2022年三角形知识总结与尺规作图知识点上课讲义 .docx

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1、精品_精品资料_第一部分 三角形考点一、三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角.2、三角形中的主要线段（ 1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.（ 2）在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.（ 3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.3、三角形的稳固性三角形的外形是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的

2、稳固性.三角形的这个性质在生产生活中应用很广, 需要稳固的东西一般都制成三角形的外形.4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（ 1）三角形有三条线段（ 2）三条线段不在同始终线上三角形是封闭图形（ 3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示,顶点是 A 、B 、C 的三角形记作“ABC ”,读作“三角形 ABC ”. 5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起,我们又

3、有一种特别的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形.6、三角形的三边关系定理及推论（ 1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角形的两边之差小于第三边.（ 2）三角形三边关系定理及推论的作用：判定三条已知线段能否组成三角形当已知两边时,可确定第三边的范畴.证明线段不等关系.7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180.推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 在同一个三角形中：等角对等边.等边

4、对等角.大角对大边.大边对大角.8、三角形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形的面积 =考点二、全等三角形1 底高2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.两个三角形全等时,相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角.夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角.2、全等三角形的表示和性质全等用符号“”表示,读作“全等于”.如 ABC DEF ,读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF”.注：记两个全等三角

5、形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：（ 1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（ 2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）（ 3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.直角三角形全等的判定：对于特别的直角三角形,判定它们全等时,仍有HL 定理（斜边、直角边定理） ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）4、全等变换只转变图形的位置,二不转变其外形

6、大小的图形变换叫做全等变换.全等变换包括一下三种：（ 1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.（ 2）对称变换：将图形沿某直线翻折180,这种变换叫做对称变换.（ 3）旋转变换：将图形绕某点旋转肯定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换.考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（ 1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论 2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60.（ 2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个

7、底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角）,但顶角可为钝角（或直角） .等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为 b,就 b a2等腰三角形的三角关系： 设顶角为顶角为A ,底角为 B、 C,就 A=180 2B , B= C= 180A22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用于证明同一个三角形中的边相等.推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.推论 3：在直角

8、三角形中,假如一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.等腰三角形的性质与判定中线等腰三角形性质1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角.2、等腰三角形两腰上的中线相等,与底边两端点距离相等.并且它们的交点角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边.2、等腰三角形两底角平分线相等,究竟边两端点的距离相等.并且它们的交点高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边.2、等腰三角形两腰上的高相等,底边两端点距离相等.并且它们的交点和角边等边对等角底的一半 腰长 周长的一半等腰三角形判定1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形.2、假如一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角

9、） ,那么这个三角形是等腰三角形1、假如三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边） ,那么这个三角形是等腰三角形.2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形.1、假如一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角） ,那么这个三角形是等腰三角形.2、有两条高相等的三角形是等腰三角形.等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（ 1）三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形.（ 2）要会区分三角形中线与中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.三角形中位线定理的作用：位

10、置关系：可以证明两条直线平行. 数量关系：可以证明线段的倍分关系.常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半.结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线相互平分.结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.考点四、相像三角形1、相像三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相像三角形.相像用符号“”来表示,读作“相像于”.相像三角形对应边的比叫做相像比（或相像系数）.2、相像三角形的

11、基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相像.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用数学语言表述如下： DE BC, ADE ABC相像三角形的等价关系：（ 1）反身性：对于任一 ABC ,都有 ABC ABC .（ 2）对称性：如 ABC ABC,就 ABC ABC（ 3）传递性：如 ABC ABC,并且 ABC A B,就CABC A B. C 3、三角形相像的判定（ 1）三角形相像的判定方法定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相像平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相像

12、判定定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像,可简述为两角对应相等,两三角形相像.判定定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相像,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像.判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像,可简述为三边对应成比例,两三角形相像（ 2）直角三角形相像的判定方法以上各种判定方法均适用定理： 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像垂直法：直角三角形被斜边

13、上的高分成的两个直角三角形与原三角形相像.4、相像三角形的性质（ 1）相像三角形的对应角相等,对应边成比例（ 2）相像三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比（ 3）相像三角形周长的比等于相像比（ 4）相像三角形面积的比等于相像比的平方.5、相像多边形（ 1）假如两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相像多边形.相像多边形对应边的比叫做相像比（或相像系数）（ 2）相像多边形的性质相像多边形的对应角相等,对应边成比例相像多边形周长的比、对应对角线的比都等于相像比相像多边形中的对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比相像多边形面积的比等于相像比

