2022年二次函数知识点总结及典型例题 .docx

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1、精品_精品资料_浙教版九年级上册二次函数学问点总结及典型例题学问点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,假如yax 2bxca,b,c是常数, a0 , 特殊留意a不为零 , 那么 y 叫做 x的二次函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax 2bxca, b, c是常数, a0) 叫做二次函数的一般式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x抛物线的主要特点：b对称的曲

2、线,这条曲线叫抛物线.2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有开口方向.有对称轴.有顶点.3、二次函数图像的画法- 五点作图法 ：（1） 先依据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 求抛物线 yax 2bxc 与坐标轴的交点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点 C,再找到点 C 的对称点 D.将这五个点按从左到右的次序连接起来,并向上或向下延长,就得到二次函数的图像.当抛物线与 x 轴只有一个交点或

3、无交点时,描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D.由 C、M 、D 三点可粗略 的画出二次函数的草图.假如需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数 的图像.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1 】、已知函数 y=x2-2x-3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点.然后画出函数图象的草图.（ 2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（ 3）依据第（ 1）题的图象草图,说出 x取哪些值时, y=0 . y0学问点二、二次函数的解

4、析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般 两根 三顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 一般一般式： y2axbxca, b, c是常数, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 两根当抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有交点时,即对应的一元二次方程ax 2bxc0 有实根x1和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 存在时, 依据二次三项式的分解因式ax 2bxcaxx1 xx2 ,二次函数 yax2bxc 可转化为两根式可编辑资料 -

5、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yaxx1 xx2 .假如没有交点,就不能这样表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 的肯定值越大,抛物线的开口越小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 三顶点顶点式： y们最好设顶点式,这样最简洁.a xh 2ka,h, k是常数, a0当题目中告知我们抛物线的顶点时,我可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1 】、抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A （ 1, 0）, B （3, 0）两点,且过（ -

6、1, 16）,求抛物线的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】、如图,抛物线 yax 2bxc 与 x 轴的一个交点 A 在点（ -2, 0）和（ -1, 0）之间（包括这两点） ,顶点 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点,就（1） abc0（或或 =）（ 2）a 的取值范畴是【例 3 】、以下二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点 0 , 1 的是 2222A y = x - 2+ 1B y = x + 2+ 1C y = x - 2- 3D

7、 y = x + 2- 3学问点三、二次函数的最值b4acb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ,即当 x时, y最值.2 a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如自变量的取值范畴是bx1x4acx2 ,那么,第一要看b 2b是否在自变量取值范畴2ax1xx2 内,如在此范畴内,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 x=时, y最值.如不在此范畴内,就需要考虑函数在12 a4ax1xx2 范畴内的增减性,假如在此范可编辑资料

8、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围内, y 随 x 的增大而增大,就当xx2 时,y最大ax 2bx2c ,当 xx1时,y最小ax 2bx1c .假如在此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2范畴内, y 随 x 的增大而减小,就当x x1时,y最大ax 2bx1c ,当 xx2 时,y最小ax 2bx2c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12【例 1】、已知二次函数的图像（0x 3）如下列图 ,关于该函数在所给自变

9、量取值范畴内,以下说法正确选项A 有最小值 0,有最大值 3B有最小值 1,有最大值 0 C有最小值 1,有最大值 3D有最小值 1,无最大值【例 2】、某宾馆有 50 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80 元时,房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10 元时,就会有一个房间闲暇宾馆需对游客居住的每个房间每y31O23 x- 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_天支出 20 元的各种费用依据规定,每个房间每天的房价不得高于340 元设每个房间的房价每天增加x 元x 为 10的正整数倍 （ 1）设一天订住的房间数为y,直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取

10、值范畴.（ 2）设宾馆一天的利润为w 元,求 w与 x 的函数关系式.（ 3）一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大. 最大利润是多少元.学问点四、二次函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、二次函数的性质函数y ax 2二次函数bxca,b,c是常数, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0a0 时,抛物线开口向上a 0 时,图像与 x 轴有两个交点. 当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点. 当 0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A y = xB y = xC y =314 xD y = x可编

