2022年一元一次方程知识点总结和例题讲解 .docx

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1、精品_精品资料_第六章一元一次方程学问点汇总（一） 、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数（元）x,未知数 x 的指数都是1（次）,这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800, 2 （ x+1.5x ） =5 等都是一元一次方程. （例 1）3. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. （例 2）注：（ 1）方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值（或几个数值）,而解方程的含义是指求出方程的解或判定方程无解的过程.（ 2）方程的解的检验方法,第一把未知数的值分别代入方

2、程的左、右两边运算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论 .（二） 、等式的性质等式的性质（ 1） :等式两边都加上（或减去）同个数（或式子）,结果仍相等.等式的性质（ 1）用式子形式表示为：假如a=b, 那么 ac=bc等式的性质（ 2）：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0 的数,结果仍相等,a b等式的性质（ 2）用式子形式表示为：假如a=b,那么 ac=bc .假如 a=b（ cHO ） ,那么C C（三） 、移项法就：把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项. （例 3）（四） 、去括号法就1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号相同.2. 括号

3、外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号转变.（五） 、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）2. 去括号（按去括号法就和安排律）3. 移项（把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号）4. 合并（把方程化成ax = b （ aHO）形式）5. 系数化为 1（在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解 x= ） .一.列一元一次方程解应用题的一般步驟（ 1）审题： 弄清题意 . （ 2）找出等量关系： 找出能够表示此题含义的相等关系 . （ 3）设出未知数, 列出方程： 设出未知 数后, 表示出有关的含字母的式子, 然后

4、利用已找出的等量关系列出方程 .（ 4）解方程： 解所列的方程, 求出未 知数的值 .（ 5） 检验,写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.第七章 二元一次方程组一、学问点总结1、二元一次方程：含有两个未知数（ 和 y） ,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程,它的一般形式是ax+by = c （a 工 O,b H 0 ）2、二元一次方程的解：一般的,能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 【二元 一次方程定很多组解】3、 二元一次方程组： 含有两个未知数（ 和 y） ,并且含有未知数的项的次数

5、都是1,将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组 .4、 二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 【二元一次方程组解的情形：（x+y = lJ x+y = lf X+y = l（ x+y = l无解,例如：V += 6, i“ +2y =.6有且只有一组解,例如：l2+y = 2. 有很多组解,例如：l2x+2y = 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法.6、 三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数,含未知数的项的次数都是1,并且方程组中一共有两个或两个

6、以上的方程,这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的关键也是“消 元” : 三元一二元 . 一元7、 列二元一次方程组解应用題的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： 1审：通过审題,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,. 2 设：找出能够表示题意两个相等关系.并用字母表示其中的两个未知数3列：依据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组.4 解：解这个方程组,求出两个未知数的值. 5 答： 在对求岀的方程的解做出是否合理判定的基础上,写出答案.mn二、典型例题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、如方程_ = /是关于兀、 y 的二元一次

7、方程,求.的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、将方程 10-23-y = 32-x 变形,用含有 x 的代数式表示 y.例 3、方程 x+3y = 10在正整数围有哪几组解？例 4、如 x=2 是方程组 f 2x_3m = 1 的解,求 m. n 的值 . =3fix - my =-5例 5、已知 加+ 11 + 川_1 理=1 是关于兀、 y 的二元一次方程,求护的值.例 6、二元一次方程组l+3y = 7的解 x, 丫的值相等,求k.Ax+ 伙 _ly = 3例 7: 1 用代入消元法解方程组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 兀+5y = 3

8、2x- y = -4(2) 、用加减法解二元一次方程组:4x-3y = 012x+3y 二 8(3) 解复杂的二元一次方程组J3x- 2 x+2y =3 |llx+4 x+2y =45x+5j = 6 3x-6j-4=03x-2y = l 2x+3y = 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8、如关于 X,y 的二元一次方程组x+y=5k,x-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6 的解,求 k 的值.学问点 1:二元一次方程及其解1、 以下各式是二元一次方程的是（） .2A. 6x-y = l兰一丄 =o C. 4x-xy = 5 D. x+x+l = Q5 y2、 如

