《计算方法》插值方法.ppt
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1、计 算 方 法,华中科技大学数学与统计学院,第四章 插值方法,计算方法课程组,4 插值方法,4.1多项式插值问题的一般提法,4.2 拉格朗日(Lagrange)插值,4.3 差商与差分及其性质,4.4 牛顿插值公式,4.5 分段插值法,4.6曲线拟合的最小二乘法,4.0 引言,插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重 要数值方法, 它是用简单函数(特别是多项式或分 段多项式)为各种离散数组建立连续模型;为各种 非有理函数提供好的逼近方法。众所周知,反映 自然规律的数量关系的函数有三种表示方法:,解析表达式,图象法,表格法,4.0 引言,许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数数据表
2、格),可是,从一个只提供离散的函数值去进行理论分析和进行设计,是极不方便的, 甚至是不可能的。因此需要设法去寻找与已知函数值相符,并且形式简单的插值函数(或近似函数)。,另外一种情况是,函数表达式完全给定,但其形式不适宜计算机使用,因为计算机只能执行算术和逻辑操作,因此涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法等,都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。,4.1 多项式插值问题的一般提法,当精确函数 y = f (x) 非常复杂或未知时,在一系列节点 x0 xn 处测得函数值 y0 = f (x0) , , yn = f (xn),
3、由此构造一个简单易算的近似函数 p(x) f(x),满足条件: p(xi) = f(xi) (i = 0, n)。 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数。,最常用的插值函数是 ? 代数多项式、三角多项式、有理分式,插值函数 p (x) 作为 f (x) 的近似,可以选自不同类型的 函数, 如 p (x) 为代数多项式、三角多项式、有理分式; 其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其 中,代数多项式类的插值函数占有重要地位:,(a) 结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数和积分也易确定,并且仍是多项式。,(b) 著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的 任何连续函数
4、 f(x) , 存在代数多项式p(x)一致逼近f(x), 并达到所要求的精度)。,因此,我们主要考虑代数多项式的插值问题。,x0 , x1, , xn 插值节点,函数 P(x) 称为函数 y=f(x) 的插值函数, 区间 a, b 称为插值区间。,例题:,已知函数 f(x) 有如下数据:,求 f(x) 的插值多项式 p(x), 并求 f(x) 在 x=0.5 处的近似值。,插值的几何意义,从几何上看,插值就是求一条曲线 使其通过给定的 个点 , 并且与已知曲线 有一定的近似度。,从几何上看,曲线 P ( x) 近似 f ( x),插值方法的研究问题,曲线 P ( x) 近似 f ( x),求
5、n 次多项式 使得:,条件:无重合节点,即,4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */,Vandermonde行列式,注意到插值节点,两两相异,而,故方程组(1)有惟一解,于是满足插值条件的多项式存在且惟一。,(唯一性),Return,n = 1,已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ,求,使得,1,1,1,0,0,1,),(,),(,y1,x1,L,y0,x0,L,=,=,可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。,4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */,线性插值基函数,1.
6、构造线性插值基函数的方法:,线性插值与其基函数示意图,显然, 是过 、 、 三点的一条抛物线。,已知 , 求 ,,n = 2,使得,显然, 是过 、 、 三点的一条抛物线。,已知 , 求 ,,n = 2,使得,抛物线插值基函数,于是,抛物线基函数,希望找到 li (x),i = 0, , n 使得 li (xj) = ij ;然后令,,则显然有 Pn(xi) = yi 。,每个 li 有 n 个根 x0 , xi , xn,, k = 0, 1 , n .,k = 0, 1 , n .,由 得:,设 函数表 则满足插值条件的多项式,(Lagrange)插值多项式,其中, .,以下的问题:如何分
7、析插值的余项?,(1) 先求插值基函数. (2) 构造插值多项式.,构造插值多项式的方法:,已知连续函数 f (x) 的函数表如下:,求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。,例题,解:利用Lagrange插值法有,取初值x=0.5,利用牛顿法求解可得 f (x) 在(-1,2)内的近似根 为0.67433。,解方程,已知连续函数f (x)的函数表如下:,求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。,例题,,且 f 满足条件 , Lagrange插值法插值余项,设节点,在a , b内存在, 考察截断误差:, Lagrange插值法的插值余项, Lagrange插值法的插值余项,
8、证明:由已知条件得到:,于是有:,其中 是与 x 有关的待定函数。,故,处均为零,,在,上有n+2个个零点,根据 Roll 定理,在 的每两个零点间至少有一个零点,故 在 内至少有 一 个零点,对 再用Roll 定理,可知 在 内至少有 n 个零点,依此类推, 在 内至少有一个零点,记为,使得:,由于 是不能确定,因此我们并不能确定误差的大小 但如能求出 ,那么用 逼近 的截断误差限是: 当 时, 当 时,当 f (x) 为任一个次数 n 的多项式时, , 可知, 即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。,注意,给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪
9、个是 l2(x) 的图像?,问题,算例1,Lagrange插值法,已知 , , 用线性插值及抛物线插值计算 的值并估计截断误差。,算例1,Lagrange插值法,已知 , , 用线性插值及抛物线插值计算 的值并估计截断误差。,线性插值时取,解:,其截断误差为: 其中, 因为 可取 于是:,用抛物线插值时,取所有节点,得到,余项讨论: 其中:,算例2,Lagrange插值法,利用 100,121 的开方计算 .,由于:,解:,利用Lagrange插值法有,于是,的精确值为 10.72380529, 因此, 近似值 10.71428 有3 位有效数字.,Return,4.3 差商与差分,Lagra
10、nge 插值虽然易算,但若要增加一个节点时, 全部基函数 li (x) 都需重新算过。,由线性代数的知识可知:任何一个n次多项式都可以表示成,共 n+1 个线性无关的多项式的线性组合。,那么,是否可以将这 n+1 个多项式作为插值基函数呢?,设插值多项式P(x)具有如下形式:,再继续下去,待定系数的形式将更复杂,为此引入 差商和差分的概念.,P(x)应满足插值条件:,有:,4.3.1 差商的概念,从零阶差商出发,归纳地定义各阶差商:,称 为函数 关于点 的一阶差商.,一般地, 关于 的 k 阶差商:,记函数 在 的值 , 称 为 关于 的零阶差商。,一般地, 关于 的 n 阶差商:,n 阶差商
11、的概念,差商的基本性质,性质1:差商可表示为函数值的线性组合,即: 性质2:差商关于所含节点是对称的,即:,可用归纳法证明,差商的基本性质,性质3: 性质4:设 在 存在 n 阶导数,且 则 ,使得:,差商的计算-差商表,已知,计算三阶差商,解:列表计算,算例,4.3.2 差分,在前面的讨论中,节点是任意分布的,但实际上经常遇 到等距节点的情况,这时插值公式可以得到简化,为此,我 们先介绍差分的概念。 设函数 在等距节点 上的值 为已知,这里 为常数,称为步长。,下面来讨论差分的定义。,差分的定义,记号 分别称为 在 处以 为步长的 向前差分、向后差分、中心差分 符号 、 、 分别称为向前差分
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