应用随机过程 期末复习资料(29页).doc
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1、-应用随机过程 期末复习资料-第 29 页第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1:医院登记新生儿性别,0表示男,1表示女,Xn表示第n次登记的数字,得到一个序列X1 , X2 , ,记为Xn,n=1,2, ,则Xn 是随机变量,而Xn,n=1,2, 是随机过程。例2:在地震预报中,若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令Xn 表示第n次统计所得的值,则Xn 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度,我们就要研究随机过程Xn,n=1,2, 的统计规律性。例3:一个醉汉在路上行走,以概率p前进一步,以概率1-p后退一步(假设步长相同)。以X(t)记他t时刻在路上的位置,则X(t)
2、, t0就是(直线上的)随机游动。例4:乘客到火车站买票,当所有售票窗口都在忙碌时,来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的,所以如果用X(t)表示t时刻的队长,用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需等待的时间,则X(t), tT和Y(t), tT都是随机过程。定义:设给定参数集合T,若对每个tT, X(t)是概率空间上的随机变量,则称X(t), tT为随机过程,其中T为指标集或参数集。,E称为状态空间,即X(t)的所有可能状态构成的集合。例1:E为0,1例2:E为0, 10例3:E为例4:E都为注:(1)根据状态空间E的不同,过程可分为连续状态和离散状态,例1,例3为
3、离散状态,其他为连续状态。(2)参数集T通常代表时间,当T取R, R+, a,b时,称X(t), tT为连续参数的随机过程;当T取Z, Z+时,称X(t), tT为离散参数的随机过程。(3)例1为离散状态离散参数的随机过程,例2为连续状态离散参数的随机过程,例3为离散状态连续参数的随机过程,例4为连续状态连续参数的随机过程。二、有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的一维分布:随机过程的二维分布:随机过程的n维分布:1、有限维分布族:随机过程的所有一维分布,二维分布,n维分布等的全体称为X(t), tT的有限维分布族。2、有限维分布族的性质:(1)对称性:对(1,2,n)的任一排列,有(
4、2)相容性:对于mn,有3、Kolmogorov定理定理:设分布函数族满足上述的对称性和相容性,则必存在一个随机过程X(t), tT,使恰好是X(t), tT的有限维分布族。定义:设X(t), tT是一随机过程:(1) 称X(t)的期望(如果存在)为过程的均值函数。(2) 如果,存在,则称随机过程X(t), tT为二阶矩过程。此时,称函数,为过程的协方差函数;称为过程的方差函数;称为自相关函数。例:,其中和V是相互独立的且均服从N(0,1)分布的随机变量,求和。三、随机过程的基本类型独立增量过程:如果对任意随机变量 是相互独立的,则称X(t), tT是独立增量过程。平稳增量过程:如果对任意,有
5、X(t1+h)-X(t1) X(t2+h)-X(t2),则称X(t), tT是平稳增量过程。平稳独立增量过程:兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程,例如Poisson过程和Brownian motionPoisson 过程2.1 Poisson 过程1. 计数过程定义:随机过程称为计数过程,如果表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数,它具备以下两个特点:(1)且取值为整数;(2)时,且表示时间内事件A发生的次数。2. Poisson过程定义2.1.1:计数过程称为参数为()的Poisson过程,如果(1)(2)过程具有独立增量性;(3)在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从
6、均值为的Poisson分布,即对一切,有 注:Poisson过程具有平稳增量性因为的分布只依赖于t, 与区间起点s无关, 于是可认为是单位时间内发生的事件的平均次数,一般称是Poisson过程的强度。例2.1.1:(Poisson过程在排队论中的应用)研究随机服务系统中的排队现象时,经常用到Poisson过程模型。例如:到达电话总机的呼叫数目,到达某服务设施(商场、车站、购票处等)的顾客数,都可以用Poisson过程来描述。以某火车站售票处为例,设从早上8:00开始,此售票处连续售票,乘客以10人/小时的平均速率到达,则9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少?10:0
7、0-11:00没有人来买票的概率是多少?解:我们用一个Poisson过程来描述,设8:00为时刻0,则9:00为时刻1,参数,于是, 例2.1.2:(事故发生次数及保险公司接到的索赔数)若以表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在时间内发生不幸事故的数目,则Poisson过程就是的一种很好近似。例如,保险公司接到赔偿请求的次数(设一次事故导致一次索赔),向315台的投诉(设商品出现质量问题为事故)等都是可以用Poisson过程的模型。我们考虑一种最简单的情形,设保险公司每次的赔付都是1,每月平均接到索赔要求4次,则一年中它要付出的金额平均为多少?解:设一年开始时刻为0,1月末为时刻1,年末为时刻1
