同济大学(高等数学)_第十章_重积分(25页).doc
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1、-同济大学(高等数学)_第十章_重积分-第 24 页第十章 重积分一元函数积分学中,我们曾经用和式的极限来定义一元函数在区间上的定积分,并已经建立了定积分理论,本章将把这一方法推广到多元函数的情形,便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.第1节二重积分的概念与性质1.1 二重积分的概念下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,引出二重积分的定义.1.1.1. 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指这样的立体,它的底是平面上的一个有界闭区域,其侧面是以的边界为准线的母线平行于轴的柱面,其顶部是在区域上的连续函数,且所表示的曲面(图101).图101现在讨论如何求曲顶柱
2、体的体积.分析这个问题,我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法(即分割、近似代替、求和、取极限的方法)来解决(图102).图102(1)分割闭区域为个小闭区域同时也用表示第个小闭区域的面积,用表示区域的直径(一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值),相应地此曲顶柱体被分为个小曲顶柱体.(2)在每个小闭区域上任取一点对第个小曲顶柱体的体积,用高为而底为的平顶柱体的体积来近似代替.(3)这个平顶柱体的体积之和就是曲顶柱体体积的近似值.(4)用表示个小闭区域的直径的最大值,即.当 (可理解为收缩为一点)时,上述和式的极限,就是曲顶柱体的体积:1.1.2 平面薄
3、片的质量设薄片在平面占有平面闭区域,它在点处的面密度是.设且在上连续,求薄片的质量(见图10-3).图10-3先分割闭区域D为个小闭区域在每个小闭区域上任取一点近似地,以点处的面密度代替小闭区域上各点处的面密度,则得到第i块小薄片的质量的近似值为,于是整个薄片质量的近似值是用表示个小闭区域的直径的最大值,当无限细分,即当时,上述和式的极限就是薄片的质量,即以上两个具体问题的实际意义虽然不同,但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.定义1 设是平面上的有界闭区域,二元函数在上有界.将分为个小区域同时用表示该小区域的面积,记的直径为,并令.在上任取一点,作乘积并作和式
4、若时,的极限存在(它不依赖于的分法及点的取法),则称这个极限值为函数在上的二重积分,记作,即, (10-1-1)其中叫做积分区域,叫做被积函数,叫做面积元素,叫做被积表达式,与叫做积分变量,叫做积分和.在直角坐标系中,我们常用平行于轴和轴的直线(=常数和=常数)把区域分割成小矩形,它的边长是和,从而,因此在直角坐标系中的面积元素可写成,二重积分也可记作有了二重积分的定义,前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数在区域上的二重积分薄片的质量是面密度在区域上的二重积分因为总可以把被积函数看作空间的一曲面,所以当为正时,二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积;当为负时,柱体就在平
5、面下方,二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果在某部分区域上是正的,而在其余的部分区域上是负的,那么在上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.如果在区域上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在),则称在上可积.什么样的函数是可积的呢?与一元函数定积分的情形一样,我们只叙述有关结论,而不作证明.如果是闭区域上连续,或分块连续的函数,则在上可积.我们总假定在闭区域上连续,所以在上的二重积分都是存在的,以后就不再一一加以说明.1.1.3 二重积分的性质设二元函数在闭区域上连续,于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义,可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.性质1 常数
6、因子可提到积分号外面.设是常数,则性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和,即性质3 设闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.例如分为区域和(见图10-4),则 . (10-1-2)图10-4性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.性质4 设在闭区域上,为的面积,则从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.性质5 设在闭区域上有,则由于 又有 .这就是说,函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.性质6 设分别为在闭区域上的最大值和最小值,为的面积,则有上述不等式是二重积分估值的
