南理工矩阵计算试卷B试题及答案(5页).doc

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-南理工矩阵计算试卷B试题及答案-第 5 页2016年矩阵分析与计算试卷B一、（15分）设矩阵，求A的不变因子、初等因子及Jordan标准型。解： 不变因子 5分初等因子 5分标准型： 5分二、（15分）已知矩阵和酉矩阵U，求，。解：，A为实对称矩阵 特征值 5分， 5分 5分 三、（10分）利用盖尔圆隔离定理证明有三个互异实特征值。解：的三个盖尔圆为：其中相交 3分取，令，与有相同的特征值。又的三个盖尔圆为：，； 5分它们两两分离，所以上述每个圆盘各有的一个特征值，A有三个互异的特征值，且均为实数 2分四、（20分）已知（1）求A的满秩分解；（2）求；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组是否有解；（4）求的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解解：（1）对的特征矩阵施行如下初等行变换：取的满秩分解为：（2）（3）原线性方程组有解。（4）原方程组极小范数解为：。五、（10分）用列主元法求解方程组 解：对方程组的增广矩阵施行如下的初等行变换： 6分 回代得 4分六、（15分）利用逆幂法计算矩阵 按模最小的特征值及相应的特征向量：设初始向量为，迭代三次，保留4位有效数字。解： 或10分 5分七、（15分）已知（1）求； （2）求 满足的解。解：（1）设 10分(2) 5分