8、2,则有=48问题:为什么实际中有这么多现象可以用Poisson过程来反映呢?定理2.1.1:定义1和定义2是等价的。例2.1.3:事件A的发生形成强度为的Poisson过程,如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来,并以M(t)表示到时刻t被记录下来的事件总数,则是一个强度为的Poisson过程。例2.1.4:若每条蚕的产卵数服从Poisson分布,强度为,而每个卵变为成虫的概率为p,且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系,求在时间0, t内每条蚕养活k只小蚕的概率。2.2 与Poisson过程相联系的若干分布设表示第n次事件发生的时刻,n=1,2,规定。表示第n次与第n-1次事件发生的间隔时间
9、,n=1,2,。1. 关于和的分布定理2.2.1:(n=1,2,)服从参数为的指数分布,且相互独立。定理2.2.2:(n=1,2,)服从参数为n和的分布。注:如果每次事件发生的时间间隔相互独立,且服从同一参数为的指数分布,则计数过程是参数为的Poisson过程。例2.2.1:设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务,只有一名服务员,且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离去,已有9个人接受服务的概率是多少?例2.2.2:假设某天文台观测到的流星流是一个Poisson过程,根据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。试求:上午8
10、:00-12:00期间,该天文台没有观察到流星的概率。2. 事件发生时刻的条件分布对于,有现在考虑的情况:定理2.2.1:在已知的条件下,事件发生的n个时刻的联合分布密度是, 例2.2.3:乘客按照强度为的Poisson过程来到某火车站,火车在时刻t启程,计算在内到达的乘客等待时间的总和的期望值。即要求,其中是第i个乘客来到的时刻。2.3 Poisson过程的推广1. 非齐次Poisson过程定义2.3.1:计数过程称作强度函数为的非齐次Poisson过程,如果等价定义:定义2.3.2:计数过程称作强度函数为的非齐次Poisson过程, 若(1)(2)具有独立增量性;(3)即任意实数,为具有参
11、数的Poisson分布,称为非齐次Poisson过程的均值函数(或累积强度函数)。定理2.3.1:设是一个强度函数为的非齐次Poisson过程。对任意的,令 则是一个强度为1的Poisson过程。例2.3.1:设某设备的使用期限为10年,在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需维修一次。试求它在试用期内只维修过一次的概率。2 复合Poisson过程定义2.3.3:称随机过程为复合Poisson过程,如果对于,它可以表示为:,其中是一个Poisson过程,是一族独立 同分布的随机变量,并且与独立。注:复合Poisson过程不一定是计数过程。例2.3.2:保险公司接到的索赔次数服从一
12、个Poisson过程,每次要求赔付的金额都相互独立,且有相同分布F,每次的索赔数额与它发生的时刻无关,则时间内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合Poisson过程,其中。例2.3.3:设顾客到达某服务系统的时刻,形成一强度为的Poisson过程,在每个时刻,可以同时有多名顾客到达。表示在时刻到达的顾客人数,假定相互独立,并且与也独立,则在时间内到达服务系统的顾客总人数可用一复合Poisson过程来描述。例2.3.4:假定顾客按照参数为的Poisson过程进人一个商店,又假设各顾客所花的钱数形成一族独立同分布的随机变量。以记到时间t为止顾客在此商店所花费的总值,易见是一个复合Poisson过程
13、。定理2.3.2:设,是一复合Poisson过程,Poisson过程的强度为,则(1)有独立增量;(2)若,则 ,例2.3.5:在保险中的索赔模型中,设索赔要求以Poisson过程到达保险公司,速率为平均每月两次。每次索赔服从均值为10000元的正态分布,则一年中保险公司平均的赔付额是多少?例2.3.6:设顾客以每分钟6人的平均速率进入某商场,这一过程可用用Poisson过程来描述。又该进入该商场的每位顾客买东西的概率为0.9,且每位顾客是否买东西互不影响,也与进入该商场的顾客数无关。求一天(12小时)在该商场买东西的顾客数的均值。3条件Poisson过程定义2.3.4:设随机变量,在的条件下
14、,计数过程是参数为的Poisson过程,则称为条件Poisson过程。定理2.3.3:设是条件Poisson过程,且,则(1);(2)例2.3.7:设意外事故的发生频率受某种未知因素影响有两种可能,且 ,为已知。已知到时刻t已发生了n次事故。求下一次事故在t+s之前不会到来的概率。另外,这个发生频率为的概率是多少?第三章 Markov 链3.1 基本概念定义3.1.1:随机过程称为Markov链,若它只取有限或可列个值(常用非负整数集来表示),并且对任意的,及任意状态,有=,其中表示过程在时刻n处于状态,称为该过程的状态空间,记为. 上式刻画了Markov链的特性,称为Markov性。定义3.
