七学年数学竞赛数的整除性.pdf

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1、第第 3 讲讲 数的整除性数的整除性 知能概述知能概述： 对于整数 a 和不为零的整数 b，总存在整数 m，n 使得 a =bm+n (0nb)，对于如下两个结论： 在 a+b，ab，ab 这三个数中必有 2 的倍数： 在 a +b，ab，ab 这三个数中必有 3 的倍数，其中（ ） 。 A只有正确 B只有正确 C都正确 D，都不正确 (江苏省竞赛题) 解题思路：举例验证，或按剩余类讨论严格证明。 例 3已知 7 位数12876xy是 72 的倍数，求出所有符合条件的 7 位数 (江苏省竞赛题) 解题思路：因 72=89，(8，9)= 1，故原数能被 8，9 整除，运用整数能被 8，9 整除的

2、性质求出 x，y 的值。 例 4一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最 小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N 为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”。 (湖北省武汉市竞赛题) 解题思路：设 N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为 a，b，c(a，b，c 不全相等)，将其数码重新 排列后， 连同原数共得到 6 个三位数：,abc bac acb bca cab cba， 设其中最大数为 abc， 则最小数为 cba。 从整除性揭示“拷贝数”的特征。 例 5证明：对于同样的整数 x 和 y，2x +3y 和 9x

3、+5y 能同时被 17 整除。 (匈牙利数学奥林区克试题) 解题思路：3(9x+5y) 5(2x +3y)=17x，这是证明本例的关键。 例 6请你将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数排出一个能被 11 整除且最大的九位数，并简述排数的 过程， (重庆市竞赛题) 解法 1：设要求的数为 N因为 N 是 11 的信数，所以它的奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和 的差是 11 的信数，有 0，11，22，33，44 这五种情况。 因为奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和的和就是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 是一个奇数， 我们知道两整数的和与差有相同的奇偶性，所以

4、这个差就只能为 11 或 33， 若这个差为 33，因为和为 45，故奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为 6，一个为 39，但 1 至 9 这 9 个数中最小的 4 个之和为 10，大于 6，故差不能等于 33，即差为 11。 由和为 45，差为 1，可以算出奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为 17，个为 28。 为使这个九位数最大，我们先将高位安排得尽可能大，先将前四位排成 9876，由于偶数数位的数字之 和为 17现已有 8+6=14，偶数数位其他 2 个数字之和为 3，它们只能是 2 和 1 于是这个九位数为 987652413 解法 2：将最大的九位数 987654

5、321 除以 11 余数为 5，故 9876543215=987654316 是 11 的信数 我们将 987654316 每次减去 11，直到得到一个各位数字均不相同的九位数为止。这样减去 173 个 11 后 第一次得到一个各位数字均不相同的九位数 987652413，这就是满足题目条件的最大的九位数。 例 7从 1，2，9 中任取 n 个数，其中定可以找到若干个数(至少有一个，也可以是全部)，它们的和 能被 10 整除求 n 的最小值。 (数学周报杯全国初中数学党赛题) 分析与解：当 n=4 时，数 1，3，5，8 中没有若干个数的和能被 10 整除。 当 n=5 时，设 a1，a2，a

6、3，a4，a5是 1，2，9 中的五个不同的数。 若其中任意若干个数，它们的和都不能被 10 整除。则 a1，a2，a3，a4，a5中不可能同时出现 1 和 9，2 和 8，3 和 7，4 和 6于是 a1，a2，a3，a4，a5中必定有一个数是 5 若 a1，a2，a3，a4，a5中含 1，则不含 9，于是，不含 4(4+1+5=10)故含 6； 于是，不含 3(3+6+1=10)故含 7；于是，不含 2(2+1+7=10)，故含 8。 但是 5+7 +8=20 是 10 的倍数，矛盾。 若 a1，a2，a3，a4，a5中含 9，则不含 1于是，不含 6(6+9+5=20)，故含 4； 于是

7、，不含 7(7+4+9=20)，故含 3；于是，不含 8(8+9+3=20)，故含 2； 但是 5+3+2=10 是 10 的倍数，矛盾。 综上所，n 的最小值为 5 割尾法割尾法： 当我们熟悉了常用数的整除特征后，一个自然的问题是：怎样速判一个正整数能否被 7 整除? 判断一个正整数能否被 7 整除，可采用“割尾法如对 2527 割掉末位数字 7 得到 252，再从 252 中减去 被割掉的末位数字 7 的 2 倍得到 238，这称为一次“割尾，对 238 再进行次“割尾”得到 7，显然 7 是 7 的倍 数，从而 2527 可被 7 整除。 在东西方文化中7 是具有神秘色彩的数字，一个星期