14、的平方6、位似图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心,此时的相像比叫做位似比.性质：每一组对应点和位似中心在同始终线上,它们到位似中心的距离之比都等于位似比.由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换.利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.其次部分解直角三角形考点一、直角三角形的性质（ 35 分）1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下： C=90 A+ B=902、在直角三角形中, 30角所对的直角边等于斜边的一半.A=30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

15、精品资料_可表示如下：C=90BC=1 AB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACB=90可表示如下：CD=D为 AB的中点4、勾股定理1 AB=BD=AD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方,即 abc5、摄影定理在直角三角形中, 斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项, 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ACB=90CD 2ADBDAC 2ADABCD AB6、常用关系式BC 2BDAB由三角形面积公式可得：ABCD=AC BC考点二、直角三

16、角形的判定（ 35 分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形.2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.3、勾股定理的逆定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如三角形的三边长a,b,c 有关系 a 2b2直角三角形.c 2 ,那么这个三角形是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点三、锐角三角函数的概念（ 38 分）1、如图,在 ABC中, C=90 锐 角 A 的 对 边 与 斜 边 的 比 叫 做 A 的 正 弦 , 记 为 sinA , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AA的对边a斜边c可编辑资料 - -

17、 - 欢迎下载精品_精品资料_sin 0cos 1tan 0cot 不存在锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记为 cosA,即 cos AA的邻边斜边bc锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切,记为 tanA ,即 tan AA的对边A的邻边ab锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切,记为 cotA ,即 cotAA的邻边A的对边ba2、锐角三角函数的概念锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 3、一些特别角的三角函数值A的锐角三角函数三角函数0 30 45 60 90 1232333222213212310不存在13304、各锐角三角函数之间的关系（ 1）互余关系sinA=co

18、s90 A , cosA=sin90 A tanA=cot90A , cotA=tan90A（ 2）平方关系sin 2 Acos2 A1（ 3）倒数关系tanAtan90 A=1（ 4）弦切关系sin AtanA=cos A5、锐角三角函数的增减性当角度在 090之间变化时,（ 1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（ 2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（ 3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（ 4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形（ 35）1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两

19、个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出全部未知元素的过程叫做解直角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解直角三角形的理论依据在 Rt ABC 中, C=90, A, B, C 所对的边分别为 a, b,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）三边之间的关系：a 2b2c 2 （勾股定理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）锐角之间的关系： A+ B=90（ 3）边角之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Aa , cos A cb , tan A ca , cot A bb; sin B ab ,

20、cosB ca , tan B cb , cot Baab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【学问回忆】其次部分尺规作图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.最基本 ,最常用的尺规作图,通常称 基本作图 .一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.2、五种基本作图：1 、作一条线段等于已知线段.2 、作一个角等于已知角.3 、作已知线段的垂直平分线.4 、作已知角的角平分线.5 、过一点作已知直线的垂线.（ 1）题目一：作一条线段等于已知线段.已知：如图,线段a

21、.a求作：线段 AB,使 AB = a .作法：（ 1） 作射线 AP.ABP（ 2） 在射线 AP上截取 AB=a .就线段 AB就是所求作的图形.（ 2）题目二：作已知线段的中点.P已知：如图,线段MN.求作：点 O,使 MO=N（O 即 O是 MN的中点） .作法：（）分别以 M、N为圆心,大于MON的相同线段为半径画弧,两弧相交于 P, Q.（）连接 PQ交 MN于 O就点 O就是所求作的的中点.Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）题目三：作已知角的角平分线.已知：如图, AOB,求作：射线 OP, 使 AOP BOP（即 OP平分 AOB）.A作法：（ 1）以

22、O为圆心,任意长度为半径画弧,MP分别交 OA, OB于 M, N.（ 2）分别以 M、为圆心,大于的线段长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为半径画弧,两弧交AOB内于.（ 3） 作射线 OP.就射线 OP就是 AOB的角平分线.ONB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）题目四：作一个角等于已知角.已知：如图, AOB.求作： A O B,使 A O B = AOBBBNNN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OMAO作法：MAOMAOMA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）作射线 O A.（ 2）以 O为圆心,任意长度为半径