9、 Q 是关于 x、y 的二元一次方程3x . , = 0 的一个（组）解,就.的值为（） 丿=23、 二元一次方程 x+2y = 7 在正整数围的解有（）.A 很多个B. 两个C.三个D 四个4、 已知在方程 3x- 5y = 2中,如用含有 x 的代数式表示 y,就, =,用含有 y 的代数式表示 x , 就/ =5、 如 m-n = 5 , 就 15-m + n=.学问点 2： 二元一次方程组及其解1、 有以下方程组：（ 1）卩 +3y = 0 （ 2） （x+3y = O = 5 f 1 其中说确的是（）（4A- 3y = 0I = 9n = 24x+ 2y= 6A 只有（ 1）、（ 3

10、）是二元一次方程组B. 只有（ 3）、（ 4 ）是二元一次方程组C.只有（ 4 ）是二元一次方程组D. 只有（ 2 ）不是二元一次方程组2、 以下哪组数是二元一次方程组P+ , = 3 的解（）2x = 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax = 3cJ x=5D.x=2 ,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b = 0b = 2b = -2I= l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、如方程组6 打蔦.有很多组解就一”的值分别为（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a=6,b=-l B. a = 2,b = C.a=3, b=-2 D.

11、 a = 2,b =2x = 4写出一个以 卜_2 为解的二元 方程组为和 f 二元 - 次方程4、5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lx = 2是二元一次方程组处+ . =7 的解,就 a-b 的值为ax-by = l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=4、5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、假如 4x-5y = 0,且 XH O,那么空二冬的值是 ,I2x+5y2a+b+l7、 3xy与是同类项,就 = 学问点 3 二元一次方程组的解法8、 挑选适当的方法解方程组G+y = 8”、“ M”、 连接的式子叫做不等式.留意：（ 1）要弄清不

12、等式和等式的区分：等式有等号,而不等式没有.常用的不等号有：V、W、$、H.例： 判定以下哪些式子是不等式,哪些不是不等式.3-2; 2x9; 2x_l; .s = vt;加 v8x_3; 丄 - 2-4x . 3xH8; .5 X -2.-2X +3; 宀 40 .x0 Y一+ 30 .n解答：列不等式是数学化与符号化的过程,它与列方程类似,列不等式留意找到问题中不等关系的词,如：“正数 （ 0 ） ”,“负数 （ V0 ） ”,“非正数 （ W0 ） ”,“非负数 （ M0 ） ”,“超过 （ 0 ） ”,“不足 （ V0 ） ”,“至少 （ M0 ） ”,“至多 （ W0 ） ”,“不大

13、于 （ W0 ） ”,“不小于 （ M0 ） ”除了常见不等式所表示的基本语言与含义仍有：如 a b0, 就 a 大于 b .如 a b0或 y 0 , 就 a、 b 同号.如 abVO 或.0, 就 a、b 异号.bb不等号具有方向性,其左右两边不能随便交换：aa. cMd 可转换为衣c.例：规定一种新的运算：aGb = axb-a-b+lt 比如： 203 = 2x3-2-3 + 1, 请你比较：304403, （ -3） 0440 （ -3 ） （填不等号）练习： 1、用不等式表示：（ 1 沟是正数：.（ 2 的平方是非负数：:不大于 b： . x 的 3 倍与一 2 的差是负数：:长方

14、形的长为x cm, 宽为 10cm, 其面积不小于 200cm 2：.22、 试判定 a -3a + 7与一 3.+ 2 的大小.3、 假如 a+b0, 就-a,-b 的从打到小的排序是：_2、 不等式的基本性质：等式的基本性质 | 不等式的基本性质I 一般形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_寸加上（或减去） 同一个代数式熊 得结果仍两边都加上（或减去）同一个整式,不等号的才丿如a+cb+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_乘以 同一个数 （或除以同一个不为 0 的数） 仍畏等式.两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的才丿如 a b , c 0 就 ac be两

15、边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的才丿￥ab , evO 就 o +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为了更好的懂得新旧学问之间的异同,便以表格形式将二者进行比较.比如：不等式 axZ. 的解集是 x , 定会有 a 0oa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 用最准确的不等号填空：如 3x,就 x3 .如 -2y, 就 mxm y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于 x 的一元一次方程4x-2m+1 =5x-8的解是负数,就m 的取值围是.假如 mnOt 那么以下结论中错误选项（）A. m-9 -nC. D. 1n mn3、不等式的解和不

