数列求和公式推导(4页).doc

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1、-数列求和公式推导-第 4 页数列求和公式推导数据规律分析法的简单应用江苏省灌溉总渠管理处：卢玉成【预备知识】运用数据规律分析法 需要了解“数据规律分析法”原理，请从知网下载数据规律分析法在流量系数曲线公式拟合中的应用或数据规律分析法在曲线优化拟合中的应用；其它应用示例请从知网下载利用数据规律分析法巧解数学问题。求自然序列的数列求和，需要明确一个规律和掌握两个公式。一个规律：总和函数比通项函数高一个幂次。例如通项函数为二次多项式，则总和函数必为三次多项式。两个公式：1、 任意阶差分计算公式(差分单元为连续数列值)。 。差分阶次，位置编号。这个看似复杂，记住两句话就可以熟练运用它。系数按照杨辉三

2、角，符号从头正负交替。也就是展开式系数)，见右下表。阶次差分计算系数表1+1-12+1-2+13+1-3+3-14+1-4+6-4+15+1-5+10-10+5-1差分计算举例(数据系列见下表)：数列编号n1234567数列值y182764125216343序号56的一阶差分值： 序号24的二阶差分值： 序号14的三阶差分值： 序号26的四阶差分值： 对于差分计算，由于牵涉到不同类别或不同单项，下面用到代号意义： 。2、 多项式系数计算公式。 。式中：多项式系数；对应阶次的差分值；数据间距差，数列以自然数排序，取1 。要完成全部系数计算，应用降阶法，即从高到低逐个计算。若记为k次多项式，则有：

3、，利用的阶差分计算，余类推。【应用举例】例1 求数列的求和公式。解： 通项为二次函数，总和为三次函数。只需列出前4个数据计算即可。以自然序号排列，=1 。(合成数据差分计算) 总和：1,17,66,166 ， ，转化成二次函数，取前3个数据，即： ， ，转化成一次函数，取前2个数据，即： ， ， 例2 求自然数立方和公式。解： 通项为三次函数，总和为四次函数。只需列出前5个数据计算即可。见下表(用分步差分后合成计算)总和函数的四阶差分为通项函数的三阶差分，注意：序号一定要对应。序列号n总和函数一阶差分(通项函数)1S1=122S23S34S45S5， 将填入对应列 ，将填入对应列， ， 将填入对应列， 。例3 求的求和公式。解： 通项为三次函数，显然总和为四次函数。列表如下，先计算四次方项系数，填入表格再计算三次方项系数，以此类推计算其它系数。序列号n总和函数一阶差分(通项函数)差分计算差分计算差分计算差分计算差分计算1S1=1212S2203S3814S42085S5425 ， ， 。 数列的求和公式为： 。注： 通项函数比总和函数少一阶差分，两者结果是一致的，本题系数计算中用通项函数的差分值替代总和函数的差分值；表中的差分计算是用右侧列与其对应位置向上连续的数据。如 。