2022年三角形中的常用辅助线方法总结 .docx

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1、精品_精品资料_数学: 三角形中的常用帮助线典型例题人说几何很困难 , 难点就在帮助线. 帮助线, 如何添？把握定理与概念. 仍要刻苦加钻研 , 找出规律凭体会.全等三角形帮助线找全等三角形的方法 :(1) 可以从结论动身 , 查找要证明的相等的两条线段 或两个角 分别在哪两个可能全等的三角形中 ;(2) 可以从已知条件动身 , 瞧已知条件可以确定哪两个三角形全等 ;(3) 可从条件与结论综合考虑 , 瞧它们能确定哪两个三角形全等;(4) 如上述方法均不行行 , 可考虑添加帮助线 , 构造全等三角形.三角形中常见帮助线的作法 :延长中线构造全等三角形 ;利用翻折 , 构造全等三角形 ;引平行线

2、构造全等三角形 ;作连线构造等腰三角形.常见帮助线的作法有以下几种:(1) 遇到等腰三角形 , 可作底边上的高 , 利用“三线合一” 的性质解题 , 思维模式就是全等变换中的“对折”.例 1: 如图, ABC就是等腰直角三角形 , BAC=90,BD 平分 ABC交 AC于点 D,CE垂直于 BD,交 BD的延长线于点 E.求证 :BD=2CE.思路分析 :1) 题意分析 : 此题考查等腰三角形的三线合肯定理的应用2) 解题思路 : 要求证 BD=2CE可, 用加倍法 , 延长短边 , 又由于有 BD平分 ABC的条件, 可以与等腰三角形的三线合肯定理结合起来.解答过程 :证明 : 延长 BA

3、 , CE 交于点 F, 在 BEF与 BEC中, 1= 2, BE=BE , BEF= BEC=90 , BEF BEC, EF=EC , 从而 CF=2CE .又 1+ F= 3+ F=90, 故 1= 3.在 ABD 与 ACF中, 1= 3, AB=AC , BAD= CAF=90 , ABD ACF, BD=CF , BD=2CE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题后的摸索 : 等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加帮助线中的应 用不但可以提高解题的才能 , 而且仍加强了相关学问点与不同学问领域的联系, 为同学们开拓了一个宽阔的探究空间 ; 并且在添加帮助线的过

4、程中也包蕴着化 归的数学思想 , 它就是解决问题的关键.(2) 如遇到三角形的中线 , 可倍长中线 , 使延长线段与原中线长相等 , 构造全等三角形 , 利用的思维模式就是全等变换中的“旋转”.例 2: 如图 , 已知 ABC 中, AD就是 BAC的平分线 , AD又就是 BC边上的中线.求证: ABC 就是等腰三角形.思路分析 :1) 题意分析 : 此题考查全等三角形常见帮助线的学问.2) 解题思路 :在证明三角形的问题中特殊要留意题目中显现的中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都就是解题的突破口,此题给出了 AD 又就是 BC 边上的中线这一条件 ,而且要求证 AB=AC, 可倍长 A

5、D 得全等三角形 ,从而问题得证.解答过程 :证明 :延长 AD 到 E,使 DE=AD, 连接 BE .又由于 AD 就是 BC 边上的中线 , BD=DC 又 BDE= CDA BED CAD,故 EB=AC, E= 2, AD 就是 BAC 的平分线 1= 2, 1= E,AB=EB,从而 AB=AC即, ABC就是等腰三角形.解题后的摸索 : 题目中假如显现了三角形的中线 , 常加倍延长此线段 , 再将端点连结, 便可得到全等三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 遇到角平分线 , 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式就是三角形全等变换中的

6、“对折”, 所考学问点经常就是角平分线的性质定理或逆定理.例 3: 已知, 如图,AC 平分 BAD,CD=CB,ABA.D求证 : B+ADC=180 .思路分析 :1) 题意分析 : 此题考查角平分线定理的应用.2) 解题思路 : 由于 AC就是 BAD的平分线 , 所以可过点 C作 BAD的两边的垂线, 构造直角三角形 , 通过证明三角形全等解决问题.解答过程 :证明: 作 CEAB于 E,CFAD于 F.AC平分 BAD,CE=C.F在 Rt CBE与 Rt CDF中,CE=CF,CB=CD,Rt CBERtCDF,B=CDF, CDF+ADC=180 ,B+ADC=180 .解题后的