16、等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的值（一个或几个） ,叫做不等式的解 一个含有未知数的不等式的全部解,组成这个不等式的解集.留意：不等式的解集,包含两方面的含义：未知数 取解集 中的任 何一个值时,不 等式都 成立.未知数 取解集外的任何一个值时,不等 式都不成立.求不等式的解集的过程叫做解不等式.不等式的解集可在数轴上直观表示.留意：用数轴表示不等式的解,应记住规律：大于向右画,小于向左画,有等号（W、M）画实心点,无等号（V、）画空心圈.例如：不等式 x5 的解集可以用数轴上表示5 的点的右边部分来表示,在数轴上表示5 的点的位置上画空心圆圈,表示5不在这个解集.| .一不等式 /

17、 一 5 冬一 1 的解集 xW4 可以用数轴上表示4 的点及其左边部分来表示,在数轴上表示4 的点的位置画实心圆点,表示 4 在这个解集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1: 求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）关于不等式 -2x+a2 的解集如下列图, a 的值是（）A 、0 B、 2 C、-2 D 、 -4例 2：不等式 3x 5V3 + X 的正整数解有 （）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个练习： 解以下不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.2x-30-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2 -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_填空题：大于0 且小于兀的整数是 _ 就x 的最小整数是3不等式 x3 的解集在数轴上表示为（）.A.23-201234、一元一次不等式的定义和解法：不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数長1,这样的不等式叫一元一次不等式.其标准可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形式： ax+b0或 ax+b$OaHO. 解一元一次不等式的一般步骤：例：解不等式： -i0, 2y = 0, 3yvO.练习 ：已知函数 = -x + 3, y2 = 3x-l, 求当 x 为何值时,必二儿, 必 儿.6、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一

19、起就组成一个一元一次不等式组一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分 ,叫做这个一元一 次不等式组的解集.一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集,然后再找出它们的公共部分.可以利用数轴来找.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一元一次不等式组解集图示语言表达 a,avb xbxb- c同大取大x a,a vbx a-同小取小x aV,a vba x b-4 i .大小小大中间取x bVx b无解大大小小无解答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：解不等式组,并将其解集在数轴上表示岀来. L_i2x-3l,- 一 + 2-x.可编辑资料 - - - 欢迎

20、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：求不等式组中字母的取值3 + 2x21,已知不等式组无解,就 a 的取值围是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x-a 2A -2x+53x+2 x-l x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-lr 32x + l 的非负整数解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例“ 已知关和的方程宁 - 筈的解是非负数,求的取值围.3、函数的大小比较例 4：已知y Y= x+2, y2 = -2x+5 , 当 x 取何值时, yiy 2.4、求围例 5、点 A m-4, l-2m 在第三象限,就

21、m 的取值围是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. m -B. n. 425、解不等式组C.打 1 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8:已知关于 X* 方叫鳥 的解满 Z 以,求整数 g一元一次不等式（组）课堂同步练习题一. 填空题1、 关于 X 的方程 kx-l = 2x的解为正实数,就k 的取值围是 .兰 +a N 22、 假如不等式组 2的解集是 OWxvl, 那么 a+b 的值为.2x-b -i t 就二 _.x m +2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 如不等式组a1的解集是 lvxvl, 就（ a + b 严 9=可编

22、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xb-2x0- - 一 x W25、 不等式组彳的整数解有ox-236、 假如一元一次不等式组彳的解集为 x3. 就.的取值围是.xa7、 如 0 vxvl, 就 X, 丄, F 的大小关系是oX8、 如不等式组 鼻,有解,就8 的取值围是ol-2xx-29、 假如关于 * 的不等式（时 1）的解集为 *1, 那么 g 的取值围是 _.10、 方程 2x-a = 3x-4 的解是正数,就a 的取值围是.11、 求不等式丄 +2yW- 上+8 全部正整数解的和是 .4212、 （ 1）如 -lba0, 比较 a+b,a-b,a+l,a-l 的大小关系为.2（ 2）如 0abl, 且 a+b=l, 比较 a,b,a+ 戸,* 的大小关系为 213、 当方程 x-3k = 5（x-k ） + l的值是非负数时, k 取何值围为o14 如上竺的值不小于代数圧二乞+ 4 的值,就 x 的取值围为 _ 2315、 如不等式 J2X_3 无解,就 m 的取值围为 _ . I x, 的解集为 -lx2, 就沪,2 -x-lb可编辑资料 - - - 欢迎下载