人教B版深刻复习教案整编-4直线与圆圆与圆的位置关系.ppt

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1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,三年8考 高考指数: 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.,1.直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点； 2.常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结合,重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系； 3.题型以选择题和填空题为主，属中低档题目.有时与其他知识点交汇在解答题中出现.,1.直线与圆的位置关系 (1)从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元

2、二次方程，利用判别式判断位置关系.,(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直线的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系.,【即时应用】 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的_条件. (2)已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)内异于圆心的一点，则直线x0 x+y0y=r2与此圆的位置关系是_.,【解析】(1)当k=1时，圆心到直线的距离d= 此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 解得 ；所以，“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件. (2)因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)内的一点

3、，所以 r2，圆心到直线x0 x+y0y=r2的距离 所以直线与圆相离. 答案：(1)充分不必要 (2)相离,2.圆与圆的位置关系 设圆O1: 圆O2:,【即时应用】 (1)思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？ 提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x、y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程.,(2)判断下列两圆的位置关系 x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是_. x2+y2+2x+4y+1=0与x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是_. x2+y2-4x+2y-4=0与x2+y2-4x-2y+4=0的位置关系是_. 【解析】因为两圆的方程

4、可化为：(x-1)2+y2=1， x2+(y+2)2=4，所以，两圆圆心距 而两圆的半径之和r1+r2=1+2=3；两圆的半径之差r2-r1= 2-1=1；所以r2-r1|O1O2|r1+r2，即两圆相交；,因为两圆的方程可化为：(x+1)2+(y+2)2=4，(x-2)2+(y- 2)2=9，所以，两圆圆心距|O1O2|= ；而 两圆的半径之和r1+r2=2+3=5；|O1O2|=r1+r2，即两圆外切； 因为两圆的方程可化为：(x-2)2+(y+1)2=9，(x-2)2+(y- 1)2=1，所以，两圆圆心距|O1O2|= ；而两 圆的半径之差r1-r2=3-1=2；|O1O2|=r1-r2

5、，即两圆内切. 答案：相交 外切 内切,直线与圆的位置关系 【方法点睛】 1.代数法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程；(2)求上述方程的判别式，并判断其符号；(3)得出结论.,2.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)求出圆心到直线的距离d；(2)判断d与半径的大小关系； (3)得出结论. 【提醒】如果能判断直线过定点，则可由定点到圆心的距离(即点在圆内、圆上、圆外)判断直线与圆的位置关系，小于半径相交；等于半径相切或相交；大于半径相交、相切、相离都有可能.,【例1】(1)(2012广州模拟)若从原点向圆x2+y2

6、-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为_； (2)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线，则切线方程为_； (3)若经过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为_.,【解题指南】(1)画出草图，结合平面几何知识求解； (2)因为已知直线过点P(2,4)，所以先确定直线方程斜率的存在性，进而利用条件求出直线方程； (3)直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.,【规范解答】(1)圆的方程化为标准 方程为：x2+(y-6)2=32，故圆心为 (0,6)，半径为3， 如图，则 的

7、长为2. 答案：2 (2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；,当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2),即： kx-y+4-2k=0， 因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离等于半径，即： d= 解得：k= ，所以所求切线方程为： ，即：4x-3y+4=0. 答案：x=2或4x-3y+4=0,(3)由题可设直线方程为y=k(x-4)，即：kx-y-4k=0，因为直线 与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即： d= ，解得：- k . 答案：- ， ,【互动探究】将本例(3)中条件“经过点A(4，0)的直

8、线l”改为 “在y轴上截距为-2的直线l”，其他条件不变，结论如何？ 【解析】由题可设直线方程为y=kx-2,即：kx-y-2=0，因为直线 与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即： d= ，解得：,【反思感悟】1.已知直线与圆的位置关系求解其他未知量，一般有以下两种方法： 方法一：几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解； 方法二：代数法:联立直线方程与圆的方程，利用方程组的解来解决； 2.求切线方程时，要注意讨论直线的斜率不存在的情况，否则容易漏解.,【变式备选】已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.

9、 (1)是否存在一点A,对于任意的实数m，直线l恒过A点？若有，请说明理由，并求出A点坐标； (2)证明：对于任意mR，直线l一定与圆C相交； (3)求直线l与圆C所截得的弦长最短时直线l的方程.,【解析】(1)因为直线l的方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化为：x+y-4+m(2x+y-7)=0， 所以，该直线一定过直线x+y-4=0与直线2x+y-7=0的交点，即A(3,1)； (2)因为直线l过定点A(3,1)，而圆心坐标为C(1,2)，所以|AC|= 5=r,所以直线l一定与圆C相交； (3)要使直线l与圆C所截得的弦长最短，则直线l与AC垂直，而 ，所以kl=2，因此直

10、线l的方程为：y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.,与圆有关的弦长、中点问题 【方法点睛】 直线被圆截得弦长的求法 (1)代数方法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|= (2)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则有：,【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1、C2的方程分别为(x+3)2+(y-1)2=4和(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为 ，求直线l的方程； (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相

11、交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.,【解题指南】(1)本题求直线方程，因为直线过点A(4,0)，所以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；(2)因为两直线都过同一点P(a,b)，设其中一条直线的斜率为k，由垂直及弦长相等，即可求出点P.,【规范解答】(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率 存在. 设直线l的方程为y=k(x-4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因 为直线l被圆C1截得的弦长为 ，所以 ，由点 到直线的距离公式得： ，从而k(24k+7)=0，即 k=0或 ，故直线l的方程为y=0或7x+24y-28=