7、不等式.因为,所以由性质5有即 .性质7 设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点使得这一性质称为二重积分的中值定理.证 显然.因在有界闭区域上连续,根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理,在上必存在一点使等于最大值,又存在一点使等于最小值,则对于上所有点,有由性质1和性质5,可得再由性质4得或根据闭区域上连续函数的介值定理知,上必存在一点,使得即证毕.二重积分中值定理的几何意义可叙述如下:当为空间一连续曲面时,对以为顶的曲顶柱体,必定存在一个以为底,以内某点的函数值为高的平顶柱体,它的体积就等于这个曲顶柱体的体积.习题101 1.根据二重积分性质,比较与的大小,其中(1)表
8、示以、为顶点的三角形;(2)表示矩形区域.2.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值:(1),;(2),.3.设为连续函数,求,4.根据二重积分性质,估计下列积分的值:(1),;(2),;(3), .5.设,证明函数在上不可积.第2节 二重积分的计算只有少数二重积分(被积函数和积分区域特别简单)可用定义计算外,一般情况下要用定义计算二重积分相当困难下面我们从二重积分的几何意义出发,来介绍计算二重积分的方法,该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题2.1 直角坐标系下的计算在几何上,当被积函数时,二重积分的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体
9、积.设积分区域由两条平行直线及两条连续曲线(见图105)所围成,其中,则D可表示为图105用平行于坐标面的平面去截曲顶柱体,得一截面,它是一个以区间为底,以为曲边的曲边梯形(见图106),所以这截面的面积为图106由此,我们可以看到这个截面面积是的函数.一般地,过区间上任一点且平行于坐标面的平面,与曲顶柱体相交所得截面的面积为其中是积分变量,在积分时保持不变.因此在区间上,是的函数,应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体的体积为即得或记作上式右端是一个先对,后对积分的二次积分或累次积分.这里应当注意的是:做第一次积分时,因为是在求处的截面积,所以是之间任何一个固定的值,是积分变
10、量;做第二次积分时,是沿着轴累加这些薄片的体积,所以是积分变量.在上面的讨论中,开始假定了,而事实上,没有这个条件,上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下:若在闭区域上连续,则 . (10-2-1)类似地,若在闭区域上连续,积分区域由两条平行直线及两条连续曲线(见图107)所围成,其中,则D可表示为则有 . (10-2-2)图107以后我们称图10-5所示的积分区域为型区域,型区域D的特点是:穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界的交点不多于两个称图107所示的积分区域为Y型区域,Y型区域D的特点是:穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个.从上述计算公式可以看出将二重积分化为
11、两次定积分,关键是确定积分限,而确定积分限又依赖于区域D的几何形状因此,首先必须正确地画出D的图形,将D表示为X型区域或Y型区域如果D不能直接表示成X型区域或Y型区域,则应将D划分成若干个无公共内点的小区域,并使每个小区域能表示成X型区域或Y型区域,再利用二重积分对区域具有可加性相加,区域D上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和(图108)图10-8例1 计算二重积分,其中为直线与抛物线所包围的闭区域.解 画出区域的图形,求出与两条曲线的交点,它们是及.区域(图109)可表示为:图109因此由公式(10-2-1)得本题也可以化为先对,后对的积分,这时区域可表为:.由公式(10-2-2)得积
12、分后与上面结果相同.例2 计算二重积分,其中是由直线和所围成的闭区域.解 画出积分区域,易知: (图10-10),若利用公式(10-2-1),得图10-10若利用公式(10-2-2),就有也可得同样的结果.例3 计算二重积分,其中是直线和双曲线所围之闭区域.解 求得三线的三个交点分别是及.如果先对积分,那么当时,的下限是双曲线,而当时,y的下限是直线,因此需要用直线把区域分为和两部分(图1011).图1011于是如果先对积分,那么,于是由此可见,对于这种区域,如果先对积分,就需要把区域分成几个区域来计算.这比先对积分繁琐多了.所以,把重积分化为累次积分时,需要根据区域和被积函数的特点,选择适当
13、的次序进行积分.例4 设连续,求证证 上式左端可表为其中 (图1012)区域也可表为:,图1012于是改变积分次序,可得由此可得所要证明的等式.例5计算二重积分,其中是直线与抛物线所围成的区域.解把区域表示为型区域,即.于是注:如果化为型区域即先对积分,则有由于的原函数不能由初等函数表示,往下计算就困难了,这也说明计算二重积分时,除了要注意积分区域的特点(区分是型区域,还是型区域)外,还应注意被积函数的特点,并适当选择积分次序.2.2 二重积分的换元法与定积分一样,二重积分也可用换元法求其值,但比定积分复杂得多.我们知道,对定积分作变量替换时,要把变成,变成,积分限也要变成对应的值.同样,对二
14、重积分作变量替换时,既要把变成,还要把面上的积分区域变成面上的区域,并把中的面积元素变成中的面积元素.其中最常用的是极坐标系的情形.2.2.1 极坐标系的情形下面我们讨论利用极坐标变换,得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐标系的原点,极轴与轴重合,那么点的极坐标与该点的直角坐标有如下互换公式:我们知道,有些曲线方程在极坐标系下比较简单,因此,有些二重积分用极坐标代换后,计算起来比较方便,这里假设在区域上连续.在直角坐标系中,我们是以平行于轴和轴的两族直线分割区域为一系列小矩形,从而得到面积元素.在极坐标系中,与此类似,我们用“”的一族同心圆,以及“”的一族过极点的射线,将区域分
