刘俊峰 2018线性代数考前冲刺(学生用)(13页).doc

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1、-刘俊峰 2018线性代数考前冲刺(学生用)-第 13 页2018线性代数考前冲刺复习要点：一、行列式的计算1、数字型行列式（根据性质）2、抽象型行列式爪型行列式（例1、例2）对于低阶(4阶(含）以下）行列式，标准爪形利用对角线元素把第一行（列）化为只有一个非零元素，非标准的爪形按照非零行（列)展开; 高阶的利用递推法或数学归纳法。三条对角线型（例3）对于三对角线行列式，通过行列式性质可以利用对角线元素把对角线下方的元素划为0，把行列式化成上三角行列式；或者利用递推和数学归纳法来证明。每行（列）元素和相等的行列式对于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第1行（列），提取公因子，然后通过第

2、1列（行）把行列式变成下（上）三角行列式进行计算。范德蒙型行列式通过行列式性质进行变形，把行列式变成范德蒙行列式进行计算。拉普拉斯型行列式（例4）此行列式适合比较多的类型，通过行列互换，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。3、矩阵行列式（例7）结合矩阵的运算，以及初等变换，来求行列式4、已知特征值的矩阵行列式（例6），相似矩阵行列式相等若 与相似，则，故可将A的行列式的计算转化为与其相似矩阵的行列式进行计算.一般地，其中为矩阵的多项式。5、拉普拉斯矩阵的行列式 其中分别是两个方阵二、矩阵1、矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，方阵行列式的计算 注：对于阶矩阵 ， 乘法不满足交换律2、特殊向量的乘法 ，

3、若，的一个非零特征值为；（因）特别的：的唯一一个非零特征值，又因为是对称矩阵，因此相似对角矩阵，且，故的特征值为和重）；单位矩阵的特征值为1（重），因此若为单位向量，则的特征值为0，1（重）；的特征值为2，1（重），3、转置、可逆、伴随矩阵的性质4、矩阵的初等变换经过有限步初等变换得到的矩阵是等价的。熟悉行阶梯形矩阵、行最简形矩阵的特点，主要用于解方程组、求极大无关组、求秩5、矩阵的秩存在阶子式不等于0，对于所有的（若存在）阶子式等于0；存在阶子式不等于0；对于所有的阶子式等于0；列秩的行秩 6、矩阵秩的性质，（方程组同解）为维非零列向量，若，则若为可逆矩阵，则若，则为阶方阵，为的伴随矩阵，则

4、7、初等矩阵初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵；初等矩阵是可逆的，其逆矩阵仍然是初等矩阵；可逆矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积；矩阵左乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的初等行变换，右乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的列变换；利用初等变换求逆矩阵；三、线性方程组1、齐次线性方程组解的判定：2、齐次线性方程组解的性质：是的解，则也是的解； 会求基础解系； 若，则基础解系解向量的个数为 3、非齐次线性方程组的解的判定：4、非齐次线性方程组解的性质及结构 若是的解，则当时，是的解，当时，是的解非齐次方程的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解构成。5、矩阵方程的列向量就是的基

5、础解系 矩阵方程，即6、公共解问题 求两个方程组的公共解，也就是要找到一个解既是方程组（1）的解，也是方程组（2）的解，因此对于这类题目就是联立两个方程组，组成一个新的方程组求通解四、向量1、线性表示 向量可以由向量组线性表示有解向量组可以由向量组线性表示，即向量组中每个向量都可以由向量组线性表示向量组等价：向量组与向量组可以相互线性表示若，则的列向量可以由的列向量线性表示；的行向量可以由的行向量线性表示2、线性相（无）关 对于向量组，若存在一组不全为0的数，使得成立，则线性相关，否则线性无关线性相关有非零解线性无关只有零解若向量组线性无关，向量组线性相关，则向量可以由向量组线性表示，且表示唯

6、一3、极大无关组极大无关组的定义，求法向量组的秩的定义4、向量空间向量空间、基、维数的定义基变换和坐标变换标准正交基（施密特正交化）正交矩阵的行（列）向量是单位正交的向量组五、特征值与特征向量1、定义：，是特征值，是特征值对应的特征向量2、求法：，解出个（含重根）特征值 解 得的基础解系 注：若是重根，则，即特征向量的个数小于等于个；若，矩阵可以相似对角化，否则不能。3、相似的定义：，则相似于 相似对角化充要条件存在个线性无关的特征向量。 对任意对称矩阵存在正交矩阵，使得相似矩阵的特征值、行列式、秩、对角线元素和均相等，反之不成立。两个对称矩阵如果特征值相等，则必相似。4、特征值的性质 不同特

