信号与系统连续时间系统的时域分析.ppt

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1、第二章 连续时间系统的时域分析,2.1 引言 2.2 微分方程的建立与求解 2.3 起始点的跳变 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质 2.8 用算子符号表示微分方程,2.1 引言,系统在时域中数学模型的建立 微分方程：输入-输出法高阶微分方程 系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应 系统分析的方法：时域分析方法 频域分析方法,本章主要内容： 系统时域分析法： 1、微分方程的求解 直接求解微分方程；零输入响应和零状态响应的概念和求解。 2、根据单位冲激响应求系统的响应；卷积积分。 3、算子符号表示法。,2.2 系统数学

2、模型（微分方程）的建立,例2-1 图2-1所示为RLC并联电路的，求并联电路的端电压v(t)与激励源iS(t)间的关系,电阻：,电感：,电容：,例：输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。,例：如图所示电路，试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。,2.3 用时域经典法求解微分方程,设激励信号为e(t)，系统响应为r(t)，则可以用一高阶的微分方程表示复杂的系统。,完全解由齐次解与特解组成。 齐次解：齐次方程的解。 齐次方程：,齐次解的形式是形如 的线性组合。,微分方程的特征方程,特征方程的n个根 ， ， 称为微

3、分方程的特征根,1、在特征根各不相同(无重根)的情况下，微分方程的齐次解：,2、若特征方程有重根， 为k阶重根，则相应于 的微分方程的齐次解将有k 项，为：,例2-3 求解微分方程 的齐次解。 解： 特征方程： 特征根： 齐次解：,1、 求微分方程 的齐次解。 2、 求微分方程 的齐次解。,答案：,答案：,3、 求微分方程 的齐次解。,答案：,4、 求微分方程 的齐次解。,答案：,特解：特解的函数形式与激励的函数形式有关。 自由项：将激励代入微分方程右端，化简后的函数式,注意： 1、表中的B、D是待定系统。 2、若自由项由几种函数组合，则特解也为其相应的组合。 3、若表中所列特解与齐次解重复，

4、则应在特解中增加一项：t倍乘表中特解。若这种重复形式有k次，则依次增加倍乘t， t2， tk诸项。 例如：齐次解： 激励： 特解：,例2-4 给定微分方程 如果已知：(1) e(t)= t2 ；(2)e(t)=et，分别求两种情况下此方程的特解。 解：(1) 将e(t)=t2代入方程右端，得自由项t2+2t 特解rp(t)=B1 t2+B2t+B3 将特解代入原微分方程，得：,等式两端各对应幂次的系统相等， 可得： 特解为：,(2) 将e(t)=et代入方程右端，得自由项2et 特解rp(t)=Bet 将特解代入原微分方程，得： Bet+2Bet+3Bet=2Bet 特解为：,1、 求微分方程

5、 的特解。 2、 求微分方程 的特解。,答案：,答案：,3、 求微分方程 的特解。,答案：,完全解=齐次解+特解,边界条件：在(0+t)内任一时刻t0(通常为0+)时r(t)及其各阶导数(最高为n-1阶)的值。即 由此可确定Ai，得到完全解。,线性常系数微分方程的经典解法： 1、通过特征方程写出齐次解(含待定系数)； 2、通过自由项写的特解，并代入原方程中确定特解的待定系数； 3、完全解=齐次解(含待定系数)+特解，根据边界条件列方程组，求齐次解中的系数。,特征方程的根 称为系统 的“固有频率”，决定齐次解的形式。 齐次解自由响应。 特解强迫响应,2.4 起始点的跳变从0-到0+状态的转变,系

6、统加入激励之前的状态： 起始状态(0-状态) 系统加入激励之后的状态： 初始条件(0+状态，导出的起始状态),对于一个具体的电网络，系统的0-状态就是系统中储能元件的储能情况，即电容上的起始电压和电感中的起始电流。 当电路中没有冲激电流(或阶跃电压)强迫作用于电容以及没有冲激电压(或阶跃电流)强迫作用于电感，则换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。,例2-6 如图所示RC一阶电路，电路中无储能，起始电压和电流都为0，激励信号e(t)=u(t)，求t0系统的响应电阻两端电压 解：根据KVL和元件特性写出微分方程 当输入端激励信号发生跳变时，电容二端电压保持连续值，仍等于0，而电阻

7、两端电压将产生跳变，即 特征根： 齐次解： 特解：0 代入起始条件： 完全解：,当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数。 它的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的 及其各阶导数应该平衡相等。,解法二：用匹配法 将 代入 得 （2-1） 为保持方程左右两端各阶奇异函数平衡，可以判断，等式左端最高阶项应包含 ，所以 在0点发生跳变。 将（2-1）两端同时做积分得,例2-7 电路如图，在激励信号电流源 的作用下，求电感支路电流 。激励信号接入之前系统中无储能，各支路电流 解：根据KCL和电路元件约束性得 左端二阶导数含有 项，则

