《数学史》印度与阿拉伯的数学(上).ppt

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1、数学史讲义,印度与阿拉伯数学,印度与阿拉伯数学,4.1 印度数学,19211922年间印度河流域莫亨佐达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右,如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围,印度地图,印度地图,古代印度数学,印度数学繁荣于公元6世纪到12世纪之间，主要历史成就： （1）包括“零”在内

2、的数码和十进位制记数法。 （2）运用正弦的三角计算。 （3）算术与代数,印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪一12世纪),4.1.1古代绳法经,印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典吠陀当中，年代很不确定吠陀即梵文veda，原意为知识、光明。吠陀内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上,吠陀（梵文，意为知识、光明）是印度雅利安人的作品，成书于公元

3、前15前5世纪，历时1000年左右，婆罗门教的经典，其中的绳法经（前8前2世纪）是吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分。释迦牟尼（公元前565公元前486年）传扬佛教时期，佛教是古印度的迦毗罗卫国（今尼泊尔境内）王子乔达摩悉达多所创，因父为释迦族，得道后被尊称为释迦牟尼也就是“释迦族的圣人”的意思，门徒称他为佛），包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理、圆周率的近似值等。,吠陀时期（公元前10前3世纪）,吠陀手稿 （毛里求斯，1980）,印度雅利安人的作品，绳法经出现在吠陀时代，包含毕达哥拉斯定理等数学知识,这些吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分测绳的法规(Sulva strus)，即绳法

4、经，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2的近似值。,耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。,4.1.2“巴克沙利手稿”,关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”,其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程

5、组、二次方程特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号 :,（1）减号：“12-7”记成“12 7+”,（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。,巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：,有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“0”瓜廖尔数系为：,古代印度数学,印度数码阿拉伯数码 阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人创造的.,关于0的发明,印度,0较早出现在巴克沙利手稿中，这是印度数学的一大发明. 最早的零用来表示记数法中的空位，而没有看作是一个独立的数.印度人起初也是用空位表示零，后记成点

6、号，最后发展为圈号. 后来，印度人又把零作为一个独立的数。 摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都不变.”,关于0的发明,婆什迦罗在算法本源指出：“被除数为3、除数为0，得商 ，这个分母为0的分数，称为无限大量。” 婆罗摩笈多在婆罗摩笈多修正体系中比较完整地叙述了零的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”,用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算,印度数码在公元8世纪传入阿拉伯

7、国家，后又通过阿拉伯人传至 欧洲零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契算经中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍印度数码和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色,4.1.3 “悉檀多时期的印度数学”,悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体 系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多(Aryabhata，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，598665)、马哈维拉(Mahavira，9世纪)和婆什迦罗(Bhaskara，1114一约118

8、5)等,（一）阿耶波多,阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作阿耶波多历数书(499)传世该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。,阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)，成为今天的习惯，同时他以半径的 作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始他还给出了第一象限内间隔为345的正弦差值表,阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法,印度科学史上有重要影响的人物，是最早的印度数学家，499年天文学著作阿耶波多历数书（圣使天文书）传世（相当于祖冲之

9、缀术的年代），最突出之处在于对希腊三角学的改进,制作正弦表（sine一词由阿耶波多称为半弦的jiva演化而来），和一次不定方程的解法。阿耶波多获得了的近似值3.1416（与刘徽所得的近似值相当），建立了丢番图方程求解的“库塔卡”（原意为“粉碎”）法。,阿耶波多（公元476约550年）,最早的印度数学家：阿耶波多（476约550年）,499年阿耶波多历书(圣使天文书),“阿耶波多号”人造卫星 （印度，1975）,的近似值3.1416,婆罗摩笈多的两部天文著作婆罗摩修正体系(628)和肯德卡迪亚格(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵,(二)婆罗摩笈多,在这段时间（中国的隋唐时期）

10、，整个世界（无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。628年发表天文学著作婆罗摩修正体系（宇宙的开端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即现在所谓的佩尔（英，16111685年）方程的一种解法。 他还著有肯德卡迪亚格（约665年）,婆罗摩笈多（598约665年）,乌贾因天文台,婆罗摩笈多（598约665年）,628年婆罗摩修正

11、体系(宇宙的开端),比较完整地叙述了零的运算法则,利用二次插值法构造了间隔为15的正弦函数表,获得了边长为 的四边形的面积公式（有误）：,实际上这一公式只 适用于圆内接四边形，婆罗摩笈多未意识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有一边为零的四边形，得到了海伦公式。,(三)马哈维拉,7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变,耆那教徒马哈维拉的计算方法纲要(The Ganita-Sra-Sangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1)算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算

12、，(4)各种计算问题，(5)三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程计算，(9)测影计算,给出了一般性的组合数 公式,给出椭圆周长近似公式：,马哈维拉,马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一段时间约公元850年，他撰写了计算方法纲要(Ganitas1rasagraha)一书。该书在印度南部曾被广泛使用， 11世纪被译成泰卢固语。20世纪初，它被重新发现1912年，在马德拉斯译为英文出版计算精华是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学教材中的一些论题和结构在其中已可见到。,(四)婆什迦罗,婆什迦

13、罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作他有两本代表印度古代数学最高水平的著作莉拉沃蒂(Llvat)和算法本源，天文著作有天球和天文系统之冠,印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗，出生于印度南方的比德尔，成年后来到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天文台的台长。 古印度数学最高成就天文系统之冠（1150年，中国的南宋时期）和天球，还有两部婆什迦罗的重要数学著作算法本源、莉拉沃蒂。,婆什迦罗（11141188年）,“婆什迦罗号”人造卫星（印度第二颗卫星） （1979）,婆什迦罗（11141188年）,印度数学最高成就天文系统极致,

14、莉拉沃蒂,莉拉沃蒂共有13章： 第1章给出算学中的名词术语； 第2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等； 第3章论各种计算法则和技巧； 第4章关于利率等方面的应用题； 第5 章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列； 第6章关于平面图形的度量计算； 第7至10章关于立体几何的度量计算；,莉拉沃蒂,第11章为测量问题； 第12章是代数问题，包括不定方程； 第13章是一些组合问题,能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式,能够认识并广泛使用无理数,莉拉沃蒂,婆什迦罗天文系统之冠,著于1150年，分 “应用问题”、“代数”、“天球”和“行星数学”四篇。书中，他全面系

15、统地介绍了算术、代数和几何知识，反映了印度12世纪的记数法，记载了有关自然数、分数和负数的8种基本运算，收集了有关利息、商品交换、合金成分、土方、仓库容积、水利建设等各种与社会、经济活动有关的数学问题，给出了有关代数、几何、三角方面的一些成果。,关于印度的几何,婆罗摩笈多曾给出了一个求四边形面积的公式： 婆罗摩笈多定理： 设圆内接四边形的各边依次是 ，其对角线为 则,关于印度的三角,把圆分成360度或21600分，改进托勒密把直径分为120等分，而且把半径120等分。用单位弧长度量半径，即，得 把半弦与全弦所对弧的一半相对应。,由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深，但印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。现代初等算术运算方法的发展，起始于印度，可能在大约10、11世纪，它被阿拉伯人采用，后来传到欧洲，在那里，它们被改造成现在的形式。这些工作受到15世纪欧洲算术家们的充分注意。 与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。此外，印度人用诗的语言来表达数学，他们的著作含糊而神秘（虽然发明了零号），且多半是经验的，很少给出推导和证明。,总结,