2022年中考圆知识点总结复习.docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、圆的概念中学圆复习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合.2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合.3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆.2、垂直平分线： 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）.3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直

2、线且到这条直线的距离等于定长的两条直线.AdrOBdCdddRrRrRr图 1图2图 3ddrRrR5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线.二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C 在圆内.2、点在圆上dr点 B 在圆上.3、点在圆外dr点 A 在圆外.三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点.2、直线与圆相切dr有一个交点.3、直线与圆相交dr有两个交点.rdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr .外切（图 2）有一个交点dRr .相交（图 3）有两个交点内切（图 4）有一个交点RdrRdRr .r .内含（图

3、5）无交点dRr .图4图5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（2） 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.（3） 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论,即： AB 是直径 AB CD CE DE 弧 BC 弧 BD 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论.A推论 2：圆的两条平行

4、弦所夹的弧相等.即：在 O 中, AB CDCDO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、圆心角定理弧 AC弧 BDOEABCD B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的E弧相等,弦心距相等.此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的 1 个相等,就可以推出其它的 3 个结论,F即： AOBDOE . ABDE .O OCOF . 弧 BA弧BDDACB七、圆周角定理C1、圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.即： AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AOB2ACBBOA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 同圆或等圆中, 相等的圆CD周角所对的弧是等弧.即：在 O 中, C 、D 都是所对的圆周角CDBOA推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角.圆周角是直C角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.即：在 O 中, AB 是直径或 C90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C90 AB 是直径BA O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是CBAO可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直角三角形.即：在 ABC中, OCOAOB ABC 是直角三角形或C90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.即：在 O 中, 四边 ABCD 是内接四边形CBAD180BD180DAECDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_九、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线. 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即：

7、 MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推肯定理：BAEOMAN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：过圆心.过切点.垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个.十、切线长定理B切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长P相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.O即： PA、 PB 是的两条切线 PAPB . PO 平分 BPAA十一、圆幂定理1、相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得

8、的两条线段的乘积相等.D即：在 O 中,弦 AB 、CD 相交于点 P ,BO PA PBPC PDPCA推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径C所成的两条线段的比例中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：在 O 中,直径 ABCD ,BOEA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ CE 2AE BED2、切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：在 O 中, PA 是切线, PB 是割线A PA2PCPBED3、割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,

9、 这一点到每条PO割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图） .CB即：在 O 中, PB 、 PE 是割线 PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理： 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦.A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图：O1O2 垂直平分 AB .O1O2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：O1 、O2 相交于 A 、 B 两点B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ O1O2 垂直平分 AB十三、圆的公切线AB两圆公切线长的运算公式：CO1可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品_精品资料_（1） ）公切线长：RtO O C 中, AB 2CO 2O O 2CO 2 .O2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）外公切线长：CO2 是半径之差.内公切线长：CO2 是半径之和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十四、 圆内正多边形的运算（1） ）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在Rt BOD 中进行：OD : BD: OB1:3 : 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CBC可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品_精品资料_OBDAOOAEDBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）正四边形同理,四边形的有关运算在 Rt OAE 中进行,（3） ）正六边形同理,六边形的有关运算在 Rt OAB 中进行,OE : AE : OAAB : OB : OA1:1:2 ：1:3 : 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式OSlB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、扇形：（1）弧长公式： l（2）扇形面积公式：nR.180nR21SlR3602可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品_精品资料_n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）圆柱侧面绽开图A DD1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SS2 S= 2 rh2 r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表侧底母线长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）圆柱的体积：Vr 2 h底面圆周长B C1CB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、圆锥侧面绽开图（1） ） SSS=Rrr 2O表侧底12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）

13、 ）圆锥的体积：Vr hR3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十六、内切圆及有关运算.CArB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等.（2） ABC中, C=90, AC=b, BC=a, AB=c,就内切圆的半径 r= abc.2（3）S= 1 r abc,其中 a,b,c 是边长, r 是内切圆的半径.ABC2AD（4）弦切角：角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦.O如图, BC切 O于点 B, AB为弦, ABC叫弦切角, ABC=

14、D.CB练习题1. 如 O 的半径为 4cm,点 A 到圆心 O 的距离为 3cm,那么点 A 与 O 的位置关系是 A 点 A 在圆内B 点 A 在圆上c点 A 在圆外D 不能确定2. 已知 O 的半径为 5, 弦 AB 的弦心距为 3, 就 AB 的长是3. 如图, MN 是半径为 1 的 O 的直径,点A 在 O 上, AMN =30, B 为 AN 弧的中点,点 P 是直径MN 上一个动点,就求PA+PB 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABB_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M_P_O_oN_AEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

15、_D图2_4 如图 2,已知 BD 是 O 的直径, O 的弦 AC BD 于点 E,如 AOD=60,就 DBC 的度数为5. 与直线 L 相切于已知点的圆的圆心的轨迹是 6. 已知直角三角形的两直角边长分别为5 和 12,就它的外接圆半径R=,内切圆半径r=7. O 的半径为 6, O 的一条弦 AB 为 63 ,以 3 为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是8. PA、 PB 是 O 的切线, 切点是 A 、B, APB=50,过 A 作 O 直径 AC,连接 CB,就 PBC=9. 如图 4, AB 是 O 的直径,弦AC、BD 相交于 P,就 CD AB 等于A sinBPCB co

