东北大学数值分析总深刻复习知识题.ppt

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1、总 复 习,一、绪论,1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。,2.了解数值计算中应注意的一些问题.,一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。,定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。,二、解线性方程组的直接法,1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围,2.掌握矩阵的直接三角分解法。,顺序Gauss消元法:矩阵A

2、的各阶顺序主子式都不为零.,主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.,定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .,会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。,了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。,了解平方根法和追赶法的思想。,3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数；,了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。,4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。,三、解线性方程组的迭代法

3、,1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。,（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1.,（2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1.,（3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(01)收敛.,（4）A对称正定,则GS法,SOR法(02)收敛.,2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。,四、解非线性方程的迭代法,1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a).,2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。,定理 若(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点.,推论 若1.a(

4、x)b; 2.|(x)| L1, xa,b.则xk+1=(xk),x0a,b都收敛于方程的唯一根.,3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速技巧.,4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.,(1) xkp阶收敛于是指:,推论 若(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|1, 则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛.,(2) 若()0,则迭代法线性收敛.,局部平方收敛.,五、矩阵特征值问题,1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值.,1.了解差商的概念和性质.,2. 了解乘幂法、反幂法

5、的思想及加速技巧.,3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.,六、插值与逼近,Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待定系数法。,2.会建立插值多项式并导出插值余项.,3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。,4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。,1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。,5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方误差.,2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求积公式。,七、数值积分,3. 了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造

6、。,5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。,4. 了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。,1.了解构造数值解法的基本思想及概念。,八、常微分方程数值解法,2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，会求差分公式的局部截断误差。,3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。,一、填空题（每空3分,共30分),考试题解析,解 由于,得特征值:,又A-1=,2.设矩阵A= ,当a取_值时,A可以唯一分解为GGT,其中G为下三角矩阵.,1.设矩阵A= ,则(A)=_,Cond(A)1=_.,所以A1=5,A-11=5/7.,解 令,解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x

7、3/a.,5.设(x)=x3+x2-3,则差商3,32,33,34=_.,3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向量范数_,而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数_.,是 不是,4.求 的Newton迭代格式为_.,1,6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则 =_.,(x-2)3,7.设S(x)= 是以0,1,2为节,解 (1)因为00,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当10,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.,点的三次样条函数,则b=_c

8、=_.,解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得,二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,计算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.,-2 3,(2)构造迭代格式:,由于|(x)|=| |1,故此迭代法收敛.,(3)因为0/2,所以(),取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值x2=1.40983.,0,故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).,三

9、、(14分)设线性方程组,(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).,(2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当01时收敛.,解 (1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为,(3)由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有,四、(13分)已知(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)

10、=0.5,解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得,H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x),令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(x-2),于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2 0.5x(x-1)(x-2),(1)试建立一个三次插值多项式H3(x),使满足插值条件: H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5;,(2)设y=(x)在0,2上四次连续可微,试确定插值余项R(x)=(x)-H3(x).,令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x

11、(x-1)2;,令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2),令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),=x3-2.5x2 +2.5x+2,由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可设,五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式,4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3,有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?,解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有,R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2),构造函数(t)=(t)-H3(t)-C(x

12、)t(t-1)2(t-2),于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0,64/5=A4+C4,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2,容易验证公式对(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。,六、(12分)设初值问题,(1)试证单步法,解 (1)由于,是二阶方法.,(2)以此法求解y=-10y, y(0)=1时,取步长h=0.25,所得数值解yn是否稳定?为什么?,于是有,而,所以有,当h=0.25时,有,所以此单步方法为二阶方法.,(2)此单步方法用于方程y=-10y,则有,所以,所得数值解是不稳定的.,七、(6分)设n阶矩阵A=(aij)nn,试证实数,为矩阵A的一种范数.,证明 对任意n阶方阵A,B和常数,有,所以,实数A是矩阵A的范数.,