11、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 6】、如二次函数 y xm21. 当 x l 时, y 随 x 的增大而减小,就 m 的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A m =lB m lC m lD m l学问点五、二次函数图象的平移 对于抛物线 y=ax 2+bx+c 的平移可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通常先将一般式转化成顶点式2ya xhk ,再遵循 左加右减 , 上加下减 的的原就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化为顶点式有两种方法：配方法,顶点坐标公式法.在用顶点坐标

12、公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yax 2bxc沿 y 轴平移： 向上（下） 平移 m（m 0）个单位, yax2bxc 变成 yax2bxcm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（或 yax 2bxcm ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax 2bxc ：向左（右）平移 m（ m 0）个单位, yax 2bxc 变成 ya

13、xm 2b xmc （或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yaxm2bxmc ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】、将抛物线2yx 向左平移 2 个单位后,得到的抛物线的解析式是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A y x22B yx 22C y x22D yx22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2【例 2】、将抛物线 y=x 2x 向上平移 3 个单位 , 再向右平移 4 个单位等到

14、的抛物线是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】、抛物线22yx 可以由抛物线 yx23 平移得到 , 就以下平移过程正确选项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 先向左平移2 个单位, 再向上平移3 个单位B. 先向左平移2 个单位, 再向下平移3 个单位C. 先向右平移2 个单位, 再向下平移3 个单位D. 先向右平移2 个单位, 再向上平移3 个单位2【补】抛物线 y=2x -3x-7在 x 轴上截得的线段的长度为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【公式】抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为 可编辑资料 - -

15、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点六、抛物线yax2bxc 中, a、b 、c 的作用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax 2 中的 a 完全一样 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直线 xb,故： b2a0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴为 y 轴. ba

16、0 （即 a 、 b 同号）时,对称轴在y 轴左侧. ba0 （即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_侧. 口诀 - 左同,右异 （ a、b 同号,对称轴在y 轴左侧）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时, yc ,抛物线 yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（ 0, c ）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品_精品资料_ c0 ,抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴. c0 , 与 y 轴交于负半轴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1 】、如图为抛物线的是 yax2bxc 的图像, A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,就以下关系中正确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A ab= 1B a b=

18、 1Cb2aD ac0B b 0C c 0D a b c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3 】、如下列图的二次函数yax2bxc 的图象中, 刘星同学观看得出了下面四条信息：（1） b 24ac0 .（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1.（3） 2a b0.（ 4）a+b+c0.你认为其中错误的有 A 2 个B 3 个C4 个D 1 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4 】、如图, 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交, 其顶点坐标为1 ,12,以下结论： ac 0. a+b=0.可编辑资料 - - -

19、 欢迎下载精品_精品资料_2 4ac b =4a. a+b+c0. 其中正确的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 422【例 5 】、如图,是二次函数 y ax bx c（ a 0）的图象的一部分, 给出以下命题：a+b+c=0. b 2a. ax +bx+c=0的两根分别为 -3 和 1. a-2b+c 0其中正确的命题是（只要求填写正确命题的序号）【例 6 】、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,就以下关系正确选项（）A m n, k hB m n ,k hC m n,k hD mn, k h学问点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过,但是特别有用,

20、肯定要懂得性的记忆）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（ x 1, y1）,点 B 坐标为（ x2, y2 ）,就 AB 间的距离,即线段AB 的长度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1x2y1y2（这实际上是依据 勾股定理 得出来的）yy2ByPyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、中点坐标公式：如图,在平面直角坐标系中,A、 B 两点的坐标分别为Ax1, y1 ,P21y1 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Bx , y , AB 中点 P 的坐标为 x , y 由xxxx,得 xx

21、1x2 ,xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22y1y2pppx1x212pp2y1y2Ox121xpx2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理 yp,所以 AB 的中点坐标为 2, 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2,那么 k 1=k2,也就是说当我们知道一条直线的k 值,就肯定能知道与它平行的另一条直线的k 值.4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2,那么 k 1 k 2=-1 ,也就是说当我们知道一条直线的k 值,就肯定能知道与