7、征值对应的特征向量线性无关；特殊地，对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交对于阶矩阵，；特殊地，若矩阵可逆，则矩阵的所有特征值不为0若是矩阵的特征值对应的特征向量，则若，则 若矩阵可逆，则 对称矩阵非零特征值的个数等于，的唯一的非零特征值为5、对称矩阵的相似对角化步骤 求出的特征值、特征向量： 对于任意一个重特征值，其特征向量为先正交化，得；再把所有特征向量单位化，得存在正交矩阵，使得，其中六、二次型1、二次型矩阵 对称矩阵2、把二次型利用正交变换化为标准型也就是对称矩阵相似对角化的过程3、正惯性指数 二次型对任意可逆变换，其正惯性指数的个数不变，即大于0的特征值的个数不变。4、正定矩阵的判定：

8、顺序主子式大于0；特征值大于05、矩阵的等价、相似、合同两个阶矩阵存在常见的几个关系：等价、相似和合同（1）与等价经过一系列初等变换得到，其中都是可逆矩阵（2）相似存在可逆矩阵，使得（3）合同若存在可逆矩阵，使得二次型与有相同的正、负惯性指数对于对称矩阵而言，相似必合同，合同必等价；对于一般矩阵，相似必等价，合同必等价，相似与合同没有必然联系冲刺题型：例1 答案： 例2 证明例3 设是阶矩阵，证明注：两类数学归纳法介绍（一）（1）验证时，命题成立； （2）假设时，命题成立； （3）利用（2），证明当时，命题成立。（二）（1）验证时，命题成立； （2）假设时，命题成立； （3）利用（2），证明当

9、时，命题成立。例4 答案：例5 设均为阶矩阵，且分别是和的伴随矩阵，则= 答案：例6 已知矩阵和相似，其中，则 答案：例7 设都是维非零列向量，矩阵，若，则 答案：例8 三阶矩阵可逆，把矩阵的第2行与第3行互换得矩阵，把矩阵的第1列的倍加到第3列得到单位矩阵，则 答案：例9 设为矩阵，且, 则下列命题错误的是 （ ）（A）方程组只有零解 （B）方程组必有无穷多解（C）对任意的维列向量，必有无穷多解（D）对任意的维列向量，总有唯一解答案：选例10 设是矩阵，是矩阵，则（A）时仅有零解 （B）时必有非零解（C）时仅有零解 （D）时必有非零解答案：选例11 设是阶矩阵，是维列向量，若秩，则线性方程组

10、（A）必有无穷多解 （B）必有唯一解（C）仅有零解 （D）必有非零解答案：选例12 设是的一组基础解系，考查下列向量组上述向量组中，仍是的基础解系的是答案：选例13 已知是非齐次线性方程组的三个解，若，则方程组的通解（A） （B） （C） （D）答案：选例14 已知齐次方程组（）；方程（）有公共解，求的值及所有的公共解答案：时，公共解为；时，公共解为例15设四元线性齐次方程组()为 ,又已知某线性齐次方程组()的通解为 (1)求线性方程组()的基础解系. (2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.答案：（1）方程组()的基础解系为 (2)所

11、有公共解为例16设矩阵，当为何值时，方程无解；当为何值时，方程有解，并求全部解答案：时，方程无解；当时，方程有唯一解，解为例17 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为答案：例18 已知是3阶实对称矩阵，若，求的通解答案：的通解例19 设且，求齐次方程组的通解答案：的通解为例20 设，不能由，线性表出。（1）求（2）将由线性表出例21 设是矩阵，是齐次方程组的基础解系，是非齐次线性方程组的解.（1）证明：线性无关（2）证明方程组的任一解均可由线性表示例22 已知，则下列矩阵中与相似共有（ ）个答案：2例23 设为4阶实对称矩阵,且,若的秩为3,则相似于 ( )(A) . (B) .(C) .

12、(D) .答案：选例24设是阶矩阵，先交换的第行和第行，再交换的第列和第列得到，则下列关系中正确的有 个。 等价于 相似于 合同 答案：5例25 设矩阵相似于矩阵（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵答案：（1） （2），（不唯一）则例26 已知矩阵（1）求；（2）设3阶矩阵满足.记，将分别表示为的线性组合.答案：例27设是3阶方阵，方程组通解为：，其中为任意常数，求和答案：，例28若二次曲面的方程为，经正交变换化为，则答案：例29二次型，则的正惯性指数为_答案：2例30 设二次型的秩为，中行元素之和为，则在正交变换下的标准型为_答案：标准形为例31设二次型，则在空间直角坐标系下的二次曲面为（ ）（A） 单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （D）柱面答案：选例32已知，二次型的秩为2（1）求实数的值；（2）求利用正交变换将化为标准型答案：；，在正交变换下，标准型为例33已知二次型在正交变换下的标准型为，且的第三列为. （1）求矩阵； （2）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵 答案：例34 已知二次型，其中的正负惯性指数都是1.（1）求的值；（2）用正交变换化二次型为标准型，并求出；（3）若是正定矩阵，求的范围 （4）判断是否与矩阵合同答案：；，即时，；合同例 35设且（1） 用正交变换化二次型为标准型，并求正交变换（2） 求该二次型答案：（1） 当时，（2）二次型为