7、摸索 :关于角平行线的问题 , 常用两种帮助线 ;见中点即联想到中位线.(4) 过图形上某一点作特定的平行线 , 构造全等三角形 , 利用的思维模式就是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例 4: 如图, ABC中,AB=AC,E就是 AB上一点,F 就是 AC延长线上一点 , 连 EF交 BC于 D, 如 EB=CF.求证:DE=DF.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路分析 :1) 题意分析 : 此题考查全等三角形常见帮助线的学问: 作平行线.2) 解题思路 : 由于 DE 、DF 所在的两个三角形 DEB与 DFC不行能全等 , 又知 EB=CF , 所以需通过添加帮助线进

8、行相等线段的等量代换: 过 E 作 EG/CF , 构造中心对称型全等三角形, 再利用等腰三角形的性质, 使问题得以解决.解答过程 :证明: 过 E作 EG/AC交 BC于 G,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 EGB=又 AB=AC,ACB,B= ACB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ B=EGB, EGD=EB=EG=CF,DCF,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ EDB= CDF, DGE DCF,DE=D.F解题后的摸索 : 此题的帮助线仍可以有以下几种作法 :例 5: ABC中, BAC=60 , C=40 ,AP 平分 BAC交

9、BC于 P,BQ平分 ABC交 AC于 Q,求证:AB+BP=BQ+A.Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路分析 :1) 题意分析 : 此题考查全等三角形常见帮助线的学问 : 作平行线.2) 解题思路 : 此题要证明的就是 AB+BP=BQ+A.Q形势较为复杂 , 我们可以通过转化的思想把左式与右式分别转化为几条相等线段的与即可得证.可过O作 BC 的平行线.得 ADO AQO.得到 OD=OQ,AD=A只Q,要再证出 BD=OD就可以了.解答过程 :证明: 如图1, 过 O作 ODBC交 AB于 D,ADO=ABC=180 60 40=80,又 AQO= C+QBC=80

10、,ADO=AQO,又 DAO=QAO,OA=AO,ADO AQO,OD=OQ,AD=AQ,又OD BP,PBO=DOB,又 PBO=DBO, DBO=DOB,BD=OD,又 BPA= C+PAC=70,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BOP=OBA+BAO=70 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BOP=BPO,BP=OB,AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=.AQ+BQ解题后的摸索 :(1) 此题也可以在 AB上截取 AD=AQ连,OD,构造全等三角形 , 即“截长法”.(2) 此题利用“平行法”的解法也较多 , 举例如下 :如图 2, 过 O作

11、ODBC交 AC于 D,就 ADO ABO从而得以解决.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图 5, 过 P作 PDBQ交 AC于 D,就 ABP ADP从而得以解决.小结: 通过一题的多种帮助线添加方法, 体会添加帮助线的目的在于构造全等三角形.而不同的添加方法实际就是从不同途径来实现线段的转移的, 体会构造的全等三角形在转移线段中的作用.从变换的观点可以瞧到, 不论就是作平行线仍就是倍长中线 , 实质都就是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形.5 截长法与补短法 , 详细作法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或就是将某条线段延长 , 使之与特

12、定线段相等 , 再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法 , 适合于证明线段的与、差、倍、分等类的题目.例 6: 如图甲, AD BC, 点 E在线段 AB上, ADE=CDE, DCE=ECB.求证: CD=AD+BC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路分析 :1) 题意分析 : 此题考查全等三角形常见帮助线的学问: 截长法或补短法.2) 解题思路 : 结论就是 CD=AD+BC, 可考虑用“截长补短法”中的“截长”, 即在 CD上截取 CF=CB, 只要再证 DF=DA即可, 这就转化为证明两线段相等的问题 , 从而达到简化问题的目的.解答过程 :证明: 在 CD上截

13、取 CF=BC, 如图乙FCE BCE SAS, 2=1.又ADBC,ADC+BCD=180, DCE+CDE=90, 2+3=90, 1+4=90, 3=4.在FDE与 ADE中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FDE ADE ASA,DF=DA,CD=DF+CF,CD=AD+BC.解题后的摸索 : 遇到求证一条线段等于另两条线段之与时, 一般方法就是截长法或补短法 :截长: 在长线段中截取一段等于另两条中的一条, 然后证明剩下部分等于另一条;补短: 将一条短线段延长 , 延长部分等于另一条短线段 , 然后证明新线段等于长线段.1) 对于证明有关线段与差的不等式, 通常会联系

14、到三角形中两线段之与大于第三边、之差小于第三边 , 故可想方法将其放在一个三角形中证明.2) 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时, 如直接证明不出来 , 可连接两点或延长某边构成三角形 , 使结论中显现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等关系证明.小结: 三角形图中有角平分线 , 可向两边作垂线.也可将图对折瞧 , 对称以后关系现.角平分线平行线 , 等腰三角形来添.角平分线加垂线 , 三线合一试试瞧.线段垂直平分线 , 常向两端把线连.线段与差及倍半 , 延长缩短可试验.线段与差不等式 , 移到同一三角形.三角形中两中点 , 连接就成中位线.三角形中有中线 , 延长中线等

