二重积分的计算法.ppt

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1、*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的. 下面我们根据二重积分的几何意义曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法. 这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分.,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为 A(x)的立体,.,a,V,复习：平行截面面积为已知的立体的体积,b,二重积分的计算 (D是矩形区域),y,a,b,c,d,D

2、,D是矩形区域 a,b ; c,d,z=f (x,y),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域,z=f (x,y),问题：Q( y)是什么图形？,是曲边梯形。,.,二重积分的计算 (D是矩形区域),.,y,a,b,c,d,D,.,Q( y ) =,同理，也可以先对 y 积分,.,z=f (x,y),D是矩形区域 a,b ; c,d,二重积分的计算 (D是矩形区域),c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),y,D: (y) x (y) c y d,二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),.,y,问题：Q( y)是什么图形？,D:

3、(y) x (y) c y d,也是曲边梯形 !,.,Q( y ),I =,二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,.,x=(y),y,c,d,D,.,D: (y) x (y) c y d,.,Q( y ) =,二重积分的计算（D是曲线梯形区域）,x=(y),z=f (x,y),如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,直角坐标系下计算二重积分,X型,设函数 在区域 上连续,且当 时， 如果区域 是由直线 ， 与曲线 所围成(X 型区域),如下图,即,若D是X型区域，则积分 先Y后X。,通常写成,把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。,x 看作是常量，y 是积分变量；,这是先对 ，

4、后对 的两次积分(适合于 型区域).,第二次积分时计算,x 是积分变量.,第一次计算定积分,D：,如果积分区域为：,Y型,类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 轴的平面去截曲顶柱体,此时D为,这是先对 ，后对 的两次积分.,如果去掉以上结论中关于 的限制，则上述结论仍是成立的.,几点说明：,则,（）若区域D是一个矩形，,（）上面所讨论的积分区域 D是 X型或Y 型区域。,则,例如,若不满足这个条件,可将D分块.,再应用积分的分域可加性来计算.,D1,D2,D3,由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重 积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的 是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限

5、.,建议：先将区域D的图形画出，再写出区域D上的点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限.,解：,积分区域如图,如果积分区域既是X-型又是Y-型的 ，则重积分既可以转化为先对x后对y的 ，也可以转化为先y后x的二次积分（累次积分）,解：,积分区域如图,例1 计算二重积分 ,其中 为矩形：,解1 先积 再积,解2 先积 再积,例2 计算二重积分 ,其中区域 为矩形：,解 因为 ,所以,或先积 再积,解：椭圆区域可表示为,因此,例3 计算二重积分 .其中积分区域D 为四分之一椭圆。,例4 计算二重积分 ,其中 是由三条线 所围成的区域.,解 易知积分区域可表为,于是,解：先画出区域D的图形，因

6、为,例5. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,解：,二重积分在直角坐标

7、下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,2,1,D,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,D4,D3,D1,D2,所以，用若直角坐标来计算，无法求出,例如，计算二重积分,需使用 极坐标系！,积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二 重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换,最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二 重积分.,在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆 域,被积函数为 形式,利用极坐 标变换来计算二重积分会十分方便.,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应有,在极坐标系

8、下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,域的面积,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面考虑如何把极坐标系下,的二重积分化为二次积分.,分三种情况来讨论:,设,则,1) 极点在D之外,2) 极点在D的边界上,3)设极点D之内,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,例1 计算,D

9、: 1 r 2 0 2,例2.11.计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,注:,利用例2.11可得到一个在概率论与数理统计及,工程上非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例2.11的结果, 得,故式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2a,解：,例2,1,2,y =x,D,例4.,解：,解,例10.,I =,不分块儿行吗？,解：,不行！,2,r = 2 cos,1,D,例11. 将积分化为极坐标形式,r =R,y = R

10、 x,D1,D2,.,R,D,.,.,.,arctanR,.,I =,I =,解:,定积分换元法,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.13 试用一般变量代换写出直角坐标变为极坐标的二重积分的公式,解：因为代换式为,则雅可比行列式为,除个别点 r = 0 之外，其他点均有J0。所以有,例 试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束

11、,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（后积先定限，域内穿射线）,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,原式,3. 给定,改变积分的次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,