《微积分一》导数的基本定律与运算法则.ppt

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1、一、函数的和、差、积、商的求导法则,二、反函数的导数,三、基本初等函数的导数,四、复合函数的导数,3.3 导数的基本公式与运算法则,五、隐函数的导数,六、对数求导法,八、综合举例,七、由参数方程所确定的函数的导数,一、函数的和、差、积、商的求导法则,如果u(x)、v(x)都是x的可导函数 则它们的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数 并且,u(x)v(x)u(x)v(x),u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),特别地 cu(x)cu(x),公式的推广,(u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un,二、反函数的导数,设函

2、数yf(x)在点x处有不等于0的导数f (x) 并且其反函数xf 1(y)在相应点处连续 则f 1(y)存在 并且,简要证明,这是因为,三、基本初等函数的导数,1 常数的导数,(c)0,这是因为,1 (c)0,2 幂函数的导数,这是因为,1 (c)0,3 指数函数的导数,(ax)axln a,(ex)ex,这是因为,4 对数函数的导数,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函数的导数,(sin x)cos x,这是因为,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函数的导数,这是因为,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,1 (c)0,

3、3 (ax)axln a,(ex)ex,6 反三角函数的导数,这是因为 函数 yarcsinx与xsin y互为反函数 所以由反函数的求导公式得,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,基本导数公式,课前复习,1. 导数的几何意义？切线方程？,2. 可导与连续的

4、关系？,反之不成立！,例1.计算下列函数的导数.,0,0,1）,4）,5）,6）,7）,8）,2）,3）,_,),(,2,=,e,解：,解：,例2.,解：,解：,解：,解：,解：,?,四、复合函数的导数,设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为,简要证明,推广,设yf(u) u(v) v(x) 则复合函数y (x)对x的导数是,四、复合函数的导数,设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为,因此,因此,四、复合函数的导数,若yf(x) u(x) 则,解,设yln u usin x

5、则,例11 求函数ylnsin x的导数,解,例12 求函数yarcsin(3x2)的导数,解,y(ax),例10 求函数yax的导数,axln a,axln a(x),解,解,练 习,五、隐函数的导数,显函数,隐函数,解,例15 求由方程y22px所确定的隐函数yf(x)的导数,将方程两边同时对x求导 得,2yy2p,解出y即得,解,将方程两边同时对x求导 得,例16 求由方程yxln y所确定的隐函数yf(x)的导数,解出y即得,解,将方程两边同时对x求导 得,解出y 得,例17 求由方程e y xy所确定的隐函数y的导数,e yy yxy,解,例18 由方程x2xyy24确定y是x的函数

6、 求其曲线 上点(2, 2)处的切线方程,将方程两边同时对x求导 得,2xyxy2yy0,解出y即得,所求切线的斜率为 ky|x2,y21 于是所求切线为 y(2)1(x2) 即yx4,求下列隐函数的导数：,1）,2）,3）,练 习,六、取对数求导法,将函数yf(x)两边取对数 转化为隐函数求导 这种 方法称之为 “取对数求导法”,解,例19 求函数yxx的导数,法一.,yxxexln x,xx(ln x1),exln x(ln x1),将yxx两边取对数,ln yxln x,两边对x求导数 得,于是得 yy(ln x1)xx(ln x1),法二.,解,先在两边取对数 得,上式两边对x求导 得

7、,例20.,思考：具有什么特征的显函数用对数求导法较好？,1. 幂指函数 2. 多个因子相乘除的函数,练 习,求下列函数的导数：,2. 对数求导法 适用的函数类型？ 方法？,课前复习,隐函数求导法 （1）方法？ （2）特别要注意的地方？,七、由参数方程所确定的函数的导数,设x(t)有连续反函数t1(x) 又(t)与(t)存在 且(t) 0 则：,解：,解：,例21.,练 习,八、综合举例,例22 y3xx333xx 求y,证,所以 y(a)y(a),例23.,例24 已知f(u)可导 求f (ln x) f (xa)n及f (xa)n,f (xa)n,f (xa)nn(xa)n1(xa),n(xa)n1f (xa)n,f (xa)n(xa)n,f (xa)n,nf (xa)n1f (xa),nf (xa)n1f (xa)(xa),nf (xa)n1f (xa),例25.,解,当x0时,当0 x1时,f (x)1,f (x)2,在x0处f(x)不连续 故f (0) 不存在 在x1处 有,故 f (1)2,当x1时,f (x)2x,例26.,例27 设球半径R以2厘米/秒的速度等速增加 求当球半径R10厘米时 其体积V增加的速度,答 当R10厘米时 体积V的增加速度为800(厘米)3/秒,