三角形全等的证明.ppt

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1、三角形全等的判定,一、边角边 （SAS）,二、角边角 (ASA),三、角角边 (AAS),四、边边边 (SSS),五、综合练习,制作人：王一豹,2. 叫做全等三角形。,1.能够重合的两个图形叫做 。,全等形,4.全等三角形的 和 相等,对应边,对应角,对应顶点,复习提问,能够重合的两个三角形,3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”,对应边,对应角,5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上,全等于,全等三角形的判定（一）,SAS（边角边定理),画ABC,使AB=3cm，AC=4cm。,画法：,2. 在射线AM上截取AB= 3cm,3. 在射线AN上截取AC=4cm,这样画出来的三角形

2、与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？,若再加一个条件，使A=45，画出ABC,1. 画MAN= 45,4.连接BC,则ABC就是所求的三角形,把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？,画一画,再任意画一个ABC和DEF，使AB=DE , AC=DF , A=D , 把画好的ABC和DEF比较，它们全等吗？,D,E,F,ABCDEF,由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,AB=DE A=D AC=DF,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”,图 1,已知：

3、如图1，AC=AD，CAB=DAB 求证：ACBADB,AC=AD（已知）,CAB=DAB（已知） AB=AB（公共边） ACBADB（SAS）,例1,证明：在ACB和ADB中,例 题 讲 解,图2,已知：如图2，ADBC，AD=CB 求证：ADCCBA,分析：观察图形，结合已知条件，知，,AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对应边的夹角（1，2）相等。,所以，应设法先证明1=2，才能使全等条件充足。,AD=CB（已知） 1=2（已知） AC=CA （公共边） ADCCBA（SAS）,例2,证明：ADBC 1=2（两直线平行，内错角相等） 在DAC和BCA中,D,C,1,A,B,2,B,动

4、态 演 示,图3,已知：如图3 ，ADBC，AD=CB，AE=CF 求证：AFDCEB,证明：ADBC（已知） A=C（两直线平行，内错角相等） 又 AE=CF AE+EF=CF+EF（等式性质） 即AF=CE 在AFD 和CEB 中,AD=CB（已知） A=C（已证） AF=CE（已证） AFDCEB（SAS）,若求证D=B ，如何证明？,分析：本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE,变式训练1,问：,动 态 演 示,练习：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直线上，AC=DB，AE=DF，EAA

5、D，BCAC，垂足分别为A、D,图4,求证：（1）EABFDC、（2）DF= AE,解 题 小 结：,解题思路,1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；,2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；,图5,变式训练2 已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2 求证：ABDACE,证明：1=2（已知） 1+BAE = 2+BAE（等式性质） 即 CAE= BAD,在CAE和BAD 中,AC=AB（已知） CAE=BAD（已证） AE=AD ABDACE（SAS）,分析：两组对应夹边已知，缺少 对应夹角相等的条件。 由BAE 是两个三角形的 公共部分，可得：CAE=

6、BAD。,变式训练2：拓 展,（1）求证：E=D （2）若ACE绕点A逆时针旋转，使1=900时，直线EC， BD的位置关系如何？给出证明。,当EAD 为平角时呢？,图5,已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2,1,2,解 题 小 结：,解题思路,1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；,2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；,3、由“边”等，再根据等式性质得到其它线段相等；由“角”等，再证明两直线平行、两直线垂直或延伸的外角和等变换。,1在证明三角形全等时，要善于观察图形，运用已学知识挖出隐含条件。,总结概括，知识拓宽,2明确全等三角形“边角边”公理的

7、运用方法。,全等三角形的判定（二）,ASA（角边角定理）,创设情景,实例引入,一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？,怎么办？可以帮帮我吗？,C,B,E,A,D,先任意画出一个ABC， 再画一个A/B/C/，使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B 。把画好 的A/B/C/剪下，放到ABC上， 它们全等吗？,探究1:,已知：任意 ABC，画一个 A/B/C/， 使A/B/AB， A/ =A， B/ =B ：,画法：,2、在 A/B/的同旁画DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于点C/。,1

8、、画A/B/AB；,A/B/C/就是所要画的三角形。,问：通过实验可以发现什么事实？,引入新课：,作图：已知：ABC，(让同学们自己画）再画一个三角形A/B/C/,使B/C/=BC, B/= B, C/= C.,1、画线段A/B/=AB 2、在A/B/的同旁，分别以A/、B/为顶点画 D A/B/=A, E B/A/=B , A/D 、B/E交于点C/,得 A/B/C/,现在同学们把我们所画的两个三角形重合在一起，你发现了什么？,完全重合,角边角公理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“ASA”),讲解新课：,例1、已知：如图，DAB=CAB，C=D 求证：AC=AD,证明：

9、, DAB=CAB，C=D,ABD=ACD (三角形内角和定理）,在ACB和ADB中,DAB=CAB AB=AB （共用边） ABD=ACD, ACBADB （ASA),AC=AD,讲解新课:,例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于O点，AB=AC，B=C. 求证：BD=CE,证明：在ABE和ACD中,A= A AB=AC B=C, ABEACD （ASA),AD=AE,AB=AC,BD=CE,讲解新课,如图，要证明ACE BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。,AC=BD,A=B,C=D,AC=BD,A=B,AEC=BFD,课堂练习,1、如右图：已知

