直观地逼近它着来直观地逼近它着来直观地逼近它: 假设一个信号我们有假设一个信号我们有假设一个信号我们有假设一个信号我们有 1000 个样采个样采个样采个样采，可能存在的最短周期正弦波可能存在的最短周期正弦波可能存在的最短周期正弦波可能存在的最短周期正弦波（即多数波峰波谷在其即多数波峰波谷在其即多数波峰波谷在其即多数波峰波谷在其 中中中中）以交替的波峰波谷分布在每个采样内以交替的波峰波谷分布在每个采样内以交替的波峰波谷分布在每个采

21、样内以交替的波峰波谷分布在每个采样内。因此因此因此因此，最高频率的正弦波将有最高频率的正弦波将有最高频率的正弦波将有最高频率的正弦波将有 500 个波峰和个波峰和个波峰和个波峰和 500 个波谷在我个波谷在我个波谷在我个波谷在我 们的们的们的们的 1000 个采样中个采样中个采样中个采样中，且每隔一个采样是波峰且每隔一个采样是波峰且每隔一个采样是波峰且每隔一个采样是波峰。下图中的黑点表示我们的采样下图中的黑点表示我们的采样下图中的黑点表示我们的采样下图中的黑点表示我们的采样，所以所以所以所以，最高频率的正弦波最高频率的正弦波最高频率的正弦波最高频率的正弦波 以看起来象这样以看起来象这样以看起来

22、象这样以看起来象这样: The highest frequency sine wave （附图四附图四附图四附图四） 现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低。如果我们只给一个单独的采样点如果我们只给一个单独的采样点如果我们只给一个单独的采样点如果我们只给一个单独的采样点，我们将如何能测我们将如何能测我们将如何能测我们将如何能测 量穿过这点的正弦波的峰顶和谷量穿过这点的正弦波的峰顶和谷量穿过这点的正弦波的峰顶和谷量穿过这点的正弦波的峰顶和谷? 我们做不到我们做不到我们

23、做不到我们做不到，因为有许多不同周期正弦波穿过这点因为有许多不同周期正弦波穿过这点因为有许多不同周期正弦波穿过这点因为有许多不同周期正弦波穿过这点。 （附图五附图五附图五附图五） 所以所以所以所以，一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事。现在现在现在现在，如果我们有两个采样如果我们有两个采样如果我们有两个采样如果我们有两个采样，那么穿过这那么穿过这那么穿过这那么穿过这 两点的正弦波的最低频率是什么两点的正弦波的最低频率是什么两点的正弦波的最低频率是什么两点的

24、正弦波的最低频率是什么？在这种情况下它很常简单在这种情况下它很常简单在这种情况下它很常简单在这种情况下它很常简单。只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦 波波波波。它看起来向这样它看起来向这样它看起来向这样它看起来向这样： The lowest frequency sine wave （附图六附图六附图六附图六） 想象最左面想象最左面想象最左面想象最左面的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦的两个点是二个钉子

25、和一个跨越它们之间的弦（图六描述三个数据点是因为正弦波的周期图六描述三个数据点是因为正弦波的周期图六描述三个数据点是因为正弦波的周期图六描述三个数据点是因为正弦波的周期 性性性性，但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率）。）。）。）。我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉 子之间的弦子之间的弦子之间的弦子之间的弦，象是图六中左边两点之间的

26、正弦波所做的象是图六中左边两点之间的正弦波所做的象是图六中左边两点之间的正弦波所做的象是图六中左边两点之间的正弦波所做的。如果我们有如果我们有如果我们有如果我们有 1000 个采样个采样个采样个采样，那么两个那么两个那么两个那么两个“钉子钉子钉子钉子”相当相当相当相当 于第一个或最后的采样于第一个或最后的采样于第一个或最后的采样于第一个或最后的采样，比如比如比如比如 1 号采样和号采样和号采样和号采样和 1000 号采样号采样号采样号采样。从对乐器的体验我们知道从对乐器的体验我们知道从对乐器的体验我们知道从对乐器的体验我们知道，当长度增加时弦的频当长度增加时弦的频当长度增加时弦的频当长度增加时

