特征根法求解二次微分方程(4页).doc

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1、-特征根法求解二次微分方程-第 4 页特征根法求解二阶常系数线性微分方程关于二阶常系数线性微分方程的解法：1线性齐次方程的通解 解法先解特征方程的根设特征根为，分以下三种情况：（1） 当时，特征方程有两个相异的实根，则方程的通解为（2） 当时，特征方程有重根，则方程的通解为（3） 当时，特征方程有一对共轭的复根则方程的通解为定理 若为齐次方程的两个解，则亦是齐次方程的解，其中是任意常数又若为线性无关时，则是齐次方程的通解2线性非齐次方程的通解定理 设是非齐次线性方程的一个特解，而是相应的线性齐次方程的通解，则其和为线性非齐次方程的通解具体解法：（1）先求的特解 （2）再求对应线性齐次方程的通解

2、，根据定理相加即可例题1用特征根法求微分方程的通解解：特征方程为r2+4r+4=0所以，（r+2）2=0得重根r1=r2=-2，所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e-2x例题2用特征根法求微分方程y+3y+2y=0的一般解解：特征方程的解r1=-1，r2=-2一般解例题3 用特征根法求微分方程;的一般解解 微分方程的特征方程为 4r2-20r+25=0, 即(2x-5)2=0, 其根为, 故微分方程的通解为 , 即例题4求下列微分方程满足所给初始条件的特解y-3y-4y=0, y|x=0=0, y|x=0=-5;解：微分方程的特征方程为 r2-3r-4=0, 即(r-4)(r+1)=0,

3、 其根为r1=-1, r2=4, 故微分方程的通解为 y=C1e-x+C2e4x. 由y|x=0=0, y|x=0=-5, 得解之得C1=1, C2=-1. 因此所求特解为 y=e-x-e4x.例题5求微分方程的通解2y+y-y=2ex解 微分方程的特征方程为 2r2+r-1=0, 其根为, r2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 因为f(x)=2ex , l=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Aex, 代入原方程得 2Aex+Aex-Aex=2ex, 解得A=1, 从而y*=ex. 因此, 原方程的通解为历年考题：07-08下求微分方程y+4y-5y=0的一般解解：微分方程的特

4、征方程为 r2+4r-5=0, 其根为r1=1, r2=-5, 故微分方程的通解为 y=C1ex+C2e-5x09-10下用特征根法求微分方程y-4y+5y=0的一般解解：微分方程的特征方程为 r2-4r+5=0, 其根为r1=2-i, r2=2+i, 故微分方程的通解为 y=e2x(C1cos x+C2sin x). 10-11下求微分方程的通解y-2y+y=cosx+ex微分方程的特征方程为 r2-2r+1=0, 其根为, r2=1, 故对应的齐次方程的通解为设y-2y+y=ex的特解为y*1=Ax2ex, 代入原方程解得A=1/2, 从而y*1=1/2x2ex. 设y-2y+y= cosx 的特解为y*2=Bcosx+Csinx, 代入原方程得解出B=0，C=-1/2 从而y*2=-1/2sinx因此, 原方程的通解为