坐标系与参数方程(知识点+选题)(17页).doc

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1、-坐标系与参数方程(知识点+选题)-第 16 页第一节坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系图1(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标其中称为点M的极径，称为点M的

2、极角3极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2tan (x0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(00)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程是(R)(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为cos a.(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为sin_b(0)第二节参数方程1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的

3、每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致3常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为

4、1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离重点1 坐标系与参数方程1极坐标和直角坐标互化的前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；来源:Z+xx+k.Com（2）极轴与直角坐标系的轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位设点的直角坐标为，它的极坐标为，则互化公式是或；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解2消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和

5、三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性.3参数方程的用途主要有以下几个方面：（1）求动点的轨迹，如果的关系不好找，我们引入参变量后，很容易找到与和与的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用（2）可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能（3）有些曲线参数方程的参变量有几何意义若能利用参变量的几何意义解题，常会取得意想不到的效果如利用直线标准参数方程中的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.高考常考角度角度1 若曲线的极

6、坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .解析：关键是记住两点：1、，2、即可.由已知为所求.角度2在极坐标系中，点 到圆的圆心的距离为（ ）A. 2 B. C. D. 解析：极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式.故选D.角度3 已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .解：表示椭圆，表示抛物线联立得或（舍去），又因为，所以它们的交点坐标为来源:学#科#网角度4 直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值

7、为 点评：利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程解析：曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为角度5 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与，各有一个交点当时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合（）分别说明是什么曲线，并求出a与b的值；（）设当=时，l与的交点分别为，当=时，l与的交点为，求四边形的面积解析：（）的普通方程分别为和，故是圆，是椭圆. 当时，射线l与交点的直角坐标分别为，因为这两点间的距离为2，所以. 当时，射线l与交点的直角坐标分别

8、为，因为这两点重合，所以. （）的普通方程分别为和 当时，射线l与交点A1的横坐标为，与交点B1的横坐标为来源:Zxxk.Com当时，射线l与的两个交点分别与关于x轴对称，因此，四边形为梯形.故四边形的面积为 来源:学科网ZXXK易失分点1 参数的几何意义不明典例 已知直线的参数方程为（为参数），若以平面直角坐标系中的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求易失分提示：对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误解析：（1）直线的参数方程可以化为，根据直线参数方程的意义，直线经过点，倾斜角为.（2）的直角坐标

9、方程为，即曲线的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离所以 易失分点2 极坐标表达不准典例 已知曲线的极坐标方程分别为则曲线与交点的极坐标为_来源:学,科,网Z,X,X,K易失分提示: 本题考查曲线交点的求法，易错解为：由方程组即两曲线的交点为或正解解析：由方程组或即两曲线的交点为或在极坐标系中，有序实数对的集合与平面内的点集不是一一对应的.给出一个有序数对，在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极坐标不是唯一的，若点不是极点，是它的一个掇坐标，那么有无穷多个极坐标与各类题型展现：1. （本小题满分10分) 在平面直角坐标系中，椭圆方程为为参数）（1）求过椭圆的右焦点，且与直线

10、为参数）平行的直线的普通方程.（2）求椭圆的内接矩形面积的最大值。解析：（1）由已知得椭圆的普通方程为，右焦点为，直线的普通方程为，所以,于是所求直线方程为即.（2），当时，面积最大为30.2. （本小题满分10分） 在极坐标系中，已知圆的圆心，半径. （）求圆的极坐标方程； （）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.解析：（）方法一：圆心的直角坐标为，圆的直角坐标方程为.化为极坐标方程是.方法二：如图，设圆上任意一点，则 化简得.4分（）将代入圆的直角坐标方程，得 即所以 .故，即弦长的取值范围是.10分3. （本小题满分10分）已知直线的参数方程是（是参数），圆

11、的极坐标方程为.（）求圆心的直角坐标；（）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值。解析：（）由 得 圆的直角坐标方程为 即，所以 圆心的直角坐标为（）由直线上的点向圆引切线，切线长为所以，当时，切线长的最小值为来源:Zxxk.Com4. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数） （）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；来源:学科网（）判断直线与圆的位置关系。解析：（）由题意知，的直角坐标为，因为是线段中点，则因此直角坐标方程为 （）因为直线上两点，来源:学科网的方程为：即，又圆心，半径.所

12、以,故直线和圆相交.5.（本小题满分10分）在直角坐标系中，圆，圆（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）（2）求圆与圆的公共弦的参数方程解析：圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，解 得，故圆与圆交点的坐标为 5分 注：极坐标系下点的表示不唯一（2）（解法一）由，得圆与圆交点的直角坐标为故圆与圆的公共弦的参数方程为 (为参数) （或参数方程写成） 10分（解法二）将代入，得，从而于是圆与圆的公共弦的参数方程为 10分补充练习：1在极坐标系中，求点到直线sin1的距离解点化为直角坐标为(，1)，3分直线sin1化为1，得yx1，即直

13、线的方程为xy20，6分故点(，1)到直线xy20的距离d1.10分2在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，2分圆O的直角坐标方程为x2y2xy，即x2y2xy0，4分直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.6分(2)由得8分故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.10分3(2017邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为sin1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1. (1)求圆C的极

14、坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长解(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(，)为圆C上的一个动点，则AOD或AOD，2分OAODcos或OAODcos，圆C的极坐标方程为2cos.4分(2)由sin1，得(sin cos )1，6分直线l的直角坐标方程为xy0，又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，直线l过圆C的圆心，8分故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分4(2017南京调研)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且2，求动点P的轨迹方程解(1)设M(，)是圆C上任意一点在OCM中，COM，由余弦定理

15、得|CM|2|OM|2|OC|22|OM|OC|cos，化简得6cos .4分(2)设点Q(1，1)，P(，)，由2，得，1，1，8分代入圆C的方程，得6cos，即9cos.10分5(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0，2分联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.4分(

16、2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，).8分所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.10分6从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值解(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)，则012.2分0cos 4，3cos ，即为所求的轨迹方程. 4分(2)将3cos 化为直角坐标方程，得x2y23x，即2y22. 8分知点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆直线l的直角坐标方程是

17、x4.结合图形易得|RP|的最小值为1. 10分7在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR). (1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.2分由sinm，得sin cos m0，所以直线l的直角坐标方程为xym0.4分(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分即2，解得m32.10分8极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，

18、以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为sin28cos . (1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.解(1)由sin28cos ，得2sin28cos ，故曲线C的直角坐标方程为y28x.4分(2)将直线l的方程化为标准形式6分代入y28x，并整理得3t216t640，t1t2，t1t2.8分所以|AB|t1t2|.10分9(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A

19、，B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.4分(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110，于是1212cos ，1211.8分|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.10分10(2014全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数

20、方程，确定D的坐标解(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t).4分(2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tan t，t.8分故D的直角坐标为，即.10分11(2017湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin，曲线C2的极坐标方程为2acos(a0)(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(，)(0,02)；(2)若直线l与C2相切，求a的

21、值解(1)曲线C1的普通方程为yx2，x，直线l的直角坐标方程为xy2，联立解得或(舍去)故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为.4分(2)曲线C2的直角坐标方程为x2y22ax2ay0，即(xa)2(ya)22a2(a0).8分由直线l与C2相切，得a，故a1.10分12(2017福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|PB|.解(1)由消去参数，得y21，即C的普通方程为y21.2分由sin，得sin cos 2，(*)将代入(*)，化简得yx2，所以直线l的倾斜角为.4分(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，代入y21并化简，得5t218t270，(18)245271080，8分设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t20，t1t20，所以t10，t20，所以|PA|PB|t1|t2|(t1t2).10分