15、中线.同步练习 答题时间 :90 分钟这几道题肯定要仔细摸索啊, 都就是要添加帮助线的 , 开动脑筋好好想一想吧；加油；您肯定行；1、已知, 如图 1, 在四边形 ABCD中, BCAB, AD=DC, BD平分 ABC.求证: BAD+BCD=180.2、已知, 如图 2, 1=2, P为 BN上一点 , 且 PDBC于点 D, AB+BC=2BD.求证: BAP+BCP=180.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、已知, 如图 3, 在 ABC中, C2B, 1 2.求证: AB=AC+CD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_试题答案1、分析: 由于平角等于

16、180, 因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角 , 图中缺少全等的三角形 , 因而解题的关键在于构造直角三角形 , 可通过“截长法或补短法”来实现.证明: 过点 D作 DE垂直 BA的延长线于点 E, 作 DFBC于点 F, 如图 1-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Rt ADERtCDF HL, DAE=DCF.又BAD+DAE=180,BAD+DCF=180,即BAD+BCD=1802、分析: 与 1 相类似, 证两个角的与就是 180, 可把它们移到一起 , 让它们成为邻补角 , 即证明 BCP=EAP, 因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明: 过

17、点 P作 PE垂直 BA的延长线于点 E, 如图 2-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Rt APERtCPDSAS,PAE=PCD又 BAP+ PAE=180.BAP+BCP=1803、分析: 从结论分析 , “截长”或“补短”都可实现问题的转化, 即延长 AC至E使 CE=CD, 或在 AB上截取 AF=AC.证明: 方法一 补短法延长 AC到 E, 使 DC=CE, 就 CDE CED, 如图 3-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AFD ACDSAS,DF=DC, AFD ACD.又 ACB2B,FDB B,FD=FB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品_精品资料_AB=AF+FB=AC+FD,AB=AC+C.D4、证明: 方法一将 DE两边延长分别交 AB、AC于 M、N,在AMN中,AM+ANMD+DE+NE;在BDM中,MB+MDBD; 在 CEN中,CN+NECE;由+得: AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC 方法二: 图 4-2延长 BD交 AC于 F, 延长 CE交 BF于 G,在 ABF、 GFC与 GDE中有: AB+AFBD+DG+GFGF+FCGE+CEDG+GEDE由+得: AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+.

19、EC5、分析: 要证 AB+AC2AD由, 图想到 :AB+BDAD,AC+CDA所D以, 有AB+AC+BD+CDAD+AD=左2A边D,比要证结论多 BD+CD故, 不能直接证出此题 , 而由2AD想到要构造 2AD,即加倍中线 , 把所要证的线段转移到同一个三角形中去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACD EBDSASBE=CA全 等三角形对应边相等 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABE中有:AB+BEAE三AB+AC2A.D角形两边之与大于第三边 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、分析: 欲证 AC=BF只, 需证 AC、BF 所

20、在两个三角形全等 , 明显图中没有含有AC、BF的两个全等三角形 , 而依据题目条件去构造两个含有 AC、BF的全等三角形也并不简单.这时我们想到在同一个三角形中等角对等边 , 能够把这两条线段转移到同一个三角形中 , 只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段 , 所对的角相等即可.思路一、以三角形 ADC为基础三角形 , 转移线段 AC,使 AC、BF 在三角形 BFH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中方法一: 延长 AD到 H,使得 DH=AD连,结 BH,证明 ADC与 HDB全等, 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC=BH.通过证明 H=BFH,得

21、到 BF=BH.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ADC HDBSAS AC=BH,H= HAC EA=EF HAE=AFE 又 BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二: 过 B点作 BH平行 AC,与 AD的延长线相交于点 H, 证明 ADC与 HDB全等即可.小结: 对于含有中点的问题 , 通过“倍长中线” 可以得到两个全等三角形.而过一点作已知直线的平行线 , 可以起到转移角的作用 , 也起到了构造全等三角形的作用.思路二、以三角形 BFD为基础三角形.转移线段 BF,使 AC、BF在两个全等三角形中方法三: 延长 FD至 H,使得 DH=FD连, 接 HC.证明 CDH与 BDF全等即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BFD CHDSAS H=BFH AE=FE HAC=AFE 又 AFE= BFH H=HAC CH=CA BF=AC方法四: 过 C点作 CH平行 BF,与 AD的延长线相交于点 H, 证明 CDH与 BDF全等即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载