正三棱锥的内切球与外接球(4页).doc

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1、-正三棱锥的内切球与外接球-第 4 页正三棱锥的内切球与外接球 要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念-正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体

2、中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.正棱锥的外接球球心在其高上，具体位

3、置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗？显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢？为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.