2022年二项式定理知识点和各种题型归纳带答案 .docx

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1、精品_精品资料_1. 二项式定理：二项式定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ abnC 0anC1 an1bC r an r brCnbn nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn2. 基本概念：r二项式绽开式：右边的多项式叫做abn 的二项绽开式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二项式系数 : 绽开式中各项的系数C n r0,1,2, n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项数：共 r1 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通

2、项：绽开式中的第r1 项C r a n r br叫做二项式绽开式的通项.用TC r an r br表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nr 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 留意关键点：项数：绽开式中总共有n1 项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次序：留意正确挑选a , b , 其次序不能更换. ab n 与 ban 是不同的.指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列. b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列.各项的次数和等于 n .012rn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系数：留意正确区分二项式系

3、数与项的系数,二项式系数依次是数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）.4. 常用的结论：Cn , Cn ,Cn , Cn , Cn . 项的系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 a1,bx,1xnC 0C 1 xC 2 x2C r xrC n xn nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 a1,bx,1x nC 0C 1 xC 2x2C r x r1n C nxn nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn5. 性质：0nkk 1

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二项式系数的对称性： 与首末两端 “对距离” 的两个二项式系数相等, 即 CnCn , CnCn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二项式系数和：令ab1, 就二项式系数的和为C 0C 1C 2C rC n2n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn12rnn变形式 CnCnCnCn21 .nnnnn奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在二项式定理中,令a1,b1 ,就 C 0C 1C 2C 31nC n11n

5、0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而得到： C 0C 2C 4C 2 rC 1C 3C 2r 112n2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnnn2奇数项的系数和与偶数项的系数和：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n0n01n 12n 22n0n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ axCna xCnaxCn axCn a xa0a1xa 2xanx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xanC 0a 0 xnC 1ax n 1C 2a 2 xn 2C

6、n an x0a xna x2a x1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令x1,就a0a1a2a3ana1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n令x1,就a0a1a 2a3ana1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 得,a0a2a4a1n aan2a1na1n1) n奇数项的系数和 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 得 , a1a3a5an偶数项的系数和 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二项式系数的最大项：

7、 假如二项式的幂指数n 是偶数时, 就中间一项的二项式系数nnC 2 取得最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如二项式的幂指数n 是奇数时,就中间两项的二项式系数取得最大值.n 1Cn 2 ,n 1Cn 2同时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系数的最大项：求abx n 绽开式中最大的项,一般采纳待定系数法.设绽开式中各项系数分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 A , A, A,设第 r1 项系数最大,应有Ar 1Ar,从而解出 r 来.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n

8、 1AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用.r 1r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： C1C 2 6C 362C n6 n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn解： 16 nC 0C 16C 262C 363Cn6 n 与已知的有一些差距,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 1C 26C 362C n6

9、n 11 C16C 262C n6 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnnn6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 C 0C 16C 262C n6 n11 16 n11 7 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn666123n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练： Cn3Cn9Cn3Cn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn解：设S C 13C 29C 33n 1 C n ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

10、 - 欢迎下载精品_精品资料_3SC 13C 2 32C 3 33C n 3nC 0C 13C 2 32C 3 33C n 3n113 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnnnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13nSn14n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二：利用通项公式求xn 的系数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：在二项式 4 1Cn 22x3 x2 n 的绽开式中倒数第3项的系数为 45 ,求含有x3

11、 的项的系数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C解：由条件知n45 ,即n45 ,n2n900 ,解得 n9舍去或n10 ,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1210 r2 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Tr410 r3rr4310r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 1C10 x x C10 x,由题意r3,解得 r6 ,6 11043可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9就含有x3 的项是第 7 项 TC 6 x3210 x3 , 系数为 210 .可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品_精品资料_练：求x21 绽开式中918 3r2 xx 的系数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： Tr2 9 rx 1rr18 2r1 rrr1 r,令 183r9 , 就 r3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 1C9 C9 x xC9 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9故 x9 的系数为C 32 x221 321 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22题型三：利用通项公式求常数项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求二项式 x2110 的绽开式中的常数项？2x可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_1120 5 r5145可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：TC r x2 10r rC r r x2,令 20r 0,得 r8 ,所以 TC88可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 110102x229102256可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练：求二项式2 x1 6 的绽开式中的常数项？2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： TC r 2 x 6r 1r 1 r 1r C r 26 r1 r6 2r,令 62r0 ,得 r3 ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 1662 x

14、 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T 13 C 32046可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练：如x21 n 的二项绽开式中第 5 项为常数项,就xn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12解： TC 4 x2 n41 4C 4 x2 n,令 2n120 ,得 n6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5nnx题型四：利用通项公式,再争论而确定有理数项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求二项式 x3 x9 绽开式中的有理项？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1127 r可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品_精品资料_解： TC r x 2 9 r x 3 r 1r C r x 6,令 27rZ , 0r9 得 r3或 r9 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 1996可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 r3 时, 27r4 , T 13 C 3 x484 x4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 r9 时, 276r3 , T4913 C 9 x3x3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1096题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：如 x213 x

16、2n 绽开式中偶数项系数和为256,求 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 x21n3 x2 绽开式中各项系数依次设为a0 , a1,an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令x1 , 就有a0a1an0, , 令x1, 就有a0a1a2a3n 1 ann2 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 - 得：2 a1a3a52n ,a1a3a52 n 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有题意得,2 n 182562 ,n9

