2022年三重积分的计算方法及经典例题 .docx

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1、精品_精品资料_三重积分的运算方法：三重积分的运算是化为三次积分进行的. 其实质是运算一个定积分一重积分和一个二重积分.从次序看：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如先做定积分z 2f x, y, z dz,再做二重积分z1F x, ydD,就是“ 投影可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法,也即“先一后二.步骤为：找及在 xoy 面投影域 D.多 D 上一点x,y“穿线确定 z 的积分限,完成了“先一这一步定积分 .进而按二重积分的运算步骤运算投影域D 上的二重积分,完成“后二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这一步.f x, y, zdvz 2Dz

2、1f x,y, zdzd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如先做二重积分f x,Dzy, zd再做定积分c 2F z dz ,就是“ 截面法,c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也即“先二后一.步骤为：确定 位于平面 zc1与zc2 之间,即 z c1 , c2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过 z 作平行于 xoy 面的平面截,截面Dz .区域D z 的边界曲面都是 z 的可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数.运算区域D z 上的二重积分f x, y, z dDzc 2,完成了“先二这一步二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重 积 分 . 进 而 计 算 定 积 分F z dzc1, 完 成 “ 后 一 这 一 步 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, z dvc2c1Dzf x,y, zddz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当被积函数 fz仅为 z 的函数与 x,y 无关

4、,且D z 的面积 z 容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易求出时,“截面法尤为便利.为了简化积分的运算,仍有如何挑选适当的坐标系运算的问题.可 以按以下几点考虑：将积分区域投影到 xoy 面,得投影区域 D平面（1） ） D 是 X 型或 Y 型,可挑选直角坐标系运算当的边界曲面中有较多的平面时,常用直角坐标系运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） D 是圆域或其局部,且被积函数形如f x 2y 2 ,f y 时,可x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_挑选柱面坐标系运算 当 为圆柱体或圆锥体时, 常用柱面坐可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品_精品资料_标运算3 是球体或球顶锥体,且被积函数形如f x2y 2z2 时,可选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_择球面坐标系运算以上是一般常见的三重积分的运算方法. 对 向其它坐标面投影或 不易作出的情形不赘述.三重积分的运算方法小结：1. 对三重积分,采纳“投影法仍是“截面法,要视积分域及被积函数 fx,y,z的情形选取.一般的, 投影法先一后二：较直观易把握.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_截面法先二后一：Dz 是在 z 处的截面,其边界曲线方程易写错,故较难一些.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特别的,对D z 积分时, fx,y,z

6、 与 x,y 无关,可直接运算SD .因而中只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z要z a, b , 且 fx,y,z 仅含 z 时,选取“截面法更佳.2. 对坐标系 的选取,当为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面所围成的形体.被积函数为仅含 z 或 zf x2y 2 时,可考虑用 柱面坐标运算.三重积分的运算方法例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补例 1：运算三重积分Izdxdydz,其中为平面 xy z1 与三个坐标面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0, y0, z0 围成的闭

7、区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1“投影法 1.画出及在 xoy 面投影域 D.2. “穿线 0z 1xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0X 型 D： 0x 1y 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0： 00x 1y 1xz 1xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Izdxdydz11 x1 xdxdyyzdz11 xxdx1 1x2y) dy1112x y21x y

8、1 y 3 1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1116 0x3 dx0001 x603 x220x3140 22 030x4 1124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 2“截面法 1.画出.2.z0,1过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 D z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Dz 是两直角边为 x,y 的直角三角形, x3.运算1z, y1z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Izdxdydz10Dzzdxdy dz1z0D zdxdydz1zzSD dz0可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品_精品资料_111z 1 xydzz 1 1z1zdz1 z2z 2z3 dz102022 024可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补例 2：运算x 2y 2 dv ,其中是 x2y 2z2 和 z=1 围可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成的闭区域.解 1“投影法zx 21. 画出及在 xoy 面投影域 D.由 z12 y2消去 z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 x 2y21 即 D：x 2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_2. “穿线 x2y2z1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X 型 D：1x1221xy1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_:3. 运算1x 222x yy 1x 2z 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 x111 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2 dvdxdyx211 x2x 2y 2y 2 dzdxx 211 x 2y2 1x2y 2 dy6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：可用柱坐标运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_解 2“截面法1. 画出. 2.z 0,1过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 D： x 2y 2z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z02D z ：0rz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用柱坐标运算02:0rz0z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 2y2 dv3. 运算x 2y2 dxdy dz1 2zdr 2dr dz12 1 r03 z dz12 z3dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0Dz00003306可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补例 3：

12、化三重积分 If x, y, zdxdydz为三次积分,其中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zx 22 y 2及z2x 2 所围成的闭区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1.画出及在 xoy 面上的投影域 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zx 2由z22 y 2x 2消去 z,得 x2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 D：x2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. “穿线 x 22 y2z2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X 型 D：1 x1221xy1x可编辑资

13、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_：1x 2x 22 y2y1x2z2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 运算 If x, y, zdxdydz11 x2dx2 x 2dyf x, y, z dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 x2x 2 2 y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：当 f x, y, z 为的解析式时可用柱坐标运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补例 4：运算zdv,其中为 z6x 2解 1“投

14、影法y 2及zx 2y 2所围成的闭区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 画出及在 xoy 面投影域 D, 用柱坐标运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xr cos由 yr sin zz化的边界曲面方程为： z=6-r2, z=r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 解z6r 2得rzr2D： r022 即0r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“穿线2rz6r0r:0 r2r2z6r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

15、料_3. 运算zdv6 r 2Drzdzrdrd22drdr006 r 2rzdz22r 1 z2026 r 2 dr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20解 2“截面法r 6r 2 2r 2 dr236r013r 2r 5 dr92.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 画出.如图：由 z6r 2 及zr 围成.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. z0,6 0,2 2,612可编辑资料 - - - 欢

16、迎下载精品_精品资料_1 由 z=r 与 z=2 围成.z0,2 , Dz ： rz021 ： 0rz0z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 z=2 与 z= 6r 2 围成.z2,6 , D z ： r6z02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2： 02r6zz6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 运算zdv=zdv12zdv2z0Dz1rdrd dz6z2Dz2rdrd dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品_精品资料_2z1zSD dz06z 2zSDdz222zz dz06z62z) dz23z dz066z2z dz9223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2注：被积函数 z 是柱坐标中的第三个变量,不能用其次个坐标r 代换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补例 5：运算x 2y2 dv ,其中由不等式 0ax 2y 2z2A , z0 所确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定.x解：用球坐标运算.由yzcos sin cossin sin得 的边界曲面的球坐标方程： aA可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品_精品资料_P,连结 OP=,其与 z 轴正向的夹角为,OP=.P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 xoy 面的投影为 P ,连结 OP夹角为 .,其与 x 轴正向的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ： aA , 0, 022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2y 2 dv22Add00a2 sin 22 sin d= 2sin 3 12055 A d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品_精品资料_= 2 A55a5 2sin 3d02 A55a 5 2134A515aa5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三重积分的运算方法练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 运算（ x2y 2 dv ,其中是旋转面 x 2y22 z 与平面 z=2,z=8 所围成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的闭区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 运算 （ xz dv ,其中 是锥面 z所围成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2与球面 z1x 2y2的闭区域.为了检测三重积分运算的把握情形, 请同学们根据样题的格式,独立完成以上的练习,答案后续.可编辑资料 - - - 欢迎下载