12、0.,(2)设点P(a,b)满足条件，由题不妨设直线l1的方程为y-b=k(x- a)(k0)，则直线l2的方程为y-b= ，因为圆C1和圆C2的 半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长 相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距 离相等， 即,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b =-5k-4+a+bk， 即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5， 因为k的取值有无穷多个， 所以 或 解得： 或,这样的点P只可能是点P1( )或P2( )，

13、 当k=0时，对于P1点，P2点经验证符合题意. 综上可得:P点的坐标为( )或( ).,【反思感悟】1.本题第一问是求直线方程，只需两个条件，题设中已知一点，只需斜率即可，该问题易忽略斜率不存在的情况； 2.解答第二问要注意存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2，说明弦长相等与斜率值无关，利用斜率存在(且不为0)的情况求出点P，注意验证斜率不存在的情况也满足条件.,【变式训练】已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上， 直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为 ，则过圆心且与直线l垂 直的方程为_. 【解析】设所求直线的方程为x+y+m=0,圆心(a,0)，由题意知： =(a-1)

14、2,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴 上，a=3,故圆心坐标为(3，0)，而直线x+y+m=0过圆心(3， 0)，3+0+m=0，即m=-3,故所求直线的方程为x+y-3=0. 答案：x+y-3=0,【变式备选】直线 截圆x2+y2=4得到的劣弧的弧长为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选C.因为圆x2+y2=4的圆心坐标为(0，0)，圆心到直线 的距离d= ,而圆的半径为2，所以该 直线截圆所得弦长为 ，所以劣弧所对的圆心角为 ,所以劣弧所对的弧长为,圆与圆的位置关系 【方法点睛】 1.两圆公切线的条数,2.判断两圆位置关系的方法 判断两圆的位置关系，可根据圆心距

15、与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解. 【提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含.,【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10 x-12y+m=0. (1)m取何值时两圆外切； (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【解题指南】(1)两圆外切则有两圆圆心距等于两圆半径之和；(2)两圆内切则有两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值，公切线为两圆的方程之差所得的直线方程；(3)两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程之差所得直线方程，弦长可用几何法求解.,【规范解答】两圆的标准方

16、程为：(x-1)2+(y-3)2=11，(x-5)2+ (y-6)2=61-m，圆心分别为M(1,3)、N(5,6)，半径分别为 (1)当两圆外切时， = 解得： (2)当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆的圆心距5， 因此，有 解得：,因为 ，所以两圆公切线的斜率一定为 ，设切 线方程为 ，则有 解得： 容易验证当b= 时，直线与后一圆相交，故所求公切 线方程为 即,(3)两圆的公共弦所在直线的方程为： (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0, 即4x+3y-23=0,所以公共弦长为：,【反思感悟】1.解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半

17、径的几何关系求解； 2.当两圆相交时，其公共弦方程可利用两圆的一般方程相减得到.,【变式训练】设圆C2经过点A(4,-1)且与圆C1：x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)，求圆C2的方程. 【解析】由平面几何知识可知：C1、B、C2三点共线，又BC1的方程为：x+2y-5=0，AB的垂直平分线方程为：x-y-2=0， 由 ，得 即C2(3,1)； 又|C2A|= ,所以r= ， 圆C2的方程为：(x-3)2+(y-1)2=5.,【创新探究】直线与圆的位置关系的创新命题 【典例】(2011江苏高考)集合A=(x,y)| (x-2)2+y2 m2,x,yR,B=(x,y)|2mx+y2

18、m+1,x,yR,若AB,则实数m的取值范围是_.,【解题指南】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求得实数m的取值范围 【规范解答】AB,A, m 或m0.显然B. 要使AB,只需圆(x-2)2+y2=m2(m0)与x+y=2m或x+y=2m+1有 交点，即 |m|或 ,又m 或m0, 当m=0时，(2，0)不在0 x+y1内. 综上所述，满足条件的m的取值范围为 . 答案： ,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：,1(2012韶关模拟)过坐标原点且与圆x2-4x+y2+2=0相切的直线方程为(

19、 ) (A)x+y=0 (B)x+y=0或x-y=0 (C)x-y=0 (D),【解析】选B.当斜率k不存在时,过原点的直线方程为x=0，因为 圆心(2,0)到此直线的距离2 (圆的半径)，此时不合题意； 当斜率k存在时,过原点的直线方程为kx-y=0，要使该直线与圆 相切，则有 ，解得k=1， 所以，切线方程为x+y=0或x-y=0.,2.(2011江西高考)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( ) (A)(- ， ) (B)(- ，0)(0, ) (C)- , (D)(-,- )( ,+),【解析】选B.如图,C1:(x

20、-1)2+y2=1. C2:y=0或y=mx+m=m(x+1). 当m=0时，C2:y=0,此时C1与C2显然只 有两个交点, 当m0时，要满足题意，需圆(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)有两交点，当圆与直线相切时，m= ,即直线处于两切线之间时满足题意，则- m0或0m .,3.(2012东莞模拟)已知圆(x-3)2+(y+5)2=36和点A(2，2)， B(-1，-2)，若点C在圆上且ABC的面积为 ，则满足条件 的点C的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选C.A(2，2)，B(-1，-2)，|AB|=5， 此题转化为求圆上的点到直线AB的距离为1的点的个数， 直线AB的方程为:4x-3y-2=0. 而圆心(3，-5)到直线AB的距离 d= ,半径r=6. 圆上的点到直线4x-3y-2=0的距离为1的点有3个.,4.(2012深圳模拟)若经过点P(-1，0)的直线与圆x2+y2+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是_. 【解析】圆的方程可化为(x+2)2+(y-1)2=2. 圆心O(-2，1)，kOP= 切线斜率k=1,y=x+1， 切线在y轴上的截距为1. 答案：1,