向量的加减乘除运算(3页).doc

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1、-向量的加减乘除运算-第 3 页向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x,y+y).a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被 向量的减法减” a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y).3、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且a=a.当0时,a与a同方向； 向量的数乘当0时,a与a反方向； 向量的数乘当=0时,a=0,

2、方向任意.当a=0时,对于任意实数,都有a=0.注：按定义知,如果a=0,那么=0或a=0.实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当1时,表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍； 当1时,表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的倍.数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab).向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b,那么a=b. 如果a0且a=a,那么=.4、向量的数量积定义：

3、已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b并规定0a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a|b|cosa,b；若a、b共线,则ab=+-ab.向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy.向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方.ab =ab=0.|ab|a|b|.（该公式证明如下：|ab|=|a|b|cos| 因为0|cos|1,所以|ab|a|b|） 向量的数量积与实

4、数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 ab=ac (a0),推不出 b=c.3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作ab（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“”不同,也可记做“”）.若a、b不共线,则ab的模是：ab=|a|b|sina,b；ab的方向是：垂直于a和b,且a、b和ab按这个次序构成右手系.若a、b共线,则ab=0.向量的向量积性质：ab是以a和b为边的平行四边形面积.aa=0.a垂直b=ab=|a|b|.向量的向量积运算律 ab=-ba； （a）b=（ab）=a（b）； a（b+c）=ab+ac.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.