15、1.2:称条件概率为Markov链的一步转移概率,简称转移概率,记为,它代表处于状态的过程下一步转移到状态的概率。定义3.1.3:当Markov链的转移概率=只与状态有关,而与n无关时,称之为时齐Markov链;否则,就称之为非时齐的。注:我们只讨论时齐Markov链,简称Markov链。定义3.1.4:当Markov链的状态为有限时,称为有限链,否则称为无限连。但无论状态有限还是无限,我们都可以将()排成一个矩阵的形式,令P=()=为转移概率矩阵,简称转移矩阵。容易看出()具有性质:(1),;(2)=1,。例3.1.1:考虑一个包含三个状态的模型,若个体健康,认为他处于状态,若他患病,认为他
16、处于状态,若他死亡,认为他处于状态,易见这是一个Markov链,转移矩阵为P=例3.1.2:(赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动)系统的状态时,反映赌博者在赌博期间拥有的钱数,当他输光或拥有钱数为n时,赌博停止,否则他将持续赌博。每次以概率p赢得1,以概率q=1-p输掉1。这个系统的转移矩阵为P=例3.1.3:(带反射壁的随机游动)设上例中当赌博者输光时将获得赞助1继续赌下去,就如同一个在直线上做随机游动的球在到达左侧0点处立刻反弹回一样,这就是一个一侧带有反射壁的随机游动,此时转移矩阵为:P=例3.1.4:(自由随机游动)设一个球在全直线上做无限制的随机游动,它的状态为0,它是一个Markov
17、链,转移矩阵为:P=练习:设有一只蚂蚁在图上爬行,当两个节点相邻时,蚂蚁将爬向它邻近的一点,并且爬向任何一个邻近节点的概率是相同的,求转移矩阵。2 n步转移概率, C-K方程定义3.1.5:称条件概率,为Markov链的n步转移概率,相应地称为n步转移矩阵。规定:问题:和是什么关系?定理3.1.1:Chapman-Kolmogorov方程,简称C-K方程对一切有(1)(2)证明:例3.1.5:(赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动)系统的状态时,反映赌博者在赌博期间拥有的钱数,当他输光或拥有钱数为n时,赌博停止,否则他将持续赌博。每次以概率p赢得1,以概率q=1-p输掉1。设,赌博者从2元赌金开始
18、赌博,求他经过4次赌博之后输光的概率。例3.1.6:甲乙两人进行某种比赛,设每局甲胜的概率是p。乙胜的概率是q,和局的概率是r,。设每局比赛后,胜者记“+1”分,负者记“-1”分,和局不计分,且当两人中有一人获得2分时比赛结束。以表示比赛至第n局时甲获得的分数,则为时齐Markov链,求甲获得1分的情况下,不超过两局可结束比赛的概率。例3.1.7:质点在数轴上的点集上做随机游动,质点到达点-2后,以概率1停留在原处;到达点2后,以概率1向左移动一点;到达其他点后,分别以概率向左、右移动一点,以概率停留在原处。试求在已知该质点处于状态0的条件下,经3步转移后仍处于状态0的概率。例3.1.8:(广
19、告效益的推算)某种啤酒A的广告改变了广告方式,经调查发现买A种啤酒及另外三种啤酒B, C,D的顾客每两个月的平均转换率如下(设市场中只有这四种啤酒):假设目前购买A,B, C,D四种啤酒的顾客的分布为(25%,30%,35%,10%),试求半年后啤酒A的市场份额。3.2 状态的分类及性质定义3.2.1:若存在使得,称状态可达状态,记为。若同时有,则称与互通,记为。定理3.2.1:互通是一种等价关系,即满足:(1) 自反性:;(2) 对称性:,则(3) 传递性:,则证明:定义3.2.2:把任何两个互通状态归为一类,若Markov链只存在一个类,就称它是不可约的;否则称为可约的。例3.2.1:在例
20、3.1.1中考三个状态:健康状态,患病状态,死亡状态,可分为几个类?定义3.2.3:若集合非空,则称它的最大公约数为状态的周期。若,称是周期的。若,称是非周期的。规定,上述集合为空集时,称的周期为无穷大。注:(1)虽然有周期但并不是对所有的n,都大于0。请举出反例:(2)虽然有周期但可能,举出反例:定理3.2.2:若状态同属一类,则。证明:定义3.2.4:对于任何状态,以记从出发经n步后首次到达的概率,则有令,如果,称状态为常返状态;如果,称状态为非常返状态。问题:的含义是什么?定义3.2.4:(1)对于常返状态,定义,可以知道表示的是由出发再返回到所需的平均步数(时间)。(2)对于常返状态,
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