2022年二次函数图像与性质总结 .docx

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1、精品_精品资料_二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上0 ,0y 轴性质x0 时, y 随 x 的增大而增大. x0 时, y 随x 的增大而减小.x0 时, y 有最小值 0 a0向下0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小. x0 时, y 随x 的增大而增大.x0 时, y 有最大值 0 a 的肯定值越大,抛物线的开口越小.2.yax2c 的性质：上加下减.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上0 ,cy 轴性质x0 时, y 随 x 的增大而增大. x0 时, y 随x 的增大而减小.x0

2、 时, y 有最小值 c a0向下0 ,cy 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小. x0 时, y 随x 的增大而增大.x0 时, y 有最大值 c 3.ya xh的性质：2左加右减.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上h ,0X=h性质xh 时, y 随 x 的增大而增大. xh 时, y随 x 的增大而减小.xh 时, y 有最小值 0 a0xh 时, y 随 x 的增大而减小. xh 时, y向下h ,0X=h随 x 的增大而增大. xh 时, y 有最大值 0 4.ya xh2k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上h ,kX=h性质xh 时, y 随 x 的增大而

3、增大. xh 时, y随 x 的增大而减小. xh 时, y 有最小值 k a0x向下h ,kX=hh 时, y 随 x 的增大而减小. xh 时, y随 x 的增大而增大. xh 时, y 有最大值 k 二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标h ,k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 保持抛物线2yax 的外形不变,将其顶点平移到h ,k处,详细平移方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

4、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=ax 2向上k0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左 h0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移.k 值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减”方法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位, yax2bxc 变成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax2bxcm（或

5、yax2bxcm ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m个单位, yax 2bxc 变成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ya xmbxmc （或 yaxm 2b xmc）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2三、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从解析式上看

6、,2ya xhk 与 yaxbxc 是两种不同的表达形式,后者通过配可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方可以得到前者,即22yaxb 2a4acb2 4a,其中 hb ,k 2a4acb24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、二次函数yaxbxc 图象的画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2ya xhk ,确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

7、精品资料_其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称的描点画图. 一般我们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点2h ,c 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 x 轴的交点x1 ,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五

8、、二次函数2yaxbxc 的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb ,顶点坐标为2a2b4acb,2a4 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xb 2a时, y 随 x 的增大而减小. 当 x2b 时, y 随 x 的增大而增大. 当 xb 2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, y 有最小值4acb4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 当 a0 时,抛物线开口向下,对称轴为xb

9、 ,顶点坐标为2ab4acb2,当2a4 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xb时, y 随 x 的增大而增大.当 x 2a2b 时, y 随 x 的增大而减小.当 x 2ab时, y2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有最大值4acb 4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、二次函数解析式的表示方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 一般式：2yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 顶点式：ya xhk （

10、 a , h , k 为常数, a0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 , x1 ,x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b 24ac0 时,抛物线的解析式才可以用交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系21. 二次项系数

11、a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a 当 a0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大.0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴 在 a0

12、的前提下,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 b0 时, 当 b0 时,当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧.2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴.2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 b0 时, 当 b0 时,当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧.2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴.2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结起来,在 a 确定

13、的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab 的符号的判定：对称轴x概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项 cb 在 y 轴左边就 ab 2a0 ,在 y 轴的右侧就 ab0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 c 当 c 当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正.0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 .0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结起来,

14、c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式.2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式.3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式.4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称可

15、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xb x关c于 x 轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2yaxhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. 关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xb x关c于 y 轴对称后,得到的解析式是yaxbxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxhk 关于 y 轴对称后,得到的

16、解析式是2ya xhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xb x关c于原点对称后,得到的解析式是2yaxbxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxh关k 于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya xb x关c于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxcb .2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 可编辑资料 - - - 欢迎下载