分式的运算技巧(41页).doc

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1、-分式的运算技巧-第 41 页分式概念 形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。方法：数看结果，式看形。分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。3.分式值为正(负)数条件：分

2、子分母同号得正，异号得负。4.分式值为1的条件：分子=分母0。5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。代数式分类整式和分式统称为有理式。带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式。分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。2.分式的分子和分母都是多

3、项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。（2） 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。用字母表示为：分式的加减法法则： 同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：异分母分

4、式的加减法法则： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式的除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。分式方程解法的归纳：解分式方

5、程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1) 例如，当x为 时，分式有意义错解：时原分式有意义(2) 不要随意用“或”与“且”。例如 当x_时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制当 时，分式有意义当 时，分式无意义当 时，分式值为0二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或

6、除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.(1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它理解分式的基本性质时，必须注意：分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式在分式的基本性质中，M0分子、分母必须“同时”乘以M(M0)，不要只乘分子（或分母）性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的(2)注意：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变分式的基本性质是一切分式运算的

7、基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的是（ ）A; B C D【例4】 如果把分式中的都扩大3倍,那么分式的值一定( ) A.扩大3倍 B.扩大9倍 C. 扩大6倍 D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简的结果为（ ）A B C D（2）化简的结果（）A B C D（3）化简的结果是（）A BC D3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的

8、系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行错解：原式（2）通分时不能丢掉分母例如，计算，出现了这样的解题错误：原式=分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略 （4）最后的运算结果应化为最简分式2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后

9、同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式 3、加减的加减 1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 2)异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同； 按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. 【例6】计算：（1）； （2）；（3） （4）已知，则代数式的值分式运

10、算中的技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。一、 整体通分法例1化简：-a-1分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。解：-a-1=-(a+1)= -=二、 逐项通分法例2计算-分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：- =-=0三、 先约分，后通分例3计算：+分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：+=+=+=2四、 整体代入法例4已知+=5求的值解法1：+=5xy0,.所以=解法2：由+=5得，=5, x+y=5xy五、运用公式变形

11、法例5已知a2-5a+1=0，计算a4+解：由已知条件可得a0,a+=5a4+=(a2+)2-2=(a+)2-22-2=(52-2)2-2=527六、设辅助参数法例6已知= = ，计算：解：设= = =k，则b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c0，则k=2=k3当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7已知=7，求的值解：由条件知a0,=,即a+=a2+1=(a+)2-1=八、取常数值法例8已知：xyz0,x+y+z=0,计算+解：根据条件可设x=1

12、,y=1,z=-2.则+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。九、把未知数当成已知数法例9已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 解：把c当作已知数，用c表示a,b 得,a=3c, b=2c十、巧用因式分解法例10已知a+b+c=0，计算+解:a+b+c=0, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)=1分式运算的几种技巧(二）1、先约分后通分技巧 例1 计算+分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=+

13、2、分离整数技巧 例2 计算-分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解：原式=-=1+-1-3、裂项相消技巧 例3 计算+分析：此类题可利用=（-）裂项相消计算。解：原式=（-）+（-）+（-）4、分组计算技巧 例4 计算+-分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。解：原式=（-）+（-）5、变形技巧 例5 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：将已知两边同除以x（x0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0，两边同除以x（x0），得x-3

14、+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7 二、分式求值中的整体思想例1 若分式的值为，则的值为（ ）A、1 B、-1 C、- D、解：由已知=得2y2+3y+7=82y2+3y=1，4y2+6y=2所以=1，故选A。例2 已知+=4，则= 。分析：由已知可得到a+b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。解：由已知得=4 a+b=4ab点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。例3 已知a2-3a+1=0，求的值。解：由已知a2-3a+1=0知a0，将已知

15、等式两边同除以a得a-3+=0，a+=3所以=a2+=（a+）2-2=32-2=7=点评：所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。a2=（a）22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。例4 已知+=，+=，+=，求的值。分析：将所求式分子、分母同除以abc可得到，只要将已知式变换出+即可。解：因为+=，+=，+=，将、左、右分别相加，得2（+）=+ +=所以=例5 有一道题：“先化简再求值：，其中”，小明做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？解析:首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理.因为当和时, 的值都是2009,所以小明把“

16、”错抄成了“”,计算结果也是正确的.例6 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：将已知两边同除以x（x0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0，两边同除以x（x0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7三、分式运算新型题例2 请利用、 和这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式的商减去第三个分式的差,并化简.解析:本题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到10多个不同的算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确率.如, -=,等等.温馨提示:这类开放型问题有利于

17、思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的.例3 先化简代数式,然后选取一个合适的值,代入求值.解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.原式=由题意知,的值不能取2和-2,所以当=0时,原式=4.温馨提示:本题既检测了同学们分析问题的能力,又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”.一、开放性问题例1在下列三个不为零的式