27、弦的频 率将下降率将下降率将下降率将下降。所以我们可以想象所以我们可以想象所以我们可以想象所以我们可以想象，当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时，最小正弦波的频率将变得更最小正弦波的频率将变得更最小正弦波的频率将变得更最小正弦波的频率将变得更 低低低低。例如例如例如例如，如果我们选择如果我们选择如果我们选择如果我们选择 2000 个采样个采样个采样个采样，因为我们的因为我们的因为我们的因为我们的“钉子钉子钉子钉子”，在在在在 1 号或号或号或号或 2000 号采样间号采样间号采样

28、间号采样间，所以最低正弦波将所以最低正弦波将所以最低正弦波将所以最低正弦波将 更低更低更低更低。事实上事实上事实上事实上，它将低两倍它将低两倍它将低两倍它将低两倍，因为因为我们的钉子比因为因为我们的钉子比因为因为我们的钉子比因为因为我们的钉子比 1000 个采样时远两倍个采样时远两倍个采样时远两倍个采样时远两倍。这样这样这样这样，如果我们有更多的采如果我们有更多的采如果我们有更多的采如果我们有更多的采 样样样样，我们将能辨别出一个更低频率的正弦波我们将能辨别出一个更低频率的正弦波我们将能辨别出一个更低频率的正弦波我们将能辨别出一个更低频率的正弦波，因为它们的零交叉点因为它们的零交叉点因为它们的

29、零交叉点因为它们的零交叉点（我们的我们的我们的我们的“钉子钉子钉子钉子”）将移动得更远将移动得更远将移动得更远将移动得更远。这对这对这对这对 了解下面的解释是非常重要的了解下面的解释是非常重要的了解下面的解释是非常重要的了解下面的解释是非常重要的。 象我们看到的那样象我们看到的那样象我们看到的那样象我们看到的那样，在两个在两个在两个在两个“钉子钉子钉子钉子”之后之后之后之后，我们的波形开始重复上升斜坡我们的波形开始重复上升斜坡我们的波形开始重复上升斜坡我们的波形开始重复上升斜坡（第一个钉子和第三个钉子同第一个钉子和第三个钉子同第一个钉子和第三个钉子同第一个钉子和第三个钉子同 样样样样）。）。）

30、。）。这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半，换句话说一个峰或一个谷或半个周期换句话说一个峰或一个谷或半个周期换句话说一个峰或一个谷或半个周期换句话说一个峰或一个谷或半个周期。 概括一下我们刚学过的东西概括一下我们刚学过的东西概括一下我们刚学过的东西概括一下我们刚学过的东西，我们知道我们知道我们知道我们知道，一个采样正弦波的上限频率一个采样正弦波的上限频率一个采样正弦波的上限频率一个采样正弦波的上限频率是所有其它有一个波峰和波

31、谷的是所有其它有一个波峰和波谷的是所有其它有一个波峰和波谷的是所有其它有一个波峰和波谷的 采样采样采样采样，并且并且并且并且，低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半。但等一下但等一下但等一下但等一下，这难到不意味着这难到不意味着这难到不意味着这难到不意味着， 当上限频率保持固定时当上限频率保持固定时当上限频率保持固定时当上限频率保持固定时，当有很多采样时最低频率可以降低当有很多采样时最低频率可以降低当有很多采样时最低频

32、率可以降低当有很多采样时最低频率可以降低？确实如此确实如此确实如此确实如此! 结果我们将从一个低频开始增加结果我们将从一个低频开始增加结果我们将从一个低频开始增加结果我们将从一个低频开始增加 更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号。 一切都清楚了一切都清楚了一切都清楚了一切都清楚了，但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波。就象我们现在知道任意正弦波分量所能就象我

33、们现在知道任意正弦波分量所能就象我们现在知道任意正弦波分量所能就象我们现在知道任意正弦波分量所能 具的有上下限频率一样具的有上下限频率一样具的有上下限频率一样具的有上下限频率一样，我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少。既然我们沿着最左到最右的采样既然我们沿着最左到最右的采样既然我们沿着最左到最右的采样既然我们沿着最左到最右的采样 固定了最低正弦波分量固定了最低正弦波分量固定了最低正弦波分量固定了最低正弦波分量， 我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子我们要所有其它正弦波最

