三次数学危机与悖论欣赏.ppt

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1、悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和中国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。 悖论的定义有很多说法，影响较大的有以下几种，如“悖论是指这样一个命题A,由A出发可以找到一语句B，然后，若假定B真，就可推出B真,亦即可推出B假。若假定B真，即B假，又可推导出B真”。又如“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题，这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它又是真的。”再如“如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那

2、么，我们就说这个理论包含了一个悖论。”,上述各种悖论定义，都有其合理的一面，但又都不十分令人满意。从潜科学的观点来看，悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服，这是悖论的广义定义。 悖论有其存在的客观性和必然性，它是科学理论演进中的必然产物，在科学发展史上经常出现，普遍存在于各门科学之中。不仅在语义学、形式逻辑和数理逻辑等领域出现悖论，而且在物理学、天文学、系统论和哲学等领域也经常出现悖论。,历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机

3、。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。,一、第一次数学危机,第一次数学危机是由 不能写成两 个整数之比引发的，我们在第一章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。,这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 不能表为整数比。 其实质是： 是无理数，全体整数之比 构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需 要添加无理数。,当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了 是无理数的实质，而是用几何的方法去处理不可公度比。

4、这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何原本中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。,二、第二次数学危机,第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。,1危机的引发 1）牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时

5、刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。,例如，设自由落体在时间 下落的距离为 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我们要求物体在 的瞬时速度，先求 。 （*）,当 变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是 ，这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。 牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。,2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？,如果是0，上式左端当 成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端

6、的 就不能任意去掉。,在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？,因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬。,（*）,贝克莱的质问是击中要害的,数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。 直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。 直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。,3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它

7、，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”,2危机的实质 第一次数学危机的实质是 “ 不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。,3危机的解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。,而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时

8、候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。,因此，进入19世纪时，一方面微积 分取得的成就超出人们的预料，另一方 面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻 辑基础，因此不能保证数学结论是正确无 误的。 历史要求为微积分学说奠基。,2）严格的极限理论的建立 到19世纪，一批杰出数学家辛勤、 天才的工作，终于逐步建立了严格的极限 理论，并把它作为微积分的基础。 应该指出，严格的极限理论的建立是 逐步的、漫长的。, 在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。 达朗贝尔在1754年指出，

9、必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论一书中包含许多真知灼见。, 而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在18211823年间出版的分析教程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。,3）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化

10、。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。,一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数”。 “连续函数”在直观上是“函数曲线没有间断，连在一起”，而“函数在一点可导”直观上是“函数曲线在该点有切线”。所以，在直观上“连续”与“可导”有密切的联系。 这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有“点点连续而点点不可导的函数”。,另一件事是德国数学家黎曼（B.Rieman

11、n，18261866）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。 黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。, “贝克莱悖论”的消除 回到牛顿的（*）式上： （*） 这是在 （即 ）条件下，得到的等式；它表明 时间内物体的平均速度为 。（*）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当 趋于0时的极限，即 物体在 时刻的瞬时速度= 。,总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，

12、建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是： 实数理论极限理论微积分。 而“历史顺序”则正好相反。,知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的.,三、第三次数学危机,1“数学基础”的曙光集合论 到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。,其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分

13、以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是“以整数、分数等组成的集合”；微积分的对象可说成是“以函数等组成的集合”；几何的对象可说成是“以点、线、面等组成的集合”。这样一来，都是以集合为对象了。集合成了更基本的概念。,于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在 我们可以说，完全的严格性已经达到了！”,3 罗素的“集合论悖论”引发危机 1） 悖论引起震憾和危机 正当弗雷格即将出版他的算术基 础一

14、书的时候，罗素的集合论悖论出来 了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学 已经建立起来！”之后刚刚两年，即1902 年。,集合论中居然有逻辑上的矛盾！ 倾刻之间，算术的基础动摇了，整个 数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带 来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴 高采烈的数学家发出哀叹：我们的数学就 是建立在这样的基础上的吗？ 罗素悖论引发的危机，就称为第三次 数学危机。,罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷 格。弗雷格在他的算术基础一书的末 尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的 最不愉快的事莫过于，当他的工作完成 时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗 素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境 地。”,2）

15、罗素悖论 在叙述罗素悖论之前,我们先注意到 下边的事实：一个集合或者是它本身的成 员(元素),或者不是它本身的成员(元素)， 两者必居其一。罗素把前者称为“异常集 合”，把后者称为“正常集合”。,罗素悖论是：以 表示“是其本身成员的 所有集合的集合”（所有异常集合的集合）， 而以 表示“不是它本身成员的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者属于 ，或者属于 ，两者必居其一，且 只居其一。然后问：集合 是否是它本身的 成员？（集合 是否是异常集合？）,罗素悖论的通俗化“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？ 如

16、果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。,4 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。,这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。

