应变花计算公式(13页).doc

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1、-应变花计算公式2. 公式推导： （1）选定坐标系为xoy，如图示（2）设0点处， 为已知。 规定伸长为正，切应变 以xoy直角增大为正。（3）求任意方向， 方向（ 规定逆时针方向为正）的线应变 和切应变 （即 直角的改变量）。（4）叠加法：求 方向的线应变 和切应变 由于 而引起ds的长度改变 , 方向（即 方向）的线应变求 的切应变 即 方向的直角改 坐标轴偏转的角度以 代替式（c）中的，求得 坐标轴偏转角度：3. 结论（1）已知 可求得任意方向 的 （2）已知 ,求得 （3）主应变和主应变方向比较上述公式，可见故:4. 应变圆5. 应变的实际测量用解析法或图解法求一点处的主应变时，首先必

2、须已知 ，然而用应变仪直接测量时， 可以测试，但 不易测量。所以，一般是先测出任选三个方向 的线应变 。然后利用一般公式，将 代入得出：联解三式，求出,于是再求出主应变的方向与数值由 式求出 ，当 时 与二、四相限的角度相对应。6. 直角应变花（45应变花）测量为了简化计算，三个应变选定三个特殊方向测得： ，代入 一般公式求得：故讨论：若 与二、四相限的角度相对应。见P257、7.21题6. 等角应变花测量 一般公式：测定值： 代入式（a）得：主应变方向:故:于是由主应变公式：,穿过二,四相限.见P258，7.22题Example 1. 用直角应变花测得一点的三个方向的线应变Find：主应变及

3、其方向Solution：故 过二、四相限。Example2. 若已测得等角应变花三个方向的线 试求主应变及其方向 Solution：即: 应力测量(measurement of stress)测量物体由于外因或内在缺陷而变形时，在它内部任一单位截面积上内外两方的相互作用力。应力是不能直接测量的，只能是先测出应变，然后按应力与应变的关系式计算出应力。若主应力方向已知，只要沿着主应力方向测出主应变，就可算出主应力。各种受力情况下的应变值的测量方法见表1。轴向拉伸(或压缩)时，沿轴向力方向粘贴应变片(表l之14)，测出应变，按单向虎克定律算出测点的拉(压)应力=E。式中为应变，E为弹性模量。弯曲时在

4、受弯件的上下表面上粘贴应变片(见表1之56)，测出应变e，可计算弯曲应力。扭转时沿与圆轴母线成45。角的方向贴片(表1之79)，测出主应变em，再代入虎克定律公式算出主应力45o，即得最大剪应力rmax：式中为泊松比。拉(压)、弯曲、扭转，其中两种或三种力的联合作用下，不同测量要求的应变值测量方法分别见表1的1014。主应力方向未知时的应力测量如图1所示。在该测点沿与某坐标轴X夹角分别为1、2和3的3个方向，各粘贴一枚应变片，分别测出3个方向的应变12和3根据下式可解出x，y和z再代入下式求出主应变1、2和主方向与x轴夹角a：最后，再根据广义虎克定律公式求出主应力1、2和Tmax。实际上为了简

5、化计算，3枚应变片与z轴的夹角a1、a2和a3总是选取特殊角，如0o、45o、60o、90o和120o并将3枚应变片的敏感栅制在同一基底上，形成应变花。常用的应变花有直角应变花(00一45。一90。)和等角应变花(O。一60。一120o)。不同形式的应变花的计算公式见表2。用应变片测量的应变值一般是很小的，因而电阻值的变化同样是很小的。为此，有必要把应变计连接到一定的测量系统中，以精确测定应变片电阻值的变化。用应变片测量应变的测量系统框图见图2。电阻应变测量法是实验应力分析中应用最广的一种方法。电阻应变测量方法测出的是构件上某一点处的应变，还需通过换算才能得到应力。根据不同的应力状态确定应变片

