初中数学论文：原型启发在初中数学教学中的应用与思考(5页).doc

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1、-初中数学论文：原型启发在初中数学教学中的应用与思考-第 5 页初中数学论文原型启发在初中数学教学中的应用与思考摘要：本文以教育心理学和信息科学理论为依据，阐述了原型启发在数学课堂教学中的作用；结合平时遇到的教学实例，着重从创设“原型”的问题情境启发学生领悟解决数学问题的方法、依托原型进行联想探究发现数学新知识、把握题目的结构特征提炼原型开拓解题思路三个方面阐述了在数学教学中怎样利用“原型”进行启发的教学要领。关键词：原型；启发；联想当我们进行创造性思考、解决问题时，往往会从其他事物的各种形式的(包括文字的、图形的和逻辑关系的)信息进行处理和分析，从而找到解决问题的方法和途径，心理学上把这种具

2、有启发作用的事物称作原型。 原型之所以具有启发作用，主要是因为原型与所要解决的问题之间有某些共同点或相似点，通过联想，找到解决问题的新方法。可见，所谓原型启发就是指人们在解决问题的过程中，从某种事物与待解决问题之间的某些共同点或相似处看出解决问题的途径的思维方法。由此可知，原型启发在引导学生探索数学知识、创造性地解决问题中起着重要的作用。在数学教学中我们往往通过原型进行联想或类比而找到解决问题的方法。一、创设原型情境，重视原型积累初中数学新课程理念倡导积极主动、勇于探索的学习方式，指出数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。因此，

3、数学规律、结论的得出不应由教师直接给出，而是在教师精心创设的问题情境中，通过学生自己的探究得出。这就经常需要教师用恰当的原型材料创设情境，使学生从原型中获得启发，探求出解决问题的方法。例1：初一的找规律，计算第n堆铅笔总数和。先出示图片：第1堆铅笔一层一支；第2堆分两层，上层一支，下层二支；以此类推求第n 堆（有n层，上层一支，最下层n支）铅笔总数和？在回答这个问题之前，我说：“伟大的数学家高斯在小时候就表现出非凡的数学才能，在他十岁的时候，一天老师让学生们做一道从1加到100的加法题，高斯很快就得出了答案，其中用了一种巧妙的方法！同学们，你们能像高斯一样想出巧妙的方法，很快得出结果吗？试试看

4、。”学生积极思考从1加到100的方法，再在教师的启发下，学生利用两个顺序不同的等式两边相加，即等式S=1+2+3+4+n和S=n+4+3+2+1相加2S=（1+n） +（1+n）+（1+n）+（1+n），从而得S=。这里，高斯所使用的方法与求n堆铅笔总数和方法在本质上是一样的，正是这种相似性启发了学生的思维，得出了第n堆铅笔总数的规律。例2：在学生学习直角三角形相似以后，我出示这样一题。如图，ABBC,DCBC,垂足分别为B、C。当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否存在点P，使得APPD。如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。本题思考问题的突破口应该来自如下图的基本图

5、形和基本结论，C= B= APD = 90 ABPPCD借助以上的相似原型：由同角的余角相等即可证得ABPPCD，从而得出=，可得=，解得x=2。但实践课堂教学反馈显示，学生在思考问题时，有不少学生往往孤立地看待垂直条件，导致不能快速获得解决问题突破口因此，在另一班课堂教学中，我及时地调整了课堂教学策略，加强学生对该相似的初级认知模型认识，另设计了一个铺垫题：已知如上图，ABBC,DCBC,垂足分别为B、C如果APPD,（1）求证：ABPPCD；（2）若把APPD替换成什么条件，也能证明ABPPCD？这样，通过调整而创设原型情境，另一班课堂教学收到了较好的效果，并且学生通过自己对知识的构建，以

6、后碰到类似问题会举一返三。其实，原型启发从思维的角度看,是思维定势的正迁移，它既可防止无关信息的负面干扰,又能以”块到块”的思维模式代替”点到点”思维模式，能有效地缩短思维路径：另外从方法论角度看，体现了从“基本问题”出发去解决更多，更复杂的问题。因此，平时教学实践中，教师应重视引导学生进行解后反思，帮助学生总结、提炼问题结构，注意基本原型的积累。对课本学习的总结归类比如：(1)对每一单元学习之后，对例题、作业进行一些总结，弄清几个主要类型，每一类型各有几个解决的方法。(2)几何中的一些“基本图形和基本结论”(每个关键概念，每个重要定理都有基本图形和基本结论 )。（3）解题经验性总结如：(a)

7、线段和差问题解决方法:“截长补短或面积法”。(b)角平分线、平行线、等腰三角形 “知二推三”。(c)函数关系式的确定 直接列式法,待定系数法。(d)函数应用问题中 “已知自变量求函数值；已知函数值求自变量；函数最值应用”。二、依托原型联想，体验发现乐趣数学知识的高度系统性的特点决定已有的知识常常成为某一新知识的原型和依据。依托这些已有知识的原型，进行充分的联想，根据问题的文字信息或结构特征，得到解决问题的方法。在学生缺乏建立与原型联系之前，教师可通过对问题信息的启发，诱发学生进行联想和类比，找到解决问题的方法。例3：在一次二次函数复习课上，已知二次函数的图像过点（1，0）、（2，3）且对称轴是