34、好也使用这些钉子我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子(为什么我们为什么我们为什么我们为什么我们要不同地对待他们要不同地对待他们要不同地对待他们要不同地对待他们? 所有所有所有所有 的正弦波被同等的创建的正弦波被同等的创建的正弦波被同等的创建的正弦波被同等的创建！ )。假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦。它们能只摇摆在二个钉子之间它们能只摇摆在二个钉子之间它们能只摇摆在二个钉子之间它们能只摇摆在二个钉子之间(除除除除 非他们断了非他们断了非

35、他们断了非他们断了)，就象我们下图的正弦波就象我们下图的正弦波就象我们下图的正弦波就象我们下图的正弦波。这导致如下关系这导致如下关系这导致如下关系这导致如下关系，我们的最低分量我们的最低分量我们的最低分量我们的最低分量（1）以以以以 1/2 周期装配周期装配周期装配周期装配，第二分第二分第二分第二分 量量量量（2）以以以以 1 个周期装配个周期装配个周期装配个周期装配，第三分量以第三分量以第三分量以第三分量以 1 1/2 周期装配以此类推直到我们看到的周期装配以此类推直到我们看到的周期装配以此类推直到我们看到的周期装配以此类推直到我们看到的 1000 个采样个采样个采样个采样。形象地形象地形象

36、地形象地, 看看看看 起来象这起来象这起来象这起来象这: （附图七附图七附图七附图七） 现在现在现在现在，如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的 1000 个采样个采样个采样个采样，就会发现我们精确地需要就会发现我们精确地需要就会发现我们精确地需要就会发现我们精确地需要 1000 个正弦波叠加起来表示个正弦波叠加起来表示个正弦波叠加起来表示个正弦波叠加起来表示 1000 个采样个采样个采样个采样。实际上实际上实际上实际上，我们总是发现我们需要和采样一

37、样多的正弦波我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波。 步骤步骤步骤步骤 4 关于烹饪食谱关于烹饪食谱关于烹饪食谱关于烹饪食谱 在前面的段落我们看到在前面的段落我们看到在前面的段落我们看到在前面的段落我们看到, 任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造。 我们考虑了他们我们考虑了他们我们考虑了他们我们考虑了他们 的频率的频率的频率的频率，并且考虑了需要多大的

38、最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号。我们明白我们明白我们明白我们明白 了为确定所需最低的正弦波分量了为确定所需最低的正弦波分量了为确定所需最低的正弦波分量了为确定所需最低的正弦波分量，我们考察的采样的数量是重我们考察的采样的数量是重我们考察的采样的数量是重我们考察的采样的数量是重要要要要，但我们还未论述实际正弦波如何必需被但我们还未论述实际正弦波如何必需被

39、但我们还未论述实际正弦波如何必需被但我们还未论述实际正弦波如何必需被 混合产生某一确定的结果混合产生某一确定的结果混合产生某一确定的结果混合产生某一确定的结果。由叠加正弦波组成任何指定的信号由叠加正弦波组成任何指定的信号由叠加正弦波组成任何指定的信号由叠加正弦波组成任何指定的信号，我们需要测量他们的另外一个方面我们需要测量他们的另外一个方面我们需要测量他们的另外一个方面我们需要测量他们的另外一个方面。实际实际实际实际 上上上上，频率不是我们需要知道的唯一的事频率不是我们需要知道的唯一的事频率不是我们需要知道的唯一的事频率不是我们需要知道的唯一的事。我们还需要知道正弦波的幅度我们还需要知道正弦波

40、的幅度我们还需要知道正弦波的幅度我们还需要知道正弦波的幅度，也就是说每个正弦波幅度有多高也就是说每个正弦波幅度有多高也就是说每个正弦波幅度有多高也就是说每个正弦波幅度有多高 才能混合在一起产生我们需要的输入信号才能混合在一起产生我们需要的输入信号才能混合在一起产生我们需要的输入信号才能混合在一起产生我们需要的输入信号。高度是正弦波的峰顶的高度高度是正弦波的峰顶的高度高度是正弦波的峰顶的高度高度是正弦波的峰顶的高度，意即峰顶和零线之间距离意即峰顶和零线之间距离意即峰顶和零线之间距离意即峰顶和零线之间距离。幅度幅度幅度幅度 赿高赿高赿高赿高，我们听到的声音也就赿大我们听到的声音也就赿大我们听到的声

