导数在中学数学解题中的应用(16页).doc
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1、-导数在中学数学解题中的应用-第 15 页导数在中学数学解题中的应用摘 要导数不仅是中学教材中必不可少的一部分,也是历年高考的考点。导数在中学数学解题中的应用是十分广泛的,它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。应用导数知识解决中学数学问题不仅可以锻炼学生的思维,同时也简化了解题的难度,因此对导数知识进行整理是十分有必要的。本文对导数在中学数学解题中的应用进行了归纳整理,同时也对导数应用中需要注意的几点事项做出了标注,分析了导数应用中的易错点。从而为初学者查询导数相关知识提供了资料。关键词: 导数 中学数学 应用 ABSTRA
2、CTDerivative is not only an essential part of the middle school textbooks, but also the college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of the demand curve, tange
3、nt at a point in the application of function optimization, image, extremum and monotony of function etc. The application of derivative knowledge to solve mathematical problems in middle school can not only train the students thinking, but also simplify the difficulty of solving the problem. This pap
4、er summarizes the application of derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query deriv
5、ative knowledge. Keywords: Derivatives;Middle school mathematics;application1.绪论导数是微积分中一个重要的核心内容,导数的推广已经十分广泛,大多数的国家已经将导数列入到了中学教材中。在我国,导数也是历年高考常常出现的考点。导数是解决许多数学问题的有力工具,利用导数知识可以解决中学的很多数学问题。可以解决中学数学中计算曲线在某一点的切线斜率、分析函数的性质与图像、求解方程的根、证明不等式、判断函数的单调性、求解最值的最优化问题等。2导数在中学数学解题中的应用2.1导数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用在计算曲线在某一
6、点的切线斜率的问题时,主要就是利用到导数的几何意义:在某一点的导数就是曲线在处切线的斜率。例2.1已知曲线L:,求经过点的曲线L的切线方程。分析:主要是计算出曲线L在P点处的斜率K,又因为点,此时便可根据点斜式能够计算出过点P的曲线L的切线方程了。解:由题意可知:曲线L: 过点P的斜率K为:曲线L过P点的切线方程为:化简得:点评:本题在计算曲线L的切线方程时,主要考查的对象是导数的几何意义。例2.2在上求一点P,使P到直线的距离最短。分析:本题的解法有多种,它可以利用初等解法,也可以利用导数的几何意义进行计算。下面我将用不同的解法进行作答,进行对比。便可以充分的体现出导数解题时的便利性。解法1
7、:平移直线,使其与曲线相切,可知P点即为所求。设切线,代入曲线方程,得: (1)又因为直线与曲线相切,解得:(1)式为故切点为解法2:设点则点P到直线的距离为:由上式可知,当时取得最小值故点P为解法3:由题可知,点P必为平行于直线的直线与抛物线的切点。因此过P点的切线必定平行于直线由导数的几何意义可知,在P点的数值为1又设则,故点评:利用不同的解法,我们可以清楚地认识到利用导数工具进行求解的简洁性与便利性,掌握导数这一工具,可以提高我们解题的效率。本题在导数方面主要运用的是导数求解曲线的斜率的知识,即利用导数的几何意义进行求解。2.2导数在分析函数的性质与图像中的运用在利用导数分析图像时应着重
8、注意其切线变化的大小关系。理清导数与函数图像之间的关系。倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系,下面我将用3个例题来简单讲解他们之间的关系。2.2.1已知函数图像,画出其导函数的图像y0图2.1 函数图像yx0图2.2 函数图像例2.3已知函数的图像如图2.1、图2.2所示,请画出其导函数图像的大致情况分析:根据导数与函数图像之间的关系,在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像,我们就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况,便可以得出其导函数图像的大致情况。解:图2.1的的曲线上的切点的斜率变化是越来越大,当时,斜率大于0;当时,斜率等于0;当时,斜率小于0.其图2.1的导函数图像如
9、图2.3所示。图2.2的的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于0,当时斜率越来越大;当时,斜率等于0;当时斜率越来越小。其图2.2的导函数图像如图2.4所示。yx0图2.3 导函数图像yx0图2.4 导函数图像点评:此类题目在解题时主要应用的是导数与函数图像之间的关系以及利用到导数的几何意义,在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况。2.2.2已知导函数图像,画出其原函数的图像例2.4已知函数的图像如图2.5所示,下面4个图像中能大致表示的图像是()-101图2.5 导函数图像图2.5-2 选择原函数图0-123A0-112B0-2-11C0-112D分析:根据的符号变化,可
10、以得到的符号变化。因此而得到其的单调性的变化,便能够以此来画出其原函数的大致图像。解:由图2.5可知,当时,则,原函数为增函数,图像上升;当时,则,原函数为减函数,图像下降;当时,则,原函数为减函数,图像下降;当时,则,原函数为增函数,图像上升。综上所述,只有C选项满足上述条件,故选C。点评:本题解题时所用方法与例2.3相同,但例2.3与例2.4是两个完全相反的问题,在做此类题目时要注意题目要求,分清两个题目类型之间的区别。2.2.3已知导函数图像,求解原函数例2.5已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图像经过点,如图2.6所示,求:(1)的值;(2)函数的解析式。012图2.6 导函数图像
11、分析:首先根据图像信息,判断出其极大值点即的值。再利用题干信息,找出三个已知点,再分别代入其相应的函数式中,解出待定系数,从而得到函数的解析式。解:(1)由图像可知,当时,在上递增;当时,在上递减;当时,在上递增。因此在处取得极大值。(2)由题意可知:又 解得故函数的解析式为点评:本题主要利用的是导函数的性质,结合图像信息来进行解题的。在利用导数解题时,我们不仅要找寻题干中蕴含的信息,同时也不能忽视图像中所包含的信息。2.3导数在求解方程的根中的应用利用导数求解方程的根可以分为以下几个方面:1.利用导数解决根的唯一性。2.利用导数求方程根的个数。3.利用导数求解待定系数的取值范围。4.利用导数
12、求解有关超越方程的根。下面本人将结合实例对以上几个方面进行分析。2.3.1利用导数解决根的唯一性判断方程在某区间内有唯一实根,即判断函数在该区间上有唯一零点。我们可以通过探究函数的单调性,利用零点存在定理进行判断。例2.6证明函数 在区间上有唯一零点。分析:对于证明函数有唯一零点(方程有唯一实根)的问题上,首先应考虑的是零点是否存在,利用导数研究函数区间的单调性,证明函数在该区间上单调就可证明出函数在该区间上有唯一零点。证明:对函数进行求导,得:在区间上,为减函数又 故函数在区间上有唯一零点点评:在此问题上,如果区间两端的函数值是一正一负且函数单调,则在该区间内函数必有唯一零点(方程有唯一实根
13、)。2.3.2利用导数求解方程根的个数用导数来求解方程根的个数,实际上用导数来探究函数的图像与函数的图像有几个交点的问题。例2.7已知,若与在有两个不同的交点,求的取值范围。分析:此题主要考查的是对数函数与二次函数的交点问题且含有参数,因为对数函数与二次函数曲线结构的特点,我们很难具体有效地把握它们交点的情况,所以对于此类问题我们可以用导数将曲线交点的问题转化为在有实根的问题。解:令则构造函数要让则时,在上递增;时,在上递减。故的极大值点为1,极大值为又且 (1)转化为与的交点问题。要使(1)式在有两个不同的实根,则解得当时(1)式有两个不同的实根,即在该区间与有两个不同的交点。点评:用导数工
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