8、一阶导数在0点发生跳变， 在0点没有跳变。两端做积分得,系统的特征方程： 由于 在t0+时刻之后为零，因而特解为零，完全解为齐次解，利用初始条件代入式子 求得系数,为简化一下推导，引入符号 考虑到电路耗能与储能的不同相对条件，分成以下几种情况给出 的表达式 （1）电阻 等幅正弦振荡,（2） 产生衰减振荡，电阻R越大衰减越慢，R较小时，衰减很快，以致不能产生振荡，即以下两种情况 （3） （4）,将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统,列写微分方程,将联立微分方程化为一元高阶微分方程,齐次解Aet(系数A待定),求特解,已定系数的完全解-系统之响应,完全解=齐次解+特解(系数A待定),0-

9、状态,0+状态,2.5 零输入响应和零状态响应,完全响应的分解： 1、自由响应和强迫响应 2、零输入响应和零状态响应,零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态(起始时刻系统储能)所产生的响应。记作rzi(t) 零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等于零)，由系统的外加激励信号所产生的响应。记作rzs(t),系统方程： 零输入响应： ，无特解。 r(k)(0+)=r(k)(0-) 零状态响应：,例2-8 已知系统方程式 若起始状态为 激励信号 ，求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应以及完全响应。 解：方程式的齐次解是： ，由激励信号 求出特解是1。 则完全响应

10、表达式为 由方程式两端奇异函数平衡条件判断出 在起始点无跳变， 自由响应 强迫响应,求零输入响应 齐次解为： 初始条件 则： 于是： 求零状态响应 先求出 对 两边求积分得 r(t)的一阶导数有跳变， r(t)为连续，所以 代入 得：A=-1，,将,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,常系数线性微分方程描述的系统的线性的扩展： 1、响应的可分解性： 系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。 2、在LTI系统中，重点研究零状态响应 3、为求解零状态响应，可以利用卷积方法求解 4、零状态线性： 当起始状态为零时，系统的零状态响应对于外加激励信号呈线性，称为零状态线性。 5、零输入线性：

11、当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。 6、把激励信号与起始状态都视为系统的外施作用，则系统的完全响应对两种外施作用也呈线性。,例：给定系统微分方程,系统的激励为 ，起始状态为 ，求系统的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。,解：,1) 求齐次解,特征方程为：,特征根为：,齐次解为：,2) 求特解,自由项为：,特解为：,3) 求完全解,完全解为：,利用冲激函数匹配法判断跳变：,完全响应为：,自由响应为：,强迫响应为：,4) 求零输入响应,5) 求零状态响应,利用冲激函数匹配法判断跳变：,2.6 冲激响应与阶跃响应,冲激响应h

12、(t)：系统在单位冲激信号(t)的激励下产生的零状态响应。 阶跃响应g(t)：系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应。,nm时,nm时，表达式还将含有(t)及其相应阶的导数(m-n)(t)、 (m-n-1)(t)、 (t)。系数可以通过冲激函数匹配法求出,2.6 卷积,卷积积分指的是两个具有相同自变量t的函数f1(t)与f2(t)相卷积后成为第三个相同自变量t的函数f(t)。 这个关系表示为,做变量代换可得,线性时不变系统中，(t) 作用于系统产生的响应为h(t) 则(t-)作用于系统产生的响应为h(t-) e()(t-)作用于系统产生的响应为 e()h(t-),作用于系统时，响应

13、为,卷积的运算：,0,1,1,0,2,1,-2,1、改换图形中的横坐标；,2、把其中的一个信号反褶；,0,1,1,3、把反褶后的信号做位移，移位量是t，t0图形右移； t0图形左移；,t,4、两信号重叠总分相乘 ；,5、完成相乘后图形的积分。,0,1,1,0,1,1,2.7 卷积的性质,(一) 卷积代数 1. 交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) 证：,令,令,例,2. 分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) 证,3. 结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) 证,(二) 卷积的微分与积

14、分 与信号的运算相似， 卷积也有微分、 积分性质， 但与信号的微分、 积分运算有所区别。 (1) 微分,证,由卷积的第二种形式， 同理可证,(2) 积分,证,同理可证,应用类似的推导， 可导出卷积的高阶导数和多重积分的运算规律。 若 s(t)=f1(t)*f2(t) 则 s(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t) 其中, i、 j取正整数时为导数的阶次； i、 j取负整数时为重积分的阶次。,例,(三)与冲激函数或阶跃函数的卷积 (1) f(t)*(t)=f(t) 证,从f(t)与(t)卷积结果可知(t)是卷积的单位元。,(2) f(t)*(t-t0)=f(t-t0) 证,(3),(

15、4),Next,0,1,1,0,2,1,0,1,1,0,2,1,0,2,1,0,2,1,2.8 用算子符号表示微分方程,(一) 算子符号基本规则 两条基本规则: 1、对算子多项式可以进行因式分解，但不能进行公因子相消。,即,？,2、算子的乘除顺序不可随意颠倒。,即,（二）用算子符号建立微分方程,电感：,电容：,（三）传输算子概念,传输算子,2-1(a),(1),(2),(3),对方程(1)求微分,对方程(2)求微分,由上式可得,2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应,(1),给定：,解：特征方程：,特征根：,方法一：,齐次解：,特征根,齐次解：,方法二：,(2),给定：,解：特征方程：,特征根：,齐次解：,(3),给定：,解：特征方程：,特征根：,齐次解：,