17、 罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。 例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。,为了消除悖论，数学家们要将康托 “朴素的集合论”加以公理化；并且规定构 造集合的原则，例如，不允许出现“所有 集合的集合”、“一切属于自身的集合”这 样的集合。,1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的

18、ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。,但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。 这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。,四、 三次数学危机与“无穷”的联系,我们过去就说过，无穷与有穷有本质 的区别。 现在我们可以总结说，三次数学危机 都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有 关。,第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。 由于当时尚未

19、真正认识无穷，所以那时对第一次数学危机的解决并不彻底；第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。,第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。 由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。,第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。 以上事实

20、告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。,五、著名悖论欣赏,1.无穷级数的力量 令x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 则有：2x = 2 + 4 + 8 + 16 + 于是：2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + ) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ) = -1也就是说：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + = -1,2.复数才是王道 考虑方程x2 + x + 1 = 0移项有x2 = - x - 1等式两边同时除以 x ，有x = - 1 - 1/x把上式

21、代入原式中，有x2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0即x2 - 1/x = 0即x3 = 1也就是说 x = 1。把 x = 1 代回原式，得到 12 + 1 + 1 = 0 。也就是说， 3 = 0 ，嘿嘿！,其实， x = 1 并不是方程 x2 + x + 1 = 0 的解。在实数范围内，方程 x2 + x + 1 = 0 是没有解的，但在复数范围内有两个解。另一方面， x = 1 只是 x3 = 1 的其中一个解。 x3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x3 = 1

22、的两个复数解正好就是 x2 + x + 1 的两个解。因此， x2 + x + 1 = 0 与 x3 = 1 同时成立并无矛盾。注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。,3.颇具喜剧色彩的错误1 + 2 + 3 + + n = n(n+1) / 2让我们用 n - 1 去替换 n ，可得1 + 2 + 3 + + (n-1) = (n-1)n / 2等式两边同时加 1 ，得：1 + 2 + 3 + + n = (n-1)n / 2 + 1也就是n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1展开后有n2 / 2 + n / 2 =

23、n2 / 2 - n / 2 + 1可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解。也就是说 1 + 2 + 3 + + n = n(n+1) / 2 仅在 n = 1 时才成立！,这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是1 + 2 + 3 + + (n-2) + (n-1) + 1,1 块钱等于 1 分钱？ 我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：1 元 = 100 分 = (10 分)2 = (0.1 元)2 = 0.01 元 = 1 分,用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。事实上，

24、 “100 分 = (10 分)2” 是不成立的， “10 分” 的平方应该是 “100 平方分” ，正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一样。,5.一个可怕的逻辑错误下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 杂志上：假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到AB2 = AC2 + BC2BC2 = CD2 + BD2AC2 = AD2 + CD2把后两式代入第一个式子，有,AB2 = AD2 + 2CD2 + BD2但 CD2 = ADBD ，因此AB2 = AD2 + 2ADBD + BD2即AB2

25、= (AD + BD)2即AB = AD + BD而这显然成立。因此，我们的假设也是成立的。,这个证明是错误的。假设结论正确，推出一个矛盾，确实能说明这个假设是错误的（这就是反证法）；但假设结论正确，推出它与条件吻合，这却并不能说明假设真的就是正确的。错误的假设也有可能推出正确的结果来。最经典的例子就是，不妨假设 1 = 2 ，由等式的对称性可知 2 = 1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 。但 3 = 3 是对的并不能表明 1 = 2 是对的。,6. 谷堆悖论 显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；

26、 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； 如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。这就是令整个古希腊震惊一时的谷堆悖论。,从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。,7. 蠕虫悖论 有一天，我们看到一条蠕虫，它在正在一根橡皮绳的一端。橡皮绳长一公里（好长啊）。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行。在1

27、秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为2公里（虫：欺负我啊！）。再过一秒钟后，它又拉长为3公里，如此下去。蠕虫最后究竟会不会达到终点呢？,1公里有100,000厘米，所以在第一秒末，蠕虫爬行了橡皮绳长度的1/100000。在第二秒钟内，蠕虫又在长度为2公里的橡皮绳上爬了它的1/200000，在第三秒内，它又爬了3公里长的皮筋的1/300000，如此继续，蠕虫的进程表示为整条橡皮绳的分数就是：1/100000*(1+1/2+1/3+1/4+.) 就是传说中的调和级数，事实上，它不收敛，它的部分和我们要它有多大，就可以有多大。只要这个和超过100,000，上面的表达式就超过1。这就是说，蠕虫已经到达终点。,8.秃头悖论,9.抛球悖论,从数学角度来说，不可能断定小球在何处，因为它极限不存在。但作为一个物理问题，当t1分钟时，小球必定停留在某个地方。但从狭义相对论知，任何物体的速度都小于光速，但在此问题中，抛球速度越来越快，趋于无穷大，是违反物理定律的，在实际中不可能。所以它不是一个实际的物理问题，只能看作一个抽象的数学问题。,