23、画弧,交OA于 M,交 OB于 N.（ 3）以 O为圆心,以 OM的长为半径画弧,交O A于 M.（ 4）以 M为圆心,以 MN的长为半径画弧,交前弧于N.（ 5）连接 O N并延长到 B.就 A OB就是所求作的角.（ 5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线.已知：如图, P 是直线 AB上一点.C求作：直线 CD,是 CD经过点 P,且 CDAB.QMNAPBAPBD作法：（ 1）以 P 为圆心,任意长为半径画弧,交AB于 M、N.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）分别以 M、N 为圆心,大于MN2的长为半径画弧,两弧交于点Q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

24、品_精品资料_（ 3）过 D、Q作直线 CD.就直线 CD是求作的直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线D已知：如图,直线AB及外一点 P.P求作：直线 CD,使 CD经过点 P,P且 CD AB.ABAMNBQC作法：（ 1）以 P 为圆心,任意长为半径画弧,交AB于 M、N.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）分别以 M、N 圆心,大于（ 3）过 P、Q作直线 CD.就直线 CD就是所求作的直线.1 MN2长度的一半为半径画弧,两弧交于点Q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a（ 5）题目七：已

25、知三边作三角形.已知：如图,线段a, b, c.b求作： ABC,使 AB = c , AC = b , BC = a.c作法：（ 1） 作线段 AB = c .C（ 2） 以 A 为圆心,以 b 为半径作弧,以 B 为圆心,以 a 为半径作弧与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前弧相交于 C.（ 3） 连接 AC, BC.就 ABC就是所求作的三角形.baAcB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题目八：已知两边及夹角作三角形.已知：如图,线段m, n,.求作： ABC,使 A=, AB=m, AC=n.n作法：m（

26、1） 作 A=.（ 2） 在 AB上截取 AB=m ,AC=n.（ 3） 连接 BC.就 ABC就是所求作的三角形.题目九：已知两角及夹边作三角形. 已知：如图, 线段 m .求作： ABC,使 A=, B=,AB=m.作法：CnAmB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m（ 1） 作线段 AB=m.C（ 2） 在 AB的同旁作 A=,作 B=, A 与 B 的另一边相交于 C.就 ABC就是所求作的图形（三角形） .AB【考点练习 】1、如图 :107 国道 OA 和 320 国道 OB 在某市相交于点 O,在 AOB 的内部有工厂 C 和 D,现要修建一个货站P,使 P到 OA

27、 、 OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置 不写作法 ,保留作图痕迹 ,写出结论 AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_107国道OAC320国道BBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、三条大路两两相交,交点分别为A ,B ,C,现方案建一个加油站,要求到三条大路的距离相等,问满意要求的加油站的址有几种情形？用尺规作图作出全部可能的加油站的址.3、过点 C 作一条线平行于 AB .CAB4、如图,平行四边形纸条ABCD 中, E、 F 分别是边 AD 、BC 的中点.张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形 ABEF 沿 EF 翻折,得到一个

28、V 字形图案. 请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE .用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹.BDCEFword 可编辑ABOA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、如图,已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,AOB画在方格纸上,请用利用格点和直尺无刻度 作出 AOB 的平分线.6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮忙他设计一个合理的等分方案,图中 AB 为直径, O 为圆心 要求用尺规作图 ,保留作图痕迹 .AOB7、已知线段 AB和 CD,如下图,求作一线段,使它的长度等于AB 2CD.可编辑资料 - - - 欢迎下

29、载精品_精品资料_8、如图,已知 A、 B,求作一个角,使它等于A- B.9、如图,画一个等腰 ABC,使得底边 BC=a ,它的高 AD=hah10、如图,有 A,B,C 三个村庄,现要修建一所期望学校,.使三个村庄到学校的距离相等,学校的的址应选在什么的方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（.保留作图痕迹） 11、如图, A、B两村在一条小河的的同一侧,要在河边建一水厂向两村供水（ 1）如要使自来水厂到两村的距离相等,厂址应选在哪个位置？（ 2）如要使自来水厂到两村的输水管用料最省,厂址应选在哪个位置？ 请将上述两种情形下的自来水厂厂址标出,并保留作图痕迹.BMA .AON12、如图, A 为 MON 内一点,试在 OM、ON 边上分别作出一点B、C,使 ABC 的周长最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13、如图,已知两点P、Q 在锐角 AOB 内,分别在 OA、OB 上求点 M、N,使 PM MN NQ 最短AHGPBQAOBEF18如下列图, EFGH 是一矩形的台球台面,有黑白两球分别位于A、B 两点位置上,试问：怎样撞击黑球A,使黑球先碰撞台边 EF 反弹后再击中白球B？可编辑资料 - - - 欢迎下载