复变函数第三章习题答案(6页).doc

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1、-复变函数第三章习题答案-第 5 页第三章 柯西定理 柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数在围线C之内是处处解析的，则。2.柯西积分定理的推广：若函数在围线C之内的点不解析，则，其中是分别以为圆点，以充分小的为半径的圆。3.若在围线C之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？运用柯西积分公式。柯西积分公式：若函数在围线C之内，函数在围线C之内是处处解析的，则4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数在围线C之内，函数在围线C之内是处处解析的，则习题：1.计算积分积分路径是直线段。解：令，则积分路径如图所示：在积分路径上：，所以2.计算积分。积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，

2、（3）左半单位圆。解：（1）令，则，在积分路径上，所以（2）令，在积分路径上：（3）令，在积分路径上：5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。（1），（2），（3），解：（1）因为函数在单位圆所围的区域内解析，所以。（2）因为函数在单位圆内解析，所以。（3）因为函数的不解析点不包含在单位围线之内，所以由柯西积分定理有：6.计算，。解：（1）由柯西积分公式：，其中，在围线内。，所以（2）被积函数在复平面上不是解析函数，所以不能用柯西积分定理和柯西积分公式，其积分值与积分路径有关。根据积分路径，令，则（3）被积变量为，根据积分路径，令，则：（4）根据积分路径，令，7.由积分之值，证明，其中

3、C取单位圆。证明：因为被积函数的奇点在积分围道外，故，现令，则在上，比较可得：8.计算：（1） 。解：10.设表圆周，求。解：设，它在复平面内解析，故当时，则由柯西积分公式有：所以11.求积分从而证明：。解：由于，函数在处不解析令则故所以即13.设，利用本章例5验证柯西积分公式以及柯西求导公式提示：把写成。证明：设，则式的右边为可写为：由柯西积分定理有：所以右边即左边=右边。再由式子可知当时成立。假设当时等式成立。则当时成立。所以14.求积分（1），（2），其中解：（1）被积函数有奇点，该奇点在积分围道内，由柯西积分求导公式有：（2）先用柯西积分定理的推广式，把对围线C的积分变成对围线C1和围线C2的积分，然后再用柯西积分公式的高阶求导。