8、 7 天、七色霞光、纯水的 Ph 值、七巧板、七夕 之鹊桥相会、 哥尼斯堡七桥问题都关联着 7。 七巧板激发了意大利家具设计师丹尼尔 拉格的设计灵感， 他将七巧板用于组合书架的设计，创作出极具特色的作品。 例 8试证明，一个正整数被 7 整除的充分必要条件是对该数有限次“割尾”所得到的数能被 7 整除。 (河北省竞赛题) 解题思路：从正整数的多项式表示切入。 刻刻 意意 练练 习习 145 9kk是能被 3 整除的五位数， 则 k 的所有可能取值有 个； 这样的五位数中能被 9 整除的是 。 (“希望杯”邀请赛试题) 2用写有数字的张卡片 1、2、3、4 可以排出不同的四位数，其中能被 22

9、整除的四位数的和是 。 (江苏省竞赛题) 3不超过 100 的自然数中，将凡是 3 或 5 的倍数的数相加，其和为 。 (全国初中数学联赛题) 4知其所以然知其所以然 小学里我们判定一个自然数是否能被 3 整除，只要看这个自然数的各位数字之和是否能被 3 整除、现 在学了用字母表示数，就可以明白其中的道理啦!以三位数为例abc表示个位数字是 c，十位数字是 b，百位 数字是 a 的任意三位数，则abc=100a +10b+c=(a+b+c)+99a+9b如果 a+b+c 能被 3 整除，设 a+b+c=3N(n 为 自然数)，那么abc=3( )，所以abc能被 3 整除。 (时代学习报数学文

10、化节试题) 5若三位数abc能被 5 整除但不能被 6，7 整除，三位数cba能被 6 整除但不能被 5，7 整除：三位数cab 能被 7 整除，但不能被 5，6 整除，则abc= 。 (第 25 届“希望杯邀请赛试题) 6有 个形如37abc的五位整数，满足37abc，37bca，37cab均能被 37 整除。 (克罗地亚数学奥林匹克试题) 7若有一个两位数恰等于它的各位数字之和的 4 倍，则这个两位数称为“巧数，则不是“巧数”的两位数的 个数是( ) A82 B84 C86 D88 (“希望杯”邀请赛试题) 8在 724 的左边添一个数码 a，右边添个数码 b，组成一个五位数，如果这个五位

11、数是 12 的倍数，那么 ab 的最大值是( ) A72 B64 C36 D24 (浙江省竞赛题) 9 达妮卡开着她的新车走了整数小时， 汽车平均时速为 55 英里。 开始时里程表显示数字为abc， 其中abc (al，a +b+c7)为一个三位数、停车时里程表显示数字为cba，则 a2 +b2 +c2=( ) A26 B27 C36 D37 E41 (美国教学竞赛题) 10 2002 20022002200215 n个 能被 15 整除，则 n 的最小值等于（ ） 。 A2 B3 C4 D5 11在体育活动中，七年级(1)班的 n 个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生性别不同，

12、 则 n 的取值可能是（ ） 。 A43 B44 C45 D46 (山东省竞赛题) 12设 n 是小于 100 的正整数，且使 2n23n2 是 6 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ） A784 B850 C1536 D1634 (全国初中数学联赛试题) 13设 a，b，c 是正整数，2c|ab，3a|bc，5b|ac，求 abc 的最小值。 (爱沙思量教学类称器免试题) 14 称自然数 n 为“好数”，应在十进制下满足下列几个条件： n 是四位数； n 的第一位和第三位数字相同； n 的第二位和第四位数字相同； n 的各位数字的乘积是 n 的约数。 试求所有的好数。 (意大利数

13、学奥林匹克试题) 15如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出 的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如自然数 12321。以最高位到个位依改排 出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此 12321 是一个”和谐数”。再如 22，545，5883，43543，都是”和谐数”， （1）请你直接写出 3 个四位“和谐数”，请你猜想任意一个四位“ 和谐数”能否被 11 整除?并说明理由； （2）已知一个能被 11 整除的三位”和谐教”，设其个位上的数字为 x（1x4，x 为

14、自然数)，十位上的 数字为 y，求 y 与 x 的关系式。 (重庆市中考题) 16x，y，z 均为整数，若 11|(7x+2y5z)，求证：11|(3x7y+12z)。 （北京市竞赛题） 17n 是不为 0 的任自然数，m 是 n1，n，n+1，nn+1 这四个自然数的乘积，那么， （1）m 是不是 6 的倍数? （2）m 是不是 5 的倍数? （世界数学团体锦标赛试题） 18从 1，2，2010 这 2010 个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和 都能被 33 整除? (数学周报杯全国初中数学竞赛题) 19在 1，2，2012 中取一组数，使得任意两个数之和不能被其差整除。试问：最多能取多少个这样 的数? (北京大学自主招生试题) 16因 4(3x7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z)，而 11|11(3x2y+3z)，且 11|(7x+2y5z)， 故 11|(3x7y+12z)，而(4，11)=1，所以 11|(3x7y+12z)。