复变函数积分方法总结(14页).doc

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1、-复变函数积分方法总结复变函数积分方法总结键入文档副标题acer选取日期 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z= 称为主值 - ，Arg=argz+2k 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos ，y=rsin,故z= rcos+i rsin；利用欧拉公式ei=cos+isin。z=rei。1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在

2、区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0 ，z1，zk-1，zk，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2n)上任取一点xk并作和式Sn=(zk-zk-1)=zk记zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的长度=Sk(k=1,2,n),当0时，不论对c的分发即xk的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =zk设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1） 解：当C为闭合曲线时，=0. f

3、(z)=1 Sn=(zk-zk-1)=b-a =b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设xk=zk-1,则 1= (zk-zk-1)有可设xk=zk，则 2= (zk-zk-1)因为Sn的极限存在，且应与1及2极限相等。所以 Sn= (1+2)=b2-a2 =b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i + udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (t) =参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0t1）；z=z0+rei，(02)例题1： 积分路线是原点到3+

4、i的直线段解：参数方程 z=（3+i）t = =(3+i)3 =6+i例题2： 沿曲线y=x2计算解： 参数方程 或z=t+it2 (0t1)= =(1+i) + 2i =-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ rei ，(02)由参数法可得：=d=d=例题1： 例题2： 解： =0 解 =2i 2.柯西积分定理法： 2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有： =02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条

5、正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：=+=0即=推论： =例题： C为包含0和1的正向简单曲线。解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。=+ = =+ =0+2i+2i+0 =4i2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即 = 这里的z1和z0积分的上下限。当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= 所以有 若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且

6、=f(z).根据定理2.2和2.4可得= F(z1) - F(z0).例题：求解： 函数zcosz在全平面内解析 =zsinz- = isin i+cosz=isin i+cos i-1 =i+-1=e-1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。2.5柯西积分公式法：设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数在z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。 取z0位中心，以0为半径的正向圆周=位积分曲线，由于f(z)的连续性，所以=2if(z0)2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单

7、闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有： f(z0)=例题：1） 2） 解：=2 isin z|z=0=0 解： = =2i|z=-i=2.6解析函数的高阶导数： 解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为 f(n)(z0)=dz(n=1,2)其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题： C:=1 解：由高阶导数的柯西积分公式： 原式=2i(ez)(4)|z= =3.解析函数与调和函数： 定义：（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：+=0，则称(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u

8、+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。3.1求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数=，两边对y积分得v=.再由=又得+=- 从而=dx + C v= + dx + C同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2不定积分法：因为=Ux+i Vx= Ux-

9、iUy= Vy+iVX所以f(z)=+c f(z)=+c3.3线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=dx+dy=-dx+ 故虚部为v=+C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y). 例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 解：利用C-R条件 =2x+y =-2y+x =2 =-2所以满足拉普拉斯方程，有=2y-x =2x+y所以v=+=2xy- +=2x+=2x+y=y =+cv(x,y)=2xy-+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(2-i)+iC4.留数

10、求积分：留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0 ,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在z0处的留数，记为Resf(z),z0即Resf(z),z0=c-1或者Resf(z),z0= C为04.1留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1z2zn, =2i 其中zk表示函数的孤立奇点4.2孤立奇点：定义：如果函数在z0不解析，但在z0某个去心邻域0内解析，则称z0为的孤立奇点。 例如、都是以z=0为孤立奇点函数以z=-1、z=2为孤立奇点.在孤立奇点z=z0的去心邻域内，函数可展开为洛朗级数 =洛朗级数中负幂项是否存在

11、，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z0的类型：4.2.1可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即对一切n0有cn=0，则称z0是f(z)的可去奇点 因为没有负幂项，即c-n=0,(n=1,2.)故c-1=0。遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇点 ，一般对函数求积分一般为零 =2i=0。判断可去奇点方法：函数在某个去心邻域0内解析，则z0是的可去奇点的充要条件是存在极限=c0，其中c0是一复常数; 在的假设下，z0是f(z)可去奇点的充要条件是：存在r，使得f(z)在0r内有界4.2.2极点：若函数f(z

12、)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项，即有正整数m，c-m0，而当n-m时c-n=0则称z0是f(z)的m级极点。其洛朗展开式是：f(z)=+c0+c1(z-z0)n+m+c0(z-z0)n +这里c-m0，于是在 0有f(z)=+c0+c1(z-z0)n+m+c0(z-z0)n +=. * 一个在0解析，同时，则z0是f(z)的m级极点。判断定理：（1）f(z)在z0的去心邻域0，z0是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0是f(z)的m级极点的充要条件是=.4.2.3本性奇点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负

13、幂项，则称z0是f(z)的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限。4.3函数在极点的留数：准则一：若z0为一级极点，则Resf(z),z0=准则二：做z0为m级极点，则Resf(z),z0=(z-z0)mf(z)准则三：设f(z)=,P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0)0，Q(z0)，则z0是f(z)的一级极点，而且：Resf(z),z0=4.4无穷远处的留数：定义：扩充z平面上设z=为f(z)上的孤立奇点，即f(z)在R+内解析，C为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线，则积分值称为f(z)在z=处的留数，记作 Resf(z),=如果f(z),在

14、R+内的洛朗展开式为 f(z),= 则有Resf(z),=-c-14.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，zn则f(z)在各奇点的留数总和为零,即 +Resf(z),=0;4.4.2 Resf(z),=-Resf(),0例题：求下列Resf(z),的值（1）f(z)= (2)f(z)=解：（1）在扩充复平面上有奇点：1， ，而1为f(z)的一级极点且Resf(z),1=e Resf(z),-1=-Resf(z), + Resf(z),1 + Resf(z),-1=0得Resf(z),=- Resf(z),1+ Resf(z),-1=()=-sh

15、1(2) 由公式Resf(z),=-Resf(),0，而f()=以z=0为可去奇点，所以Resf(z),= -Resf(),0=04.5用留数定理计算积分：4.5.1形如d的定积分计算；其中为cos。故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识-欧拉公式，令z=,dz=izd=id d=sin =()= cos则d=其中f(z)= 然后又留数定理求的积分值为2i 其中zk（k=1,2, n）为f(z)在单位圆周内的所有孤立奇点。4.5.2形如的积分计算。其中R(x)为x的有理函数，且分母的次数至少比分子的高二次，R(x)在实轴上无孤立奇点。则=2iR(z),zk,zk为上半平面的所有奇点4.5.3形如=2i 其中k为上半平面的所有奇点5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法，还有许多细节性的问题没有一一列举。复变积分的算法对比实函数积分的计算方法，有很多相似的地方，较实函数积分要复杂些。复变的积分变换多是理解性的问题，多做题目可以提高思维的多样性，但容易造成思维定势。理解才是主要解题之道！-第 14 页