16、sBPCC tanBPCD cotBPC图 4图 510. 如图 5,点 P 为弦 AB 上一点,连结 OP,过 PC 作 PCOP ,PC 交 O 于 C,如 AP=4, PB=2,就 PC的长是A 2B 2C 22D 3 11圆的最大的弦长为12 cm,假如直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,那么A d6 cmB 6 cmd12 cm12. 如图 6,在以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 是小圆的切线, P 为切点,设 AB=12 ,就两圆构成圆环面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 6图 713. 如图 7,PE 是 O 的切线, E 为切点, PAB、PC

17、D 是割线, AB=35,CD =50,AC DB =12,就 PA=14. 如图 8,AB 是 O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,且BD =OB,点 C 在 O 上, CAB =30 ,求证： DC 是 O 的切线图 815. 如图, AB 既是 C 的切线也是 D 的切线, C 与 D 相外切,C 的半径 r=2 , D 的半径 R=6 ,求四边形 ABCD 的面积.DCBA16. 如图 10, BC 是 O 的直径, A 是弦 BD 延长线上一点,切线DE 平分 AC 于 E,求证：1 AC 是 O 的切线 2 如 AD DB =3 2,AC=15,求 O 的直径 12 分图 1

18、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 如图 11, AB 是 O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,弦 CD AB,垂足为 E,且 PC2=PE PO 1求证： PC 是 O 的切线. 2 如 OE EA=1 2, PA=6,求 O 的半径. 3求 sinPCA 的值 12 分图 1118. 如图, O 的两条割线 AB、AC 分别交圆 O 于 D、B、E、C,弦 DF/AC 交 BC 于 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证：AC FGBC CG .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）如 CF AE求证： ABC 为等腰三角

19、形BDGFOAEC19. 如图, AB 是 O 的直径,弦 CD AB 与点 E,点 P 在 O 上, 1= C,（ 1）求证： CB PD.（ 2）如 BC=3 , sinP= 3 ,求 O 的直径.520. 如图, ABC 内接于 O, AB 是 O 的直径, PA 是过 A 点的直线, PAC B（ l）求证： PA 是 O 的切线.PC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）假如弦 CD 交 AB 于 E, CD 的延长线交PA 于 F, AC 8,CE ：ED 6： 5, AE： EB 2： 3, 求 AB 的长和 ECB 的正切值AEB ODF可编辑资料 - - -

20、欢迎下载精品_精品资料_21. 如图,在 Rt ABC 中, B 90, A 的平分线交BC 于点 D , E 为 AB 上的一点, DE DC ,以 D为圆心, DB 长为半径作 D ,A求证：（ l）AC 是 D 的切线.E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） AB EB AC22. 如图, AB 是 O 的直径,以 OA 为直径的（ l）求证： AD DC .BDCO1 .与 O 的弦 AC 相交于 D , DE OC,垂足为 E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求证： DE 是O1 的切线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3

21、）假如 OE EC,请判定四边形O1 OED 是什么四边形,并证明你的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDEABO1O考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容,在复习中精确懂得与圆有关的概念,留意分清它们之间的区分和联系 .1.运用圆与角（圆心角,圆周角）,弦,弦心距,弧之间的关系进行解题【例 1】 已知：如下列图,在ABO中, AOB=90, B=25,以 O为圆心, OA长为半径的圆交 AB于 D,求弧 AD的度数 .【例 2】 如图, A、B、C 是 O上的三点, AOC=100,就 ABC的度数为 （）. . 30 . 45 . 50

22、.602. 利用圆的定义判定点与圆,直线与圆、圆与圆的位置关系【例 3】 已知 O的半径为 3cm, A 为线段 OM的中点,当 OA满意：（ 1）当 OA=1cm时,点 M与 O的位置关系是.（ 2）当 OA=1.5cm时,点 M与 O的位置关系是.（ 3）当 OA=3cm时,点 M与 O的位置关系是.【例 4】 O的半径为 4,圆心 O到直线 l 的距离为 3,就直线 l 与 O的位置关系是（） . .相交 .相切 .相离.无法确定【例 5】 两圆的半径分别为3cm 和 4cm,圆心距为 2cm,那么两圆的位置关系是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 正多边形和圆的有

23、关运算【例 6】 已知正六边形的周长为72cm,求正六边形的半径,边心距和面积.4. 运用弧长及扇形面积公式进行有关运算【例 7】 如图,矩形 ABCD中, BC=2,DC=4,以 AB 为直径的半圆O与 DC相切于点E,就阴影部分的面积为（结果保留） .5. 运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行运算【 例8 】已 知 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆 , 就 这 个 圆 锥 的 母 线 长 与 底 面 半 径 长 的 比是.考点二：圆中运算与证明的常见类型1. 利用垂径定懂得题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心,它们在圆内经常构成圆周角、等分线段、直角三角形

