函数的周期性与对称性(12页).doc

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1、-函数的周期性与对称性-第 12 页函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5 若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质6、若函数yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质7、若函数yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb轴对称，则函

2、数f(x)必为周期函数，且T4|ab|3.函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1： 的图象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称推论3、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关于点对称推论2、 的图象关于点对称推论3、 的图象关于点对称例题分析：1设是上的奇函数，当时，则等于 ( )（A）0.5 （B） （C）1.5 （D） 2、（山东）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）A1 B0 C1 D23设是定义在上的奇函数，求4函数对于任意实数满足条件，若，则_5已知是定义在上的奇

3、函数，且它的图像关于直线对称。（1）求的值；（2）证明是周期函数；（3）若，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式巩固练习：1函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(

4、x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_3设定义在R上的奇函数yf(x)，满足对任意tR，都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于()A BC D4若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(6)等于_5、（1）;（2）（3）若设6设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f(3)的值；(2)当4x4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形

5、的面积7设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.8.设函数对任意实数满足， 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.9.已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.（1）证明：；（2）求的解析式；（3）求在上的解析式.10.已知，（1）判断的奇偶性；（2）证明：11、定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。12（重庆文）已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。复习题：1 已知数列，其前项和为，点在抛物线上；各项都为正数的等比数列满足.（）求

6、数列，的通项公式；（）记,求数列的前项和2在中，角、所对的边分别是、，且（其中为的面积）（）求；（）若，的面积为3，求3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：12345频率02045（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求，的值；ABCPH（）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，等级系数为5的2件日用品记为，现从，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概

7、率4. 如图，在三棱锥中，底面，为的中点， ，.（）求证：平面；（）求经过点的球的表面积。5.已知抛物线与轴交点为，动点在抛物线上滑动，且（1）求中点的轨迹方程；（2）点在上，关于轴对称，过点作切线，且与平行，点到的距离为，且，证明：为直角三角形6. 设函数.（1）求的极大值；（2）求证：（3）当方程有唯一解时，方程也有唯一解，求正实数的值；函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)

8、2、函数的对称性与周期性性质5 若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质6、若函数yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质7、若函数yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T4|ab|3.函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1： 的图象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称推论3、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关

9、于点对称推论2、 的图象关于点对称推论3、 的图象关于点对称例题分析：1设是上的奇函数，当时，则等于 ( )（A）0.5 （B） （C）1.5 （D） 2、（山东）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）A1 B0 C1 D23设是定义在上的奇函数，求4函数对于任意实数满足条件，若，则_5已知是定义在上的奇函数，且它的图像关于直线对称。（1）求的值；（2）证明是周期函数；（3）若，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时

10、，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4巩固练习：1函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：选Cf(x)的图像如图当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1

11、,3)2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析：由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图像如图所示：当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确，不正确答案：3设定义在R上的奇函数yf(x)，满足对任意tR，都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)

12、x2，则f(3)f的值等于()A BC D解析：选C由f(t)f(1t)得f(1t)f(t)f(t)，所以f(2t)f(1t)f(t)，所以f(x)的周期为2.又f(1)f(11)f(0)0，所以f(3)ff(1)f02.4若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(6)等于_解析：yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa,1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.5、（1）;（2）（3）若设6设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.

13、(1)求f(3)的值；(2)当4x4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)f(34)f(1)1.(2) 由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图像关于直线x1对称又0x1时，f(x)x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则1x0时，f(x)x，则f(x)的图像如图所示当4x4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.7设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，

14、在区间上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，8.设函数对任意实数满足， 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.9.已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.（1）证明：；（2）求的解析式；（3）求在上的解析式.解：是以为周期的周期函数，且在上是奇函数，.当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知在上是一次函数，可设而，当时，

15、从而时，故时，.当时，有，.当时，10.已知，（1）判断的奇偶性；（2）证明：11、定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。12（重庆文）已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。 10(1)偶函数 (2)奇函数 11(1)偶函数 12、 复习题：2 已知数列，其前项和为，点在抛物线上；各项都为正数的等比数列满足.（）求数列，的通项公式；（）记,求数列的前项和2在中，角、所对的边分别是、，且（其中为的面积）（）求；（）若，的面积为3，求3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20件，

16、对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：12345频率02045（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求，的值；ABCPH（）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，等级系数为5的2件日用品记为，现从，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图，在三棱锥中，底面，为的中点， ，.（）求证：平面；（）求经过点的球的表面积。5.已知抛物线与轴交点为，动点在抛物线上滑动，且（1）求中点的轨迹方程；（2）点在上，关于轴对称，过点作切线，且与平行，点到的距离为

17、，且，证明：为直角三角形6. 设函数.（1）求的极大值；（2）求证：（3）当方程有唯一解时，方程也有唯一解，求正实数的值；复习题答案：1、解：（），当时， 数列是首项为2，公差为3的等差数列， 又各项都为正数的等比数列满足 ，解得， ()由题得 -得 12分2、解析：（）由已知得即 6分 （）由（）知 ,12分 3、.解：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 1分因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=0.153分等级系数为5的恰有2件，所以c=0.1 4分从而a=0.35-b-c=0.1所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 6分（

18、2）从日用品,中任取两件，所有可能结果(,),(,),(,),(,),（,）,( ,),(,),(,),(,),(,)共10种， 9分设事件A表示“从日用品,中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为(,),(,),(,),(,)共4个，11分故所求的概率P(A)= =0.4 12分4、（）证明：因为 底面，底面，所以 ， 又因为 ， ， 所以 平面， 又因为 平面， 所以 . 因为 是中点， 所以 ，又因为 ，所以 平面. 6分（）12分5、解：（1）显然直线的斜率存在且不为0，设为，设的中点直线与联立解得：同理： 的中点 轨迹方程：6分（2）由得：，设则又 则 则 又 则为直角三角形13分6、解：（1）由得0递增极大值递减从而在单调递增,在单调递减.4分（2）证明： 分别令 ， 9分（3）由（1）的结论：方程有唯一解 方程有唯一解 即：有唯一解设 由则 设的两根为，不妨设在递减，递增要使有唯一解，则即： 又 由得： 即： ，又是方程的根 14分