平面向量的概念及线性运算(14页).doc

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1、-平面向量的概念及线性运算-第 15 页第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入深研高考备考导航为教师备课、授课提供丰富教学资源五年考情考点2016年2015年2014年2013年2012年平面向量的线性运算8,5分(理)17,4分(理)5,5分(理) 15,4分(理)平面向量的基本定理及坐标表示13,4分(文)7,5分(理)平面向量的数量积15,4分(理) 15,4分(文)13,4分(文)8,5分(理) 9,5分(文)17,4分(理)5,5分(理) 15,4分(理)向量的综合应用15,4分(文) 15,4分(理)7,5分(理)7,5分(文)复数的概念及运算2,5分(理) 11,4分(文)1,

2、5分(理)2,5分(文)2,5分(理) 2,5分(文)重点关注从近五年浙江高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以客观题的形式出现，难度以容易题为主第一节平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向

3、量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线；a0(为实数)，则必为零；a，b为非零向量，ab的充要条件是|a|b|且ab.其中假命题的序号为_不正确|a|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；不正确因为，A，B，C，D可

4、能在同一直线上，所以ABCD不一定是平行四边形不正确两向量不能比较大小不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线不正确当1，a0时，a0.不正确对于非零向量a，b，ab的充要条件是|a|b|且a，b同向规律方法1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关3若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量变式训练1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与

5、a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是 ()A0B1C2D3D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算(1)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A.B.C.D.(2)(2017杭州二中模拟)在梯形ABCD中，ADBC，已知AD4，BC6，若mn(m，nR)，则()A3B C.D3(1)C(2)A(1)如图，()2.(2)如图，过D作DEAB

6、，mn，所以n，m1，所以3.故选A.规律方法向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解变式训练2(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A.B2 C3D4(2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_(1)D(2)2(1)因为M

7、是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得2，2，所以4.故选D.(2)因为D是BC的中点，则2.由0，得.又，所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此22，所以2.共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线. 【导学号：51062135】解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2分2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.6分(2)kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.1

8、0分a，b是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k1.14分规律方法共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点变式训练3(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线(2)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.(1)B(2)(1)2a6b2(a3b)2，共线，又有公共点B，A，

9、B，D三点共线故选B.(2)ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得思想与方法1向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.易错与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错

10、两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误3在向量共线的条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个课时分层训练(二十二)平面向量的概念及线性运算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1在ABC中，已知M是BC中点，设a，b，则()A.abB.abCabDabAba，故选A.2已知a2b，5a6b，7a2b，则下列一定共线的三点是()AA，B，CBA，B，DCB，C，DDA，C，DB因为3a6b3(a2b)3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线3在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，则等于()A.B.CDA2，即2()，.4设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使

11、成立的充分条件是() 【导学号：51062136】AabBabCa2bDab且|a|b|Caa与b共线且同向ab且0.B，D选项中a和b可能反向A选项中0.5设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直A由题意得，因此()，故与反向平行二、填空题6已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_. 【导学号：51062137】平行四边形由得，所以，所以四边形ABCD为平行四边形7在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若5e1，3e2，则_.(用e1，e2表示)e1e2在矩形ABCD中

12、，因为O是对角线的交点，所以()()(5e13e2)8在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.2，.，()，MN().又xy，x，y.三、解答题9在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，. 【导学号：51062138】图411解()ab.4分()()ab.14分10设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A，C，D三点共线，求k的值解(1)证明：e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)

13、，与共线.4分又与有公共点C，A，C，D三点共线.7分(2)(e1e2)(2e13e2)3e12e2.9分A，C，D三点共线，与共线，从而存在实数使得，12分即3e12e2(2e1ke2)，得解得15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1设M是ABC所在平面上的一点，且0，D是AC的中点，则的值为 ()A.B.C1D2AD是AC的中点，延长MD至E，使得DEMD(图略)，四边形MAEC为平行四边形，()0，()3，故选A.2(2017浙江嘉兴高三双基测试)如图412，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若，则_. 【导学号：51062139】图412因为AB2，ABC60，AHBC，所以BH1.因为点M为AH的中点，所以()，又，所以，所以.3已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，3分整理得(t33k)a(2kt)b.7分因为a，b不共线，所以有13分解之得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上.15分