41、音也就赿大我们听到的声音也就赿大。所以所以所以所以，如果您有一个含有许多低音的信号如果您有一个含有许多低音的信号如果您有一个含有许多低音的信号如果您有一个含有许多低音的信号，无疑可以预期混合体中的低无疑可以预期混合体中的低无疑可以预期混合体中的低无疑可以预期混合体中的低 频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大。因此一般情况下因此一般情况下因此一般情况下因此一般情况下，低音中的低频正弦波有一个比高频正弦低音中的低频正弦波有一个比高频正弦低音中的低频正弦波有一个比高频正弦低音中

42、的低频正弦波有一个比高频正弦 波更高的幅度波更高的幅度波更高的幅度波更高的幅度。在我们的分析中在我们的分析中在我们的分析中在我们的分析中，我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方。 步骤步骤步骤步骤 5：关于苹果和桔子关于苹果和桔子关于苹果和桔子关于苹果和桔子 如果你一直跟着我如果你一直跟着我如果你一直跟着我如果你一直跟着我，我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程我们几乎完

43、成了通向傅里叶变换的旅程。我们学了需要多少正弦波我们学了需要多少正弦波我们学了需要多少正弦波我们学了需要多少正弦波，它的数量依它的数量依它的数量依它的数量依 赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界，并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配 方方方方。 我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方我们一直不清楚究竟如何从

44、我们的采样来确定实际的配方我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方。 直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度， 设法把一个已知频率正弦波和采样作对比设法把一个已知频率正弦波和采样作对比设法把一个已知频率正弦波和采样作对比设法把一个已知频率正弦波和采样作对比，我们测量找出它们有多么接近我们测量找出它们有多么接近我们测量找出它们有多么接近我们测量找出它们有多么接近。如果它们精确地相等如果它们精确地相等如果它们精确地相等如果它们精确地相

45、等，我们知我们知我们知我们知 道该正弦波存在着相同的幅度道该正弦波存在着相同的幅度道该正弦波存在着相同的幅度道该正弦波存在着相同的幅度，如果我们发现我们的信号如果我们发现我们的信号如果我们发现我们的信号如果我们发现我们的信号与参考正弦波一点也不匹配与参考正弦波一点也不匹配与参考正弦波一点也不匹配与参考正弦波一点也不匹配，我们将认为这个不我们将认为这个不我们将认为这个不我们将认为这个不 存在存在存在存在。尽管如此尽管如此尽管如此尽管如此，我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较我们如何高

46、效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较？幸运地是幸运地是幸运地是幸运地是，数字信号处理工数字信号处理工数字信号处理工数字信号处理工 作者早已解决了如何作这些作者早已解决了如何作这些作者早已解决了如何作这些作者早已解决了如何作这些。事实上事实上事实上事实上，这象加法和乘法一样容易这象加法和乘法一样容易这象加法和乘法一样容易这象加法和乘法一样容易我们取一个已知频率的单位正弦波我们取一个已知频率的单位正弦波我们取一个已知频率的单位正弦波我们取一个已知频率的单位正弦波（这这这这 意味着它的振幅是意味着它的振幅是意味着它的振幅是意味着它的振幅是 1，可从我们的计算器或计算机中精确地获得可从我们的计算器

47、或计算机中精确地获得可从我们的计算器或计算机中精确地获得可从我们的计算器或计算机中精确地获得）和我们的信号采样相乘和我们的信号采样相乘和我们的信号采样相乘和我们的信号采样相乘。累加乘积之后累加乘积之后累加乘积之后累加乘积之后， 我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度。这是个举例这是个举例这是个举例这是个举例，一个简单的完成这些工作的一个简单的完成这些工作的一个简单的完成这些工作的一个简单的完成这些工作的 C 代代代代 码片段码片段码片段码片段： Listing 1.1: The direct realization of the Discrete Sine Transform (DST): #define