10、，ABE=CBD, BCE=DBA,EC=AD 求证：AB=BE,BC=DB 2、如右图：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC，EO=OF 求证：AEBDFC,变式练习：,全等三角形的判定（三）,AAS（角角边定理）,定理的引入:,如图在ABC和DEF中，A=D， B=E ，BC=EF，ABC与DEF全等吗？,证明：A+B+C=180 D+E+F=180 又A=D B=E C=F,C=F BC=EF B=E,ABCDEF (ASA),如图所示， ABCDEF,那么 角角边定理得证。,三角形的判定定理三,在两个三角形中，如果有二个角和任意一条边相等，那么这两个三角形全等。,A

11、=D B=E BC=EF,ABCDEF (AAS),例题讲解：,例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于 点O，AD=AE，B=C。 求证：BD=CE,巩固练习,如图，1=2，D=C 求证：AC=AD,证明：在_和_中 _ （ ） _ （ ） _ （公共边） _ _（ ） _（全等三角形对应边相等）,ABD,ABC,1=2,D=C,AB=AB,ABD,ABC,AC=AD,已知,已知,AAS,全等三角形的判定（四）,SSS（边边边定理）,定理的引入:,A,B,C,D,已知：AC=DE AB=DF BC=FE 求证：ABC DFE,E,思考,F,定理的引入:,A,B,C,D,已知：

12、AC=DC AB=DB 求证：ABC DBC,证明：连接AD， AC=DC CAD= CDA 同理， BAD= BDA BAC= BDC AC=DC A= D AB=DB ABC DBC（SAS）,A,C,D,B,如图所示， ABCDBC ，那么边边边定理得证。,在两个三角形中，如果有三条边相等，那么这两个三角形全等。,三角形的判定定理四,AC=DC AB=DB BC=BC,ABC DBC（SSS）,例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。 说出下列判断成立的理由： （1）ABCCDA （2）B=D,A,B,C,D,解（1）在ABC和CDA中 AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA

13、（公共边） ABCCDA（SSS） （2） ABCCDA B=D（全等三角形的对应角相等）,练习1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF。求证：AD。,证明：BECF（已知）,即 BCEF,在ABC和DEF中,ABDE（已知）,ACBF（已知）,BCEF（已证）,ABCDEF（SSS）,AD(全等三角形对应角相等）,小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。, BE+EC=CF+EC,例2，如图，已知ABCD，ADCB，求证：BD,证明：连结AC,ABCD（已知）,ACAC（公共边）,BCAD（已知）, ABC CDA（SSS）, BD（全等三角形对应角相等）,在

14、ABC和 ADC中,问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？,在原有条件下，还能推出什么结论？,答：ABCADC，ABCD，ADBC,小结：四边形问题转化为三角形问题解决。,一定 （SAS）,不一定,一定 (ASA),一定 (AAS),不一定,一定 (SSS),归纳：二个三角形全等的判定方法,五、综合练习题 全等三角形的应用,：利用全等三角形证明线段（或角）相等,例1：如图，直线AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且分别交AB、 CD于E、F,求证：OE=OF,在AOB和COD中 OB=OD AOB=COD OA=OC AOBCOD （SAS） B=D （全等三角形的对应角

15、相等） 在BOE和DOF中 B=D OB=OD BOE=COF BOEDOF （ASA） OE=OF （全等三角形的对应边相等）,证明,AB=DC,AC=DB,BC=CB,证明：,在ABC和DCB中,如图：AB=DC，AC=DB 求证：ABO=DCO, ABCDCB,（SSS）, A=D (全等三角形的对应角相等),在AOB和DOC中,A=D AOB=DOC AB=CD, AOBDOC,（AAS）, ABO=DCO （全等三角形的对应角相等）,巩固练习： 如图：ACBC ADBD ，AD=BC CEAB DFAB，垂足分别为E、F，求证：CE=DF,分析：,由已知可推出ABCBAD,要证CE=

16、DF，需证ACEADF，所缺条件可由ABCBAD推出,二：利用全等三角形证明线的垂直关系,证明：,例：如图：BF是RtABC的角平分线，ACB=90，CD是高，BF与CD交于点E，EGAC交AB于G 求证：FGAB,BF平分ABC,12,CDAB 3+ABC=90 又ACB90 A+ABC=90 3A,又EGAC A4 34,在BEG与BEC中 12 34 BEBE BEGBEC,（AAS）,BG=BC （全等三角形的对应边相等）,在BFG与BFC中,BG=BC 12 BF=BF,BFGBFC （SAS）,FGB=FCB=90 FGAB,巩固练习： 如图：ABC中，AD平分BAC，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，AD、EF交于点H 求证：ADEF,三、利用全等三角形证明线段的和差问题,例：在RtABC中，AB=AC，BAC=90，过点A的任意直线AN，BDAN于D，CEAN于E 求证：DE=BDCE,证明：,BAC=90 1290,BDAN 2390 13,又CEAN ADBAEC90,在ADB和ACE中,13 ADBACE ABAC,ADBACE,（AAS）,ADCE BDAE （全等三角形的对应边相等）,DEAEAD DEBDCE,祝同学们学习进步！,同学们再见,