不定积分概念与性质.ppt

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1、,第五章 不定积分 本章的教学基本要求是： 1、理解原函数和不定积分的定义，掌握原函数和不定积分的性质； 2、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微分法； 3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。,一、原函数与不定积分的概念,四、不定积分的性质,三、基本积分表,五、小结,第一节 不定积分的概念与性质,二、不定积分的几何意义,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,( primitive function ),定义,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,定理,关于原函数的说明：,（1）若 ，

2、则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,不定积分(indefinite integral)的定义：,定义,原函数,例1 求,解:,解:,例2 求,例3 某商品的边际成本为 , 求总成,解:,其中 为任意常数,本函数 .,二、不定积分的几何意义,显然，求不定积分得到一积分曲线族,在同一横坐标,处,任一曲线的切线有相同的斜率.,0,x,y,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,三、 基本积分表,基本积分表 ,是常数);,说明：,基本积分表 导数基本公式 0dx=c

3、C =0 （C为常数） xndx = xn+1 /(n+1)+c (xn)= n xn-1 1/xdx= ln|x|+ c (lnx) =1/x axdx= ax/lna + c (ax)= axlna exdx= ex + c (ex) = ex cosxdx=sinx + c (sinx) =cosx sinxdx=-cosx + c (cosx) =-sinx,sec2xdx= tanx+c (tanx) =sec2x csc2xdx= -cotx+c (cotx) =-csc2x secx. tanxdx= secx+c ( secx ) =secx. tanx cscx. cotxd

4、x= -cscx+c (cscx) =- cscx. cotx 1/(1-x2)1/2dx= arcsinx+c (arcsinx) =1/(1-x2)1/2 1/(1+x2) dx= arctanx+c ( arctanx) =1/(1+x2),例4 求积分,解：,证：,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,四、 不定积分的性质,例5 求积分,解：,求不定积分的方法 (1) 直接积分法 (2) 第一类换元法 (3) 第二类换元法 (4) 分部积分法,直接积分法 根据不定积分的性质和基本积分公式，对于一些比较简单的函数的不定积分可以直接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换，再辅

5、以积分的法则，就可按基本公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法。 该方法主要把被积函数变换成基本积分公式中的被积函数的形式。,例6 求积分,解：,例7 求积分,解：,例8 求积分,解：,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,化积分为代数和的积分,解:,所求曲线方程为,3.基本积分表（1）（13）,5.不定积分的性质,1.原函数的概念：,2.不定积分的概念：,4.求微分与求积分的互逆关系,五、 小结,基本积分表,是常数);,不定积分的性质,作业题: P183-184 1.(6) (15) (20) 2. 思考题: P183-184 1.(4) (13) (22) (29),练习题,练习题答案,