定积分在经济学中的应用(10页).doc

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1、-定积分在经济学中的应用-第 10 页 定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。关键词 ：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。

2、微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。设经济应

3、用函数u( x ) 的边际函数为 ,则有例1 􀀁 生产某产品的边际成本函数为, 固定成本C (0) =10000, 求出生产x个产品的总成本函数。解􀀁 总成本函数2 􀀁 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。例2 已知某产品总产量的变化率为 ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。解 所求的总产量为(件)3 􀀁利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品

4、能完全销售,问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。解􀀁 总成本函数为总收益函数为R( x ) = 500x总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = = 400- 2x令= 0, 得x= 200因为 ( 200) 0所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400 200-1000=39000( 元) 。例4 􀀁 某企业生产x 吨产品时的边际成本为( 元/ 吨) 。且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低?解：􀀁 首先求出成本函数, 得平均成本函数为 求一阶导数令, 解

5、得( = - 300 舍去) 。因此, ( x) 仅有一个驻点= 300, 再由实际问题本身可知( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最低。例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别为 （百万元/年）试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？ 解： 有极值存在的必要条件 ，即可解得 t=8故=8时是最佳终止时间，此时的利润为 因此最大利润为18.4百万元4􀀁 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P的

6、单调递减函数。同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=与P= , 此时函数P=也称为需求函数, 而P=也称为供给函数。需求曲线(函数) P=与供给曲线(函数) P=的交点A( P* , Q* )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余

7、。假设消费者以较高价格P= 购买某商品并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在 Q, Q+内消费者消费量近似为, 故消费者的总消费量为,它是需求曲线P=在与Q*之间的曲边梯形OQ*的面积, 如图如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为它是曲边三角形的面积。如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价出售该商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额, 是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额, 故生产者剩余为它是曲边三角形的面积。例6 设某

8、产品的需求函数是P=。如果价格固定在每件10元, 试计算消费者剩余。解􀀁 已知需求函数P=,首先求出对应于P* = 10 的Q*值, 令 = 10, 得Q* = 10000。于是消费者剩余为 =(30Q-=66666.67(元)。例7􀀁 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +0. 01, 如果产品的单价为425元, 计算生产者剩余。解􀀁 首先求出对应于= 425 的的值, 令425= 250+ 3Q + 0. 01, 得一正解Q*=50,于是生产者剩于为 =4583.339(元)。5 􀀁利用定积分决定广告策略问题例8

9、 􀀁某出口公司每月销售额是1 000000美元, 平均利润是销售额的10%. 根据公司以往的经验, 广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线( t 以月为单位) , 公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为美元的广告活动. 按惯例, 对于超过美元的广告活动, 如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%, 则决定做广告。试问该公司按惯例是否应该做此广告?解 由公式知, 12 个月后总销售额是当t= 12时的定积分即总销售额= =( 美元) 公司的利润是销售额的10% , 所以新增销售额产生的利润是(美元)156000 美元利润是由花费130000 美元的广告费而取得的

10、, 因此, 广告所产生的实际利润是156000- 130000= 26000( 美元)这表明赢利大于广告成本的10%, 故公司应该做此广告。6 􀀁 利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值y=。例9 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求:( 1) 该投资的纯收入贴现值;( 2) 收回该笔投资的时间为多少?解􀀁 ( 1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为Y=

11、 从而投资所获得的纯收入的贴现值为􀀁 􀀁( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。由得T =即收回投资的时间为T=例如, 若对某企业投资A = 800( 万元) , 年利率为5% , 设在20 年中的均匀收入率为a= 200( 万元/ 年),则有投资回收期为 ( 年)由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元, 投资回收期约为4.46年.例10 􀀁有一个大型投资项目, 投资成本为A= 10000( 万元) , 投资年利率为5% , 每年的均匀收入率为a= 2000( 万元) , 求该投资为无限期时的纯收

12、入的贴现值(或称为投资的资本价值) .解􀀁 由已知条件收入率为a= 2000( 万元) ,年利率r= 5%, 故无限期的投资的总收入的贴现 =40000（万元）从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R= y-A= 40000-10000= 30000( 万元) = 3亿元.例11 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费, 目前银行的存款的年利率为5% , 以连续复利计算, 若他们打算10年后攒够5万元, 计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?解􀀁 设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元(即存款流为f( t) = A ), 使得10年后存款总额的将来值达到5万元,

13、由公式得又得(元)。即这对夫妇每年应等额地存入4517元, 10年后才能为孩子攒够5万元的学费。总结定积分在数学中占主导地位。同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。参考文献1 误传生，经济数学微积分，高等教育出版社，20032 侯风波，经济数学基础，高等教育出版社，20043 华东师范大学数学系，高等教育出版社, 19904 王向东，上海科技文献出版社，19895 陈锡璞，机械工业出版社，北

14、京，1994.106 . . 菲赫金哥尔茨, 微积分学教程, 高等教育出版社,20067 白银凤 罗蕴玲,微积分及其应用, 高等教育出版社The application of definite integral in the economicsAbstract: Definite integral is an essential of calculus,and it is also an importantmeans to solve many practical problems Definite integral is applied in economics widely, and is

15、 abundant in content .In this paper, the application of definite integral in such cases as aggregate productions function, investment strategy, consumers surplus and producers surplus, is illustrated with specific examples.Key Words: definite integra;the orginal function; margrnal functions;minimum and maximum; aggregate production funcion, invest ment; surplus.