24、等,从而可以应用相关定理完成其论证或运算.【例 1】 在 O 中,弦 CD与直径 AB相交于点 P,夹角为 30,且分直径为 1 5 两部分, AB=6,就弦 CD的长为. . 2 . 4 . 4. 22. 利用“直径所对的圆周角是直角”解题 “直径所对的圆周角是直角”是特别重要的定理,在解与圆有关的问题时,经常添加帮助线构成直径所对的圆周角,以便利用上面的定理.【例 2】 如图,在 O的内接 ABC中, CD是 AB边上的高,求证： ACD=OCB.3. 利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补,这是圆内接四边形的重要性质,也揭示了确定四点共圆的方法 .【例 3】 如图,四边形A

25、BCD为圆内接四边形,E 为 DA延长线上一点,如 C 45, AB 2 ,就点 B 到 AE的距离为.4. 判定圆的切线的方法及应用判定圆的切线的方法有三种：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线.（ 2）如圆心到一条直线的距离等于圆的半径,就该直线是圆的切线.（ 3）经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例 4】 如图, O的直径 AB=4, ABC=30, BC=43 , D是线段 BC的中点 .（1）试判定点 D 与 O的位置关系,并说明理由.（ 2）过点 D作 DEAC,垂足为点 E,求证：直线DE是 O的切线 .【例

26、5】 如图,已知 O 为正方形 ABCD对角线上一点,以O为圆心, OA的长为半径的 O 与 BC相切于 M, 与 AB、AD分别相交于E、F,求证 CD与 O相切.【例 6】 如图,半圆 O为 ABC的外接半圆, AC为直径, D 为劣弧上一动点, P 在 CB的延长线上,且有 BAP=BDA.求证： AP是半圆 O的切线 .【课堂巩固练习】一. 挑选题：1. O的半径为 R,点 P 到圆心 O的距离为 d,并且 d R,就 P 点A.在 O内或圆周上B.在 O外C.在圆周上D.在 O外或圆周上2. 由一已知点 P 到圆上各点的最大距离为5,最小距离为 1,就圆的半径为A、2 或 3B、3C

27、、4D、2 或 43. 如图, O中,ABDC是圆内接四边形, BOC=110,就 BDC的度数是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.110 B.70 C.55 D.125 4. 在 O中,弦 AB垂直并且平分一条半径,就劣弧AB 的度数等于A.30 B.120 C.150 D.60 5. 直线上有一点到圆心O的距离等于 O的半径,就直线与 O的位置关系是、相离、相切、相切或相交、相交6、如图,切O于,交 O于点、A,如 PA 5, PB B,就的长是O、 10、 5、 52、 53P7如图,某城市公园的雕塑是由3 个直径为 1m的圆两两相垒立在水平的的面BC上,就雕塑的最高

28、点到的面的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 23B.33 22C.22 D.3222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_28、已知两圆的圆心距是9,两圆的半径是方程2x两圆有条切线.A、 1 条B、2 条 C 、3 条 D 、 4 条 17x+35=0 的两根, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、假如等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm,就梯形的腰长为 、10、如图, O1 和 O2 相交于 A、B 两点,且 A O1、A O2 分别是两圆的切线, A 是切点,如 O1 的半径 r=3 ,O2 的半径 R=4,就公共弦 AB的长

29、为A、2B、4.8C、 3D 、 2.411、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm,水面宽也是1cm,就截面有水部分（弓形）的面积是A、B、C、D、或二.填空题：12.6cm 长的一条弦所对的圆周角为90,就此圆的直径为.13. 在 O中, AB是直径,弦 CD与 AB相交于点 E,如,就 CE=DE（只需填一个适合的条件） .14. 在圆内接四边形 ABCD中, A B C=5 2 1,就 D=.15. 如三角形的外心在它的一条边上,那么这个三角形是.16. 如图,圆内接四边形ABCD的对角线 AC,BD交于 E 点, AB=120, CD=70就AEB=.17. 已知两个圆的半径分别

30、为8 cm 和 3 cm,两个圆的圆心距为7 cm,就这两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆的外公切线长为.18. 如图,O中,弦 AB弦 CD于 E,OFAB于 F,OG CD于 G,如 AE=8cm,EB=4cm,就 OG=cm.19. 已知圆锥的母线长为5 厘米,底面半径为 3 厘米,就它的侧面积为.四. 解答题20. 如图在 ABC中, C=90, 点 O为 AB 上一点, 以 O为圆心的半圆切 AC于 E,交 AB于 D,AC=12,BC=9, 求 AD的长.CEADOB21. 如图在 O中,C 为 ACB的中点, CD为直径, 弦 AB交 CD于点 P,又 PE CB于 E,如 BC=10,且 CEEB=3 2,求 AB的长22. 已知：如图, A 是以 EF 为直径的半圆上的一点,作AG EF 交 EF 于 G,又 B 为 AG上一点, EB的延长线交半圆于点 K,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：AE 2EBEK可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 已知：如图, ABC内接于 O, AE是 O的直径, CD是 ABC中 AB 边上的高, 求证： AC BC=AE CD可编辑资料 - - - 欢迎下载