22、它垂直的另一条直线的k 值.（对于这一条,只要能敏捷运用就行,不需要懂得 ）以上四条,我称它们为坐标系中的“四大金刚 ”【例 1 】、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+2x+3 与 x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点（ 1）求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标.（ 2）点 P 是 x 轴上一个动点,过P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q,摸索究：随着 P 点的运动,在抛物线上是否存在点 Q,使以点 A P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,请直接写出符合条件的点Q 的坐标.如不存在, 请说明理由（ 3）请在直线 AC 上找一点

23、 M ,使 BDM 的周长最小,求出M 点的坐标2【例 2 】、如图,已知抛物线 y= x +bx+c 与始终线相交于 A（ 1,0）,C（ 2,3）两点, 与 y 轴交于点 N其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC的函数关系式.（ 2）设点 M（ 3, m）,求使 MN+MD的值最小时 m的值.（ 3）如抛物线的对称轴与直线AC相交于点 B,E 为直线 AC上的任意一点, 过点 E作 EFBD交抛物线于点 F,以 B,D, E, F 为顶点的四边形能否为平行四边形？如能,求点E 的坐标.如不能,请说明理由.（ 4）如 P 是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求 APC 的面积的最大值可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】、 如图,抛物线 y1 x243 x4 与 x 轴交于 A,B 两点（点 B 在点 A 的右边）,与 y 轴交于 C,连接 BC,以2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（ m, 0）,过 P 作 x 轴的垂线 l交抛物线于点 Q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求点 A、B、C 的坐标.（ 2）当点 P 在线段 OB上运动时,直线 l 分别交 BD、BC于点 M、N.摸索究 m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此

25、时,请判定四边形CQBM的外形,并说明理由.（ 3）当点 P 在线段 EB上运动时,是否存在点Q,使 BDQ为直角三角形,如存在,请直接写出Q点坐标.如不存在,请说明理由.DDD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E AOBEAOBEAOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCC【练 习】1、平常我们在跳大绳时,绳甩到最高处的外形可近似的看为抛物线如下列图,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为 4 m,距的面均为 1m,同学丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2 5 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知同学丙的身高是1 5 m,就同学丁的身高为 建立的

26、平面直角坐标系如右图所示A 15 mB 1 625 mC 166 mD 167 m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、已知函数 yx112x 51x 3x3,就使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,就k 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0B 1C2D 33. 二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxbxc 的 图 象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如下列图, 就反比例函数ay与 一 次 函 数xybxc 在同一坐标系中的大致图象是（）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如图,已知二次函数

27、范畴是y x 2bxc 的图象经过点（1, 0）,（ 1, 2）,当 y 随 x 的增大而增大时,x 的取值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyx 2bxc1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在平面直角坐标系中,将抛物线2yx2x3 围着它与 y 轴的交点旋转 180 ,所得抛物线的解析式是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A y x122By x124 Cy x122Dyx124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

28、 - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已 知 二 次 函 数 yax 2bxc的 图 像 如 图 , 其 对 称 轴 x1, 给 出 下 列 结 果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b 24ac abc0 2ab0 abc0 abc0 ,就正确的结论是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2 1012y04664ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 抛物线2yaxbxc 上部分点的横坐标x ,纵坐标 y 的对应值如上表：从上表可知,以下说法中正确的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

29、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是（填写序号）抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）. 函数2yaxbxc 的最大值为 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线的对称轴是x1 .在对称轴左侧,y 随 x 增大而增大2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是（ 2, 4）,过点 A 作 AB y 轴,垂足为 B,连结 OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求 OAB 的面积. 2 如抛物线yx22xc 经过点 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 c 的值. 将抛物线向下平移m 个单位, 使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB的内部（不包括 OAB 的边界）,求 m 的取值范畴（直接写出答案即可）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、“已知函数 y1 x22bxc 的图象经过点A（ c, 2）,这个二次函数图象的对称轴是x=3.”题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.（ 1）依据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式？如