6、贴片方位，有不同的换算公式。 单向应力状态 在杆件受到拉伸(或压缩)情况下，如图8-31所示。此时只有一个主应力s1，它的方向是平行于外加载荷F的方向，所以这个主应力s1的方向是已知的，该方向的应变为el。而垂直于主应力s1方向上的应力虽然为零，但该方向的应变e20，而是e2=-el。由此可知:在单向应力状态下，只要知道应力s1的方向，虽然s1的大小是未知的，可在沿主应力s1的方向上贴一个应变片，通过测得el，就可利用s1=Ee1公式求得s1。 主应力方向巳知平面应力状态 平面应力是指构件内的一个点在两个互相垂直的方向上受到拉伸(或压缩)作用而产生的应力状态，如图8-31所示。图中单元体受已知

7、方向的平面应力s1和s2作用，在X和Y方向的应变分别为s1作用：X方向的应变el为s1/EY方向的应变e2为-s1/Es2作用：Y方向的应变e2为e2/EX方向的应变el为-e2/E由此可得X方向的应变和Y方向的应变分别为 （8-72）上式变换形式后可得 （8-73）由此可知：在平面应力状态下，若已知主应力s1或s2的方向(s1与s2相互垂直)，则只要沿s1和s2方向各贴一片应变片，测得l和2后代入式（8-73），即可求得s1和s2值。 主应力方向未知平面应力状态 当平面应力的主应力s1和2的大小及方向都未知时，需对一个测点贴三个不同方向的应变片，测出三个方向的应变，才能确定主应力s1和s2及

8、主方向角q三个未知量。图8-33表示边长为x和y、对角线长为l的矩形单元体。设在平面应力状态下，与主应力方向成q角的任一方向的应变为，即图中对角线长度l的相对变化量。由于主应力sx、sy的作用，该单元体在X、Y方向的伸长量为x、y，如图8-33(a)、(b)所示，该方向的应变为ex=x/x、ey=y/y；在切应力xy作用下，使原直角XOY减小gxy，如图8-33(c)所示，即切应变gxy=x/y。这三个变形引起单元体对角线长度l的变化分别为xcosq、ysinq、ygxy cosq，其应变分别为excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。当ex、ey、gxy同时发生时，则对角线的总

9、应变为上述三者之和，可表示为 （8-74）利用半角公式变换后，上式可写成 （8-75）由式 (8-75)可知e与ex、ey、gxy之间的关系。因ex、ey、gxy未知，实际测量时可任选与X轴成q1、q2、q3三个角的方向各贴一个应变片，测得e1、e2、e3连同三个角度代入式(8-75)中可得 （8-76）由式(8-76)联立方程就可解出ex、ey、gxy。再由ex、ey、gxy可求出主应变e1、e2和主方向与X轴的夹角q，即 （8-77）将上式中主应变e1和e2代入式(8-73)中，即可求得主应力。在实际测量中，为简化计算，三个应变片与X轴的夹角q1、q2、q3总是选取特殊角，如0、45和90

10、或0、60和120角，并将三个应变片的丝栅制在同一基底上，形成所谓应变花。图8-34所示是丝式应变花。设应变花与X轴夹角为q1=0，q2=45、q3=90，将此q1、q2、q3值分别代人式(8-76)得 （8-78）由式(8-78)可得 （8-79）将式(8-79)代入式(8-77)可得主应变e1、e2和主应变方向角q的计算式为 （8-80） （8-81）将式(8-80)代入式(8-81)得应力计算公式为 （8-82）对q1=0、q2=60、q3=120的应变花，主应变e1、e2和主应变方向角及主应力s1和s2计算公式为 （8-83） （8-84） （8-85）-第 14 页1. 概述（1）平面应变状态：即受力构件表面一点处的应变情况。（2）测试原理：一般最大应变往往发生在受力构件的表面。通常用应变仪测出受力构件表面一点处三个方向的线应变值，然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。