高中数学必修2第二章知识点总结(29页).doc
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1、-高中数学必修2第二章知识点总结-第 29 页高中数学必修2知识点总结 立体几何初步特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)柱体、锥体、台体的体积公式(4)球体的表面积和体积公式:V= ; S=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义:平面是无限延展的2 三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.符号表示为LAALBL = L AB公理1作用:判断直线是否在平面内.CBA(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。符号表示为:A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面,使A、B、C。
2、公理2作用:确定一个平面的依据。PL(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P =L,且PL公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系:共面直线 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c是三条直线=acabcb强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3、3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4 注意点: a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上; 两条异面直线所成的角(0, ); 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作ab; 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内 有无数个公共点(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点(3)直线在平
4、面平行 没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。符号表示:a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。符号表示:a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平
5、面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。符号表示:a a ab= b作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。符号表示:= a ab = b作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义:如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面互相垂直,记作L,直线L叫做平面的垂线,平面叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂
6、直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、 二面角的记法:二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条
7、直线平行。2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章 直线与方程(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.当时,; 当时,; 当时,不存在。过两点的直线的斜率公式: ( P1(x1
8、,y1),P2(x2,y2),x1x2)注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。(3)直线方程点斜式:直线斜率k,且过点注意:当直线的斜率为0时,k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式:()直线两点,截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截
9、距分别为。一般式:(A,B不全为0)注意:各式的适用范围 特殊的方程如:平行于x轴的直线:(b为常数); 平行于y轴的直线:(a为常数); (6)两直线平行与垂直当,时,注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ; 方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,则 (9)点到直线距离公式:一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为:,:,则与的距离为第四章 圆与方程1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。2、
10、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;点与圆的位置关系:当,点在圆外 当=,点在圆上当,点在圆内(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为 ,则有;(2)过圆外一点的切线:k不存在,验证是否成立k存在,设点斜
11、式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;
12、当时,为同心圆。注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 第一章 空间几何体题 一、选择题1有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个( ) 主视图 左视图 俯视图 (第1题)A棱台B棱锥C棱柱D正八面体2如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45,腰和上底均为的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A2BCD3棱长都是的三棱锥的表面积为( )AB2C3D44长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )A25B50C125D都不对5正方体的棱
13、长和外接球的半径之比为()A1B2C2D36在ABC中,AB2,BC1.5,ABC120,若使ABC绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )ABCD7若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( )A130B140C150D1608如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,EFAB,EF,且EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为( )(第8题)AB5 C6D9下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误的是( )A用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B几何体的直观图的长、宽、高与其几
14、何体的长、宽、高的比例相同C水平放置的矩形的直观图是平行四边形D水平放置的圆的直观图是椭圆10如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( )(第10题)二、填空题11一个棱柱至少有_个面,面数最少的一个棱锥有_个顶点,顶点最少的一个棱台有_条侧棱12若三个球的表面积之比是123,则它们的体积之比是_13正方体ABCDA1B1C1D1 中,O是上底面ABCD的中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥OAB1D1的体积为_14如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_(第14题)15已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、,则这
15、个长方体的对角线长是_,它的体积为_16一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_厘米三、解答题17有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,求它的深度18 *已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比提示:过正方体的对角面作截面19如图,在四边形ABCD中,DAB90,ADC135,AB5,CD2,AD2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积(第19题)20养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m
16、,高4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?第二章 点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题1设 a,b为两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,且la,m,有如下的两个命题:若 ab,则lm;若lm,则 ab那么( )A是真命题,是假命题 B是假命题,是真命题 C都是真命题D都是假命题2如图,ABCDA1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( )(第2题)ABD平
17、面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1角为603关于直线m,n与平面 a,b,有下列四个命题:ma,nb 且 ab,则mn;ma,nb 且 ab,则mn;ma,nb 且 ab,则mn;ma,nb 且 ab,则mn其中真命题的序号是( ) AB CD4给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1B2C3D45下列命题中正确的个数是( )若直线l上有无数个点不在平面 a 内,
18、则la 若直线l与平面 a 平行,则l与平面 a 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行若直线l与平面 a 平行,则l与平面 a 内的任意一条直线都没有公共点 A0个B1个C2个D3个 6 两直线l1与l2异面,过l1作平面与l2平行,这样的平面( )A不存在B有唯一的一个C有无数个D只有两个7把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A90B60C45D30 8下列说法中不正确的是( )A空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两
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