18、子 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.（1）； （2）;（3）； （4）;（5）; (6) .说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.二、探索运算程序例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ） 平方 - +2 结果 A B C+1 D-1 分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答

19、本题的前提.解：计算程序可表示为：，化简：原式= =m-1+2=m+1，故选C.说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案.三、自选数值求解例3化简，并选择你最喜欢的数代入求值分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式.在选取x的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好.解：原式，当x=2时，原式=-2.说明：这里的x不能取0与1，否则分母的值为0，原式就没有意义了.四、运算说理题例4在解题目：“当时，求代数式的值”时，聪聪认为只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同

20、结果你认为他说的有理吗？请说明理由分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.解：聪聪说的有理只要使原式有意义，无论取何值，原式的值都相同，为常数1说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题(1) 计算 （2）探究 （用含有的式子表示）（3）若 的值为，求的值 解：（1） （2） （3）=+ +由= 解得 经检验是方程的根，【精练】计算：【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其

21、运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.【解】=1顺次相加法 例1：计算：【分析】本题的解法与例1完全一样.【解】=2整体通分法 【例2】计算：【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】=.3化简后通分分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多4巧用拆项法例4计算：.分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），

22、联想到，这样可抵消一些项.解：原式=5分组运算法例5：计算：分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.解：【错题警示】一、 错用分式的基本性质例1 化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、 错在颠倒运算顺序例2 计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？

23、错解原式.由得.时，分式有意义.解析上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.正解由得且.当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？错解当，得.当，原分式有意义.解析上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.正解 ，得，由，得.当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.错解原式解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.正解原式六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.错解由，得.当或时，原分式的值为零.解析当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存

24、在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.正解由由，得.由，得且.当时，原分式的值为零.二、经典例题透析类型一：分式及其基本性质1当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A. B. C. D. 2若分式的值等于零，则x_； 3求分式的最简公分母。【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）A1B0C1D （2）当x_时，分式没有意义【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A B C D类型二：分式的运算技巧(一) 通分约分4化简分式:【变式1】顺次相加法 计算：【变式2】整体通分法 计算：（二）裂项或拆项或分组运算5巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆

25、项法计算： 类型三：条件分式求值的常用技巧6参数法 已知，求的值【变式1】整体代入法 已知，求的值.【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法已知：，求的值【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值已知：，求的值类型四:解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧（一）与异分母相关的分式方程7

26、解方程=【变式1】换元法 解方程：（二） 与同分母相关的分式方程8解方程【变式1】解方程 【变式2】解方程类型五：分式（方程）的应用9甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式2】 A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继

27、续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当有何值时，下列分式有意义（1）（2）（3）（4）（5）题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当取何值时，下列分式的值为0. （1）（2）（3）题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当为何值时，分式为正；（2）当为何值时，分式为负；（3）当为何值时，分式为非负数.练习：1当取何值时，下列分式有意义：（1）（2）（3）2当为何值时，下列分式的值

28、为零：（1）（2）3解下列不等式（1）（2）（二）分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质：2分式的变号法则：题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）（2）题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）（2）（3）题型三：化简求值题【例3】已知：，求的值.提示：整体代入，转化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）（2）2已知：，求的值.3已知：，求的值.4若，求的值.5如果，试化简.（三）分式的运算题型一：通分【

29、例1】将下列各式分别通分.（1）； （2）；（3）； （4）题型二：约分【例2】约分：（1）；（3）；（3）.题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，试求的值.题型五：求待定字母的值【例5】若，试求的值.练习：1计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.2先化简后求值（1），其中满足.（2）已知，求的值.3已知：，试求、的值.4当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂

30、计算【例1】计算：（1）（2）（3）（4）题型二：化简求值题【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）；（2）.练习：1计算：（1）（2）（3）（4）2已知，求（1），（2）的值.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）； （2）提示：（1）换元法，设；（2）裂项法，.【例3】解下列方程组题型三：求待定字母的值【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分

31、式方程的解是正数，求的取值范围.提示：且，且.题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于的方程提示：（1）是已知数；（2）.题型五：列分式方程解应用题练习：1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（5）6）（7）2解关于的方程：（1）；（2）.3如果解关于的方程会产生增根，求的值.4当为何值时，关于的方程的解为非负数.5已知关于的分式方程无解，试求的值.（二）分式方程的特殊解法一、交叉相乘法例1解方程：二、化归法例2解方程：三、左边通分法例3：解方程：四、分子对等法例4解方程：五、观察比较法例5解方程：六、分离常数法例6解方程：七、分组通分法例7解方程：例1若分式方程无解，求的值。例2若关

32、于的方程不会产生增根，求的值。例3若关于分式方程有增根，求的值。例4若关于的方程有增根，求的值。分式求值问题全解1. 字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求的值.【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。2. 设值代入法 例2. 已知，求证：【解析】这道题也可以用