15、成个小区域,如图1013所示.图1013小区域面积记 ,则有故有则这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式.在作极坐标变换时,只要将被积函数中的分别换成,并把直角坐标的面积元素换成极坐标的面积元素即可.但必须指出的是:区域必须用极坐标系表示.在极坐标系下的二重积分,同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论:(1) 极点在区域外部,如图1014所示.图1014设区域在两条射线之间,两射线和区域边界的交点分别为,将区域的边界分为两部分,其方程分别为且均为上的连续函数.此时于是(2) 极点在区域内部,如图1015所示.若区域的边界曲线方程为,这时积分区域为且在上连续.图1015于是(3
16、) 极点在区域的边界上,此时,积分区域如图1016所示.图1016且在上连续,则有在计算二重积分时,是否采用极坐标变换,应根据积分区域与被积函数的形式来决定.一般来说,当积分区域为圆域或部分圆域,及被积函数可表示为或等形式时,常采用极坐标变换,简化二重积分的计算.例6计算二重积分其中.解在极坐标系中积分区域为则有例7计算二重积分,其中是单位圆在第象限的部分.解采用极坐标系. 可表示为(图10-17),图10-17于是有例8计算二重积分,其中是二圆和之间的环形闭区域.解区域:,如图1018所示.图1018于是2.2.2. 直角坐标系的情形我们先来考虑面积元素的变化情况.设函数组为单值函数,在上具
17、有一阶连续偏导数,且其雅可比行列式则由反函数存在定理,一定存在着上的单值连续反函数这时与之间建立了一一对应关系,面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为面上的曲线.我们用面上平行于坐标轴的直线将区域分割成若干个小矩形,则映射将面上的直线网变成面上的曲线网(图1019).图1019在中任取一个典型的小区域 (面积记为)及其在中对应的小区域 (面积记为),如图1020所示.图1020设的四条边界线的交点为和.当很小时,也很小,的面积可用与构成的平行四边形面积近似.即而同理从而得的绝对值因此,二重积分作变量替换后,面积元素与的关系为或由此得如下结论:定理1 若在平面上的闭区域上连续,变换,将平面上的闭区
18、域变成平面上的,且满足:(1)在上具有一阶连续偏导数,(2)在上雅可比式(3)变换是一对一的,则有例9计算二重积分,其中是由轴,轴和直线所围成的闭区域.解 令,则在此变换下,面上闭区域变为面上的对应区域(图1021). 图1021雅可比式为则得例10设为平面内由以下四条抛物线所围成的区域:,其中,求的面积.解 由的构造特点,引入两族抛物线,则由从变到,从变到时,这两族抛物线交织成区域(图1022).图1022雅可比行列式为 则所求面积习题102 1.画出积分区域,把化为二次积分:(1); (2).2.改变二次积分的积分次序:(1); (2);(3); (4).3.设连续,且,其中D是由直线及曲
19、线所围成的区域,求4.计算下列二重积分:(1),;(2),其中是直线与抛物线所围成的区域;(3),; (4),是顶点分别为,的三角形闭区域. 5.求由坐标平面及所围的角柱体的体积. 6.计算由四个平面所围的柱体被平面及截得的立体的体积. 7.在极坐标系下计算二重积分:(1), ;(2), ;(3),其中为圆域;(4),其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.8. 将下列积分化为极坐标形式:(1) ; (2) .9.求球体被圆柱面所割下部分的体积.10.作适当坐标变换,计算下列二重积分:(1),由所围成的平面闭区域;(2),;(3), 其中是椭圆所围成的平面闭区域;(4), .11.设
20、闭区域由直线所围成,求证:12.求由下列曲线所围成的闭区域的面积:(1) 曲线所围成的第一象限的平面闭区域;(2) 曲线所围的闭区域.第3节三重积分3.1 三重积分的概念三重积分是二重积分的推广,它在物理和力学中同样有着重要的应用.在引入二重积分概念时,我们曾考虑过平面薄片的质量,类似地,现在我们考虑求解空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域,在中每一点处的体密度为,其中是上的正值连续函数.试求该物体的质量.先将空间区域任意分割成个小区域 (同时也用表示第个小区域的体积).在每个小区域上任取一点,由于是连续函数,当区域充分小时,密度可以近似看成不变的,且等于在点处的密度,因此每一小块的质量近
21、似等于物体的质量就近似等于令小区域的个数无限增加,而且每个小区域无限地收缩为一点,即小区域的最大直径时,取极限即得该物体的质量由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义:定义1 设是空间的有界闭区域,是上的有界函数,任意将分成个小区域,同时用表示该小区域的体积,记的直径为,并令,在上任取一点,作乘积,把这些乘积加起来得和式,若极限存在(它不依赖于区域的分法及点的取法),则称这个极限值为函数在空间区域上的三重积分,记作即 ,其中叫做被积函数,叫做积分区域,叫做体积元素.在直角坐标系中,若对区域用平行于三个坐标面的平面来分割,于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似,此时三重积分可用符号来表示
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- 同济大学 高等数学 第十 积分 25
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