17、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练：如 3 151 n 的绽开式中,全部的奇数项的系数和为1024,求它的中间项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnnn解：C 0C 2C 4C 2rC 1C 3C 2 r 1n 1 ,2n 11024,解得 n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以中间两个项分别为n6, n7 , TC 5 31 615 5462x 4 , T46261x 15可编辑资

18、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 1nxx26 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n题型六：最大系数,最大项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：已知 122 x ,如绽开式中第5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求绽开式中二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项式系数最大项的系数是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn解：C 4C 62C 5,n 221n980, 解出 n7或n14,当 n7 时,绽开式中二项式系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、_精品资料_最大的项是T4和T5T 的系数3 1 4335 , T 的系数41 3470, 当 n14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4C7 2522C7 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,绽开式中二项式系数最大的项是T ,T 的系数71 77.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_88C14 234322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练：在ab2 n 的绽开式中,二项式系数最大的项是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：二项式的幂指数是偶数2n ,就中间一项的二项式系数最大,即T2n12Tn 1 ,也就是第

20、 n1项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练：在 x1 n 的绽开式中,只有第5 项的二项式最大,就绽开式中的常数项是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：只有第 5 项的二项式最大,就n15 ,即 n28, 所以绽开式中常数项为第七项等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_61 2C8 72可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：写出在 ab7 的绽开式中,系数最大的项？系数最小的项？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

21、_解：由于二项式的幂指数7 是奇数,所以中间两项 第4,5项 的二项式系数相等,且同时取得最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值,从而有TC 3a 4b3 的系数最小,TC 4a 3b 4 系数最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4757例：如绽开式前三项的二项式系数和等于79 ,求 122 xn 的绽开式中系数最大的项？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 C 0C 1C 279, 解出 n12 , 假设T 项最大, 12 x121 1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn

22、nr 114x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAC r 4 rC r 1 4 r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 1r1212,化简得到 9.4r10.4,又0r12 ,r10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ar 1Ar2C r 4 rC r 1 4 r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_绽开式中系数最大的项为T,有T1 1210101016896 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111C12 4x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

23、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练：在12 x10 的绽开式中系数最大的项是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：假设Tr 1 项最大,Tr 1C10 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAC r 2 rC r 1 2 r 1211r r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 1r1010解得,化简得到 6.3k7.3 ,又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ar 1Ar2C r 2 rC r 1 2

24、 r 1 ,r1210r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0r10 ,1010r7 ,绽开式中系数最大的项为7TC81027 x715360 x7.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型七：含有三项变两项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求当 x23x2 5 的绽开式中 x 的一次项的系数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2525r25 rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法： x3 x2 x23x , Tr 1C5 x23 x,当且仅当 r1 时, Tr 1 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

25、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r125绽开式中才有 x 的一次项, 此时 TTC 1 x22) 4 3x ,所以 x 得一次项为C 1C 4 243 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5454它的系数为C 1C 4243240 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法： x23 x2 5 x15 x2 5C 0x5C 1x4C 5 C 0 x5C1x42C 5 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55555545544可编辑资料 - -

26、 - 欢迎下载精品_精品资料_故绽开式中含 x 的项为C5 xC5 2C5 x2240 x ,故绽开式中x 的系数为 240.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练：求式子 x12 3x的常数项？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x12 3x1 6 ,设第 r1 项为常数项,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_TC r 1rx 6 r 1 r16 C r6 2rx,得 62r330 , r3 ,T1 C

27、20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 16x63 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型八：两个二项式相乘.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 求12 x 31x4绽开式中x2的系数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：12x3的绽开式的通项是 Cm2 x mCm2mxm ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 4的绽开式的通项是Cn xnCn1nxn ,其中 m0,1,2,3, n0,1, 2,3, 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

28、_44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令mn2, 就m0且n2, m1且n1,m2且n0,因此12 x3 1x 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2002211112200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的绽开式中x 的系数等于 C32C41C32C4 1C32C416 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练： 求13 x6 11 10 绽开式中的常数项 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1mn4m 3n可编辑资料

29、- - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 13 x6 110 绽开式的通项为 C mx 3C n x 4C m C nx12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x610610可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m0,m3,m 6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中m0,1,2,6, n0,1,2,10,当且仅当 4m3n,即或或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n0,n4,n 8,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时得绽开式中的常数项为C 0C 0C 3C 4C 6C 84246 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

30、精品资料_610610610可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练： 已知 1xx2 x1 n的绽开式中没有常数项x3, nN * 且2n8,就n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nrn r3rrn 4r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x3 绽开式的通项为xCnxxCnx, 通项分别与前面的三项相乘可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnCrxn4 r ,C rxn 4 r1,C rxn 4 r 2 ,绽开式中不含常数项, 2n8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n4r 且n4r1且n4r2,即 n4,8且n

31、3,7 且n2,6,n5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20221232022例： 在 x2 2022的二项绽开式中, 含x的奇次幂的项之和为S,当x2时, S .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设 x2=a0a1xa2xa3xa2022 x-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 2022 =aa x1a x2a x3ax2022-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3202201232022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5得2a1xa3 xa x5ax2022 x2 2022 x2 2022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 2022 绽开式的奇次幂项之和为S x1 x22 2022 x3 20222 2022