33、字母代入法，可以得到，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到、连等，让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck 代入得 =【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件 设 则（1）， （2）设 则x=ak y=bk z=ck （3）设 则 其中3. 整式代入法例3. 已知：，求分式的值.【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。将条件化简成乘积形式，得 ，再将分式稍化简变为，可以发现分子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-a【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越

34、，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。4. 变形代入法 这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。例4（方程变形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc0，求的值.【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。 这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组 a+b+c=0 b=-2ca+2b+3c=0 a=c用c代替a、

35、b代入到分式中，能很快求解出来例5（非负变形）. 已知：，求的值.【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式其中 所以=0 =0得再带入原式很容易求出解。 例6（对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则 【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c代替a，但是代数式a的符号和位置在三个分式中不同，如果用代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：用a=-b-c代入中的a，得到-2bc用b=-a-c代入中的b，得到-2ac用c=-a-b代入中的c，得到-2ab原式=例7（倒数变形）. 已知求证【解析】已知条件是的形式，不能化简

36、，如果颠倒分子分母，将改写成的形式，使得x、y相互独立，简化已知条件。写出变化后的形式， 所以 则，得证。例8（归类变形）. 已知，且a、b、c互不相等，求证：【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a表示b、c，能不能求出b、c的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：，可以发现分式形式大致消失了，剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc将能从已知条件得到的关系列出来左边和左边相乘，右边和右边相乘得所以【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化

37、简已知条件，可以从两个角度上来化简： 消元的角度：方程变形、非负变形-减少字母数量，方便化简化简 结构的角度：对应、倒数、归类变形-调整关系式结构，方便化简代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。【练习】1、已知 的值等于（ ） （设值代入）A B. C. D. 2、若a2+b2=3ab,则(1+的值等于（ ） （整式代入）A B. 0 C. 1 D. 3、已知：a+b+c=0,abc=8.求证：0. （非负变形）4、已知：a+b+c=0.

38、 求证： （代数式归类变形）5、已知abc=1，求证：（对应变形）在学生独立思考的基础上，让学生猜测计算的结果，并请学生讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用幂的形式表示计算结果”的问题负整数指数幂及其运算1负整数指数幂的概念：（a0，p是自然数）2整数指数幂：当a0时，就是整数指数幂，n可以是正整数、负整数和零将下列各式写成只含正整数指数幂的形式：变式训练1：、变式训练2：、通过变式训练2，学生同桌讨论当指数为负数，底数为分数时的情形，并总结出判断正误：例题讲解：例题1 计算：（1）2628；（2）1010110104；（3）512512。例题2 将下列各式写成只

39、含有正整数指数幂的形式：(1) x-3；(2) a-3b4；(3) 2(x+2y)-2；例题3计算：（1）a2aa3；（2）(-a)3a5；3整数指数幂的运算性质：举例复习正整数指数幂的其它性质，同时思考、验证整数指数幂的相关运算法则：归纳整数指数幂的运算性质：（1）同底数幂的乘法性质：aman=am+n;（2）积的乘方性质：(ab)m=ambm;（3）幂的乘方性质：(am)n=amn;（上述性质中a、b都不为0，m、n都为整数）例题4计算：（1）x-5x2；（2）(2-2)3；（3）1003-3；练习：1.下列计算正确的是( )A.(a2)3=a5 B.(a2)3=a5 C.()1+(+3.

40、14)0=2 D.a+a2=a12.(1)(a1)2=_(a0)；(2)(a2b)2=_(ab0)；(3)()1=_(ab0).3.填空:(1)52=_；(2)(3a1b)1=_(ab0).4.计算:(1)()2()2; (2)(3)533. (3)a2b2(ab1); (4)()2(xy)2(x1y).6. 我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功.经测算当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)7、据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个

41、数用科学记数法表示为( )345 D.2.51048、下面的计算不正确的是( )A.a10a9=a B.b6b4= C.(bc)4(bc)2=b2c2 D.b5+b5=2b59、要使()0有意义,则x满足条件_.10、()p=_;x2x3x3=_;(a3b2)3=;_(a2b3)2=_.11、若x、y互为相反数，则(5x)2(52)y=_.12、计算:()2()0+()2()2.13、计算:（1）(9103)(5102). (2)5x2y23x3y2; (3)6xy2z(3x3y3z1). 14、已知mm1=3,求m2+m2的值.分式的运算练习题1、 递进相加法：化简 变式：2、 分组相加法计算 变式：3、 裂项相消法计算变式一：变式二：4、 整体通分法计算 变式：5、倒数求值法已知，求的值变式：已知、为实数，且,求的值。6、活用公式变形求值1、已知，求的值 2、如果，求的值变式：1）已知，求的值2）