8、直线x=3，求这个二次函数的解析式。先重温求解二次函数解析式，有三类解析式设法和一般求法：y=ax2+bx+c（三点式），y=a(x+m)2+k（顶点式），y=a(xx1)(xx2)（分解式）(其中a0)。然后启发：原型1：摄取题目坐标信息，发现与三点式有两个相似特点，即有了两点（1，0）、（2，3）坐标，但还缺第三点坐标，不妨设该二次函数为y=ax2+bx+c。试一试，把点（1，0）、（2，3）代入可得方程：a+b+c=0，4a+2b+c=3，进而挖掘对称轴是x=3这个条件得-=3，可得6a+b=0，把三式组成三元一次方程组即得a=1，b=-6，c=5，所以解析式为y=x26x+5。原型2：

9、引导学生与顶点式y=a(x+m)2+k展开“似然” 比较，可设y=a(x3)2+k，把两点（1，0）、（2，3）代入得4a+k=0,a+k=-3,组成二元一次方程组，可得a=1,k=4所以也可求得二次函数解析式为y=x26x+5。原型3：启发学生联想到分解式y=a(xx1)(xx2)的一般解法，只要知道另一个与x轴交点坐标，就能迎刃而解，由x=，可得x2=5，因此，另一点交点坐标是（5，0），所以可设二次函数解析式为y=a(x1)(x5)，再把点(1,0)或(2,3）代入得a=1,所以y=x26x+5。在上面的教学过程中，这道题作类比原型点拨后，从而把三种二次函数解析式设法和求法有机地连在一起

10、，这不但加深了学生对求二次函数解析式方法的认知结构，而且学生以后会根据这样的原型特征去联想、去创造，科学地提出问题和解决问题，让学生体验到数学发现的乐趣。三、提炼原型模式，开拓解题思路前面讲的教师启发学生发现问题过程可以归纳为模式联想发现，这里，模式经常是由教师给出的；而学生的解题过程经常是分析模式解决，即分析题目的结构特征，寻找模式，最后获得问题的解决。但有时候学生仅有的原型模式往往在解题时显得捉襟见肘，因此，进一步帮助学生建立更高级别的原型模式显得尤为重要。例4：初三中考复习时，我抛出这样一题：(广东省)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4，

11、COA=60 ,点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合连接CP，过点P作PD交AB于点D(1)求点B坐标; (2)当点P运动到什么位置时,OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标; (3)当点P运动到什么位置时,使得 CPD=OAB,且=，求这时点P坐标。本题是一道中考题，第一、二小题学生容易得出（1）B点坐标为（5， ）；（2）P坐标为（4，0）和（-4，0），而学生在解决第三小题时，好多学生会显得不知所措。对于学生出现这样问题，首先让我们重新审视上面例2的解答：在由 B= APD= C=90获得ABPPCD时，90并没有发挥实质作用，只要C= B= APD就能得ABPPCD ，初级模型

12、提炼后的模型C= B= APDABPPCD由模型中同一线段上的两个角B=C=,不难联想到等腰三角形同一底上的两个底角相等、等腰梯形同一底上的两个底角相等、正多边形的相邻两个内角相等,这样可以发现有许多上述模式的形式不同但实质相同的数学问题。由此不难得出：由于 CPD=COA= OAB 由中提炼后的模型的结论可得COPPAD 。利用比例关系建立方程：7OP-OP2=6, 得OP=1或6，所以点P的坐标为(1,0)或(6,0)。不难看出，在中考初三复习阶段，借助模型进行思考时，由于免除其他附加条件的干扰，从“点到点”的思维模式提升到“块到块”的思维模式，不但思维过程简洁流畅，而且解题突破快因此我们

13、教师在平时启发学生重视积累原型模式的同时，还要重视对学生已有的原型进行提炼，通过例题变式的设计不断加深学生对模式更深层次的理解，使基本模式具有更广的包容性，达到优化学生认知结构，强化基本原型的可利用性、可辨别性和稳定性。教学实践中我意识到，把原型启发运用在解题教学上要注意两点，一是学生头脑中是否有解题所需要的“原型”存在，一般来讲，原型储备越多，原型启发就越容易实现；二是看学生当时思维活动的状态如何，如果学生的思维活动处在一种积极的状态，那么常常更有利于原型启发发生作用。在数学教学中，我们教师不但要善于利用原型启发引导学生思考，而且要经常有意识地对学生进行原型启发的训练和提炼，促使学生在遇到问题时能找到恰当的原型，启迪思维，找出解决问题的方法。参考文献:1波利亚数学的发现M呼和浩特：内蒙古人民教育出版社，19802曹才翰，章建跃数学教育心理学（第二版）M北京：北京师范大学出版社，20063喻平数学问题解决认知模式及教学理论研究D南京师范大学，20014江琦，杨山问题解决的信息加工机制探析J宁波大学学报（教育科学版），2002，（1）：37-385朱德全数学问题解决的表征及元认知开发J教育研究，1997，（3）：51-546包静娟实现数学原型到数学模型的自然